【文章內(nèi)容簡介】 7。（88－58）＝25（米）進(jìn)而可知，車長和橋長的和為（2558）米，因此，車長為2558－1250＝200（米）答：這列火車的車速是每秒25米，車身長200米。時鐘問題【含義】就是研究鐘面上時針與分針關(guān)系的問題，如兩針重合、兩針垂直、兩針成一線、兩針夾角為60度等。時鐘問題可與追及問題相類比。【數(shù)量關(guān)系】分針的速度是時針的12倍，二者的速度差為11/12。通常按追及問題來對待，也可以按差倍問題來計算?！窘忸}思路和方法】變通為“追及問題”后可以直接利用公式。例1從時針指向4點(diǎn)開始，再經(jīng)過多少分鐘時針正好與分針重合？解鐘面的一周分為60格，分針每分鐘走一格，每小時走60格；時針每小時走5格，每分鐘走5/60＝1/12格。每分鐘分針比時針多走（1－1/12）＝11/12格。4點(diǎn)整，時針在前，分針在后，兩針相距20格。所以分針追上時針的時間為20247。（1－1/12）≈22（分）答：再經(jīng)過22分鐘時針正好與分針重合。例2四點(diǎn)和五點(diǎn)之間，時針和分針在什么時候成直角？解鐘面上有60格，它的1/4是15格，因而兩針成直角的時候相差15格（包括分針在時針的前或后15格兩種情況）。四點(diǎn)整的時候，分針在時針后（54）格，如果分針在時針后與它成直角，那么分針就要比時針多走（54－15）格，如果分針在時針前與它成直角，那么分針就要比時針多走（54＋15）格。再根據(jù)1分鐘分針比時針多走（1－1/12）格就可以求出二針成直角的時間。（54－15）247。（1－1/12）≈6（分）（54＋15）247。（1－1/12）≈38（分）答：4點(diǎn)06分及4點(diǎn)38分時兩針成直角。例3六點(diǎn)與七點(diǎn)之間什么時候時針與分針重合？解六點(diǎn)整的時候，分針在時針后（56）格，分針要與時針重合，就得追上時針。這實(shí)際上是一個追及問題。（56）247。（1－1/12）≈33（分）答：6點(diǎn)33分的時候分針與時針重合。盈虧問題【含義】根據(jù)一定的人數(shù)，分配一定的物品，在兩次分配中，一次有余（盈），一次不足（虧），或兩次都有余，或兩次都不足，求人數(shù)或物品數(shù)，這類應(yīng)用題叫做盈虧問題。【數(shù)量關(guān)系】一般地說，在兩次分配中，如果一次盈，一次虧，則有：參加分配總?cè)藬?shù)＝（盈＋虧）247。分配差如果兩次都盈或都虧，則有：參加分配總?cè)藬?shù)＝（大盈－小盈）247。分配差參加分配總?cè)藬?shù)＝（大虧－小虧）247。分配差【解題思路和方法】大多數(shù)情況可以直接利用數(shù)量關(guān)系的公式。例1給幼兒園小朋友分蘋果，若每人分3個就余11個；若每人分4個就少1個。問有多少小朋友？有多少個蘋果？解按照“參加分配的總?cè)藬?shù)＝（盈＋虧）247。分配差”的數(shù)量關(guān)系：（1）有小朋友多少人？（11＋1）247。（4－3）＝12（人）（2）有多少個蘋果？312＋11＝47（個）答：有小朋友12人，有47個蘋果。例2修一條公路，如果每天修260米，修完全長就得延長8天；如果每天修300米，修完全長仍得延長4天。這條路全長多少米？解題中原定完成任務(wù)的天數(shù)，就相當(dāng)于“參加分配的總?cè)藬?shù)”，按照“參加分配的總?cè)藬?shù)＝（大虧－小虧）247。分配差”的數(shù)量關(guān)系，可以得知原定完成任務(wù)的天數(shù)為（2608－3004）247。（300－260）＝22（天）這條路全長為300（22＋4）＝7800（米）答：這條路全長7800米。例3學(xué)校組織春游，如果每輛車坐40人，就余下30人；如果每輛車坐45人，就剛好坐完。問有多少車？多少人？