【文章內(nèi)容簡介】 所示。2．八個分角八個分角