解本題中的車輛數(shù)就相當(dāng)于“參加分配的總?cè)藬?shù)”，于是就有（1）有多少車？（30－0）247。（45－40）＝6（輛）（2）有多少人？406＋30＝270（人）答：有6輛車，有270人。工程問題【含義】工程問題主要研究工作量、工作效率和工作時間三者之間的關(guān)系。這類問題在已知條件中，常常不給出工作量的具體數(shù)量，只提出“一項工程”、“一塊土地”、“一條水渠”、“一件工作”等，在解題時，常常用單位“1”表示工作總量?！緮?shù)量關(guān)系】解答工程問題的關(guān)鍵是把工作總量看作“1”，這樣，工作效率就是工作時間的倒數(shù)（它表示單位時間內(nèi)完成工作總量的幾分之幾），進(jìn)而就可以根據(jù)工作量、工作效率、工作時間三者之間的關(guān)系列出算式。工作量＝工作效率工作時間工作時間＝工作量247。工作效率工作時間＝總工作量247。（甲工作效率＋乙工作效率）【解題思路和方法】變通后可以利用上述數(shù)量關(guān)系的公式。例1一項工程，甲隊單獨(dú)做需要10天完成，乙隊單獨(dú)做需要15天完成，現(xiàn)在兩隊合作，需要幾天完成？解題中的“一項工程”是工作總量，由于沒有給出這項工程的具體數(shù)量，因此，把此項工程看作單位“1”。由于甲隊獨(dú)做需10天完成，那么每天完成這項工程的1/10；乙隊單獨(dú)做需15天完成，每天完成這項工程的1/15；兩隊合做，每天可以完成這項工程的（1/10＋1/15）。由此可以列出算式：1247。（1/10＋1/15）＝1247。1/6＝6（天）答：兩隊合做需要6天完成。例2一批零件，甲獨(dú)做6小時完成，乙獨(dú)做8小時完成?，F(xiàn)在兩人合做，完成任務(wù)時甲比乙多做24個，求這批零件共有多少個？解設(shè)總工作量為1，則甲每小時完成1/6，乙每小時完成1/8，甲比乙每小時多完成（1/6－1/8），二人合做時每小時完成（1/6＋1/8）。因為二人合做需要［1247。（1/6＋1/8）］小時，這個時間內(nèi)，甲比乙多做24個零件，所以（1）每小時甲比乙多做多少零件？24247。［1247。（1/6＋1/8）］＝7（個）（2）這批零件共有多少個？7247。（1/6－1/8）＝168（個）答：這批零件共有168個。解二上面這道題還可以用另一種方法計算：兩人合做，完成任務(wù)時甲乙的工作量之比為1/6∶1/8＝4∶3由此可知，甲比乙多完成總工作量的4－3/4＋3＝1/7所以，這批零件共有24247。1/7＝168（個）例3一件工作，甲獨(dú)做12小時完成，乙獨(dú)做10小時完成，丙獨(dú)做15小時完成。現(xiàn)在甲先做2小時，余下的由乙丙二人合做，還需幾小時才能完成？解必須先求出各人每小時的工作效率。如果能把效率用整數(shù)表示，就會給計算帶來方便，因此，我們設(shè)總工作量為1和15的某一公倍數(shù)，例如最小公倍數(shù)60，則甲乙丙三人的工作效率分別是60247。12＝560247。10＝660247。15＝4因此余下的工作量由乙丙合做還需要（60－52）247。（6＋4）＝5（小時）答：還需要5小時才能完成。也可以用（11/12*2）/（1/10+1/15）例4一個水池，底部裝有一個常開的排水管，上部裝有若干個同樣粗細(xì)的進(jìn)水管。當(dāng)打開4個進(jìn)水管時，需要5小時才能注滿水池；當(dāng)打開2個進(jìn)水管時，需要15小時才能注滿水池；現(xiàn)在要用2小時將水池注滿，至少要打開多少個進(jìn)水管？解注（排）水問題是一類特殊的工程問題。往水池注水或從水池排水相當(dāng)于一項工程，水的流量就是工作量，單位時間內(nèi)水的流量就是工作效率。要2小時內(nèi)將水池注滿，即要使2小時內(nèi)的進(jìn)水量與排水量之差剛好是一池水。為此需要知道進(jìn)水管、排水管的工作效率及總工作量（一池水）。只要設(shè)某一個量為單位1，其余兩個量便可由條件推出。我們設(shè)每個同樣的進(jìn)水管每小時注水量為1，則4個進(jìn)水管5小時注水量為（145），2個進(jìn)水管15小時注水量為（1215），從而可知每小時的排水量為（1215－145）247。（15－5）＝1即一個排水管與每個進(jìn)水管的工作效率相同。由此可知一池水的總工作量為145－15＝15又因為在2小時內(nèi)，每個進(jìn)水管的注水量為12，所以，2小時內(nèi)注滿一池水至少需要多少個進(jìn)水管？（15＋12）247。（12）＝≈9（個）答：至少需要9個進(jìn)水管。正反比例問題【含義】兩種相關(guān)聯(lián)的量，一種量變化，另一種量也隨著變化，如果這兩種量中相對應(yīng)的兩個數(shù)的比的比值一定（即商一定），那么這兩種量就叫做成正比例的量，它們的關(guān)系叫做正比例關(guān)系。正比例應(yīng)用題是正比例意義和解比例等知識的綜合運(yùn)用。兩種相關(guān)聯(lián)的量，一種量變化，另一種量也隨著變化，如果這兩種量中相對應(yīng)的兩個數(shù)的積一定，這兩種量就叫做成反比例的量，它們的關(guān)系叫做反比例關(guān)系。反比例應(yīng)用題是反比例的意義和解比例等知識的綜合運(yùn)用。【數(shù)量關(guān)系】判斷正比例或反比例關(guān)系是解這類應(yīng)用題的關(guān)鍵。許多典型應(yīng)用題都可以轉(zhuǎn)化為正反比例問題去解決，而且比較簡捷。【解題思路和方法】解決這類問題的重要方法是：把分率（倍數(shù)）轉(zhuǎn)化為比，應(yīng)用比和比例的性質(zhì)去解應(yīng)用題。正反比例問題與前面講過的倍比問題基本類似。例1修一條公路，已修的是未修的1/3，再修300米后，已修的變成未修的1/2，求這條公路總長是多少米？解由條件知，公路總長不變。原已修長度∶總長度＝1∶（1＋3）＝1∶4＝3∶12現(xiàn)已修長度∶總長度＝1∶（1＋2）＝1∶3＝4∶12比較以上兩式可知，把總長度當(dāng)作12份，則300米相當(dāng)于（4－3）份，從而知公路總長為300247。（4－3）12＝3600（米）答：這條公路總長3600米。例2張晗做4道應(yīng)用題用了28分鐘，照這樣計算，91分鐘可以做幾道應(yīng)用題？解做題效率一定，做題數(shù)量與做題時間成正比例關(guān)系設(shè)91分鐘可以做X應(yīng)用題則有28∶4＝91∶X28X＝914X＝914247。28X＝13答：91分鐘可以做13道應(yīng)用題。例3孫亮看《十萬個為什么》這本書，每天看24頁，15天看完，如果每天看36頁，幾天就可以看完？解書的頁數(shù)一定，每天看的頁數(shù)與需要的天數(shù)成反比例關(guān)系設(shè)X天可以看完，就有24∶36＝X∶1536X＝2415X＝10答：10天就可以看完。例4一個大矩形被分成六個小矩形，其中四個小矩形的面積如圖所示，求大矩形的面積。AB解由面積247。寬＝長可知，當(dāng)長一定時，面積與寬成正比，所以每一上下兩個小矩形面積之比就等于它們的寬的正比。又因為第一行三個小矩形的寬相等，第二行三個小矩形的寬也相等。因此，A∶36＝20∶1625∶B＝20∶16解這兩個比例，得A＝45B＝20所以，大矩形面積為45＋36＋25＋20＋20＋16＝162答：按比例分配問題【含義】所謂按比例分配，就是把一個數(shù)按照一定的比分成若干份。這類題的已知條件一般有兩種形式：一是用比或連比的形式反映各部分占總數(shù)量的份數(shù)，另一種是直接給出份數(shù)?！緮?shù)量關(guān)系】從條件看，已知總量和幾個部分量的比；從問題看，求幾個部分量各是多少。總份數(shù)＝比的前后項之和【解題思路和方法】先把各部分量的比轉(zhuǎn)化為各占總量的幾分之幾，把比的前后項相加求出總份數(shù)，再求各部分占總量的幾分之幾（以總份數(shù)作分母，比的前后項分別作分子），再按照求一個數(shù)的幾分之幾是多少的計算方法，分別求出各部分量的值。例1學(xué)校把植樹560棵的任務(wù)按人數(shù)分配給五年級三個班，已知一班有47人，二班有48人，三班有45人，三個班各植樹多少棵？解總份數(shù)為47＋48＋45＝140一班植樹56047/140＝188（棵）二班植樹56048/140＝192（棵）三班植樹56045/140＝180（棵）答：一、二、三班分別植樹188棵、192棵、180棵。例2用60厘米長的鐵絲圍成一個三角形，三角形三條邊的比是3∶4∶5。三條邊的長各是多少厘米？解3＋4＋5＝12603/12＝15（厘米）604/12＝20（厘米）605/12＝25（厘米）答：三角形三條邊的長分別是15厘米、20厘米、25厘米。例3從前有個牧民，臨死前留下遺言，要把17只羊分給三個兒子，大兒子分總數(shù)的1/2，二兒子分總數(shù)的1/3，三兒子分總數(shù)的1/9，并規(guī)定不許把羊宰割分，求三個兒子各分多少只羊。解如果用總數(shù)乘以分率的方法解答，顯然得不到符合題意的整數(shù)解。如果用按比例分配的方法解，則很容易得到1/2∶1/3∶1/9＝9∶6∶29＋6＋2＝17179/17＝9176/17＝6172/17＝2答：大兒子分得9只羊，二兒子分得6只羊，三兒子分得2只羊。例4某工廠第一、二、三車間人數(shù)之比為8∶12∶21，第一車間比第二車間少80人，三個車間共多少人？人數(shù)80人一共多少人？對應(yīng)的份數(shù)12－88＋12＋21解80247。（12－8）（8＋12＋21）＝820（人）答：三個車間一共820人。百分?jǐn)?shù)問題【含義】百分?jǐn)?shù)是表示一個數(shù)是另一個數(shù)的百分之幾的數(shù)。百分?jǐn)?shù)是一種特殊的分?jǐn)?shù)。分?jǐn)?shù)常常可以通分、約分，而百分?jǐn)?shù)則無需；分?jǐn)?shù)既可以表示“率”，也可以表示“量”，而百分?jǐn)?shù)只能表示“率”；分?jǐn)?shù)的分子、分母必須是自然數(shù)，而百分?jǐn)?shù)的分子可以是小數(shù)；百分?jǐn)?shù)有一個專門的記號“%”。在實(shí)際中和常用到“百分點(diǎn)”這個概念，一個百分點(diǎn)就是1%，兩個百分點(diǎn)就是2%。【數(shù)量關(guān)系】掌握“百分?jǐn)?shù)”、“標(biāo)準(zhǔn)量”“比較量”三者之間的數(shù)量關(guān)系：百分?jǐn)?shù)＝比較量247。標(biāo)準(zhǔn)量標(biāo)準(zhǔn)量＝比較量247。百分?jǐn)?shù)【解題思路和方法】一般有三種基本類型：（1）求一個數(shù)是另一個數(shù)的百分之幾；（2）已知一個數(shù)，求它的百分之幾是多少；（3）已知一個數(shù)的百分之幾是多少，求這個數(shù)。例1倉庫里有一批化肥，用去720千克，剩下6480千克，用去的與剩下的各占原重量的百分之幾？解（1）用去的占720247。（720＋6480）＝10%（2）剩下的占6480247。（720＋6480）＝90%答：用去了10%，剩下90%。例2紅旗化工廠有男職工420人，女職工525人，男職工人數(shù)比女職工少百分之幾？解本題中女職工人數(shù)為標(biāo)準(zhǔn)量，男職工比女職工少的人數(shù)是比較量所以（525－420）247。525＝＝20%或者1－420247。525＝＝20%答：男職工人數(shù)比女職工少20%。例3紅旗化工廠有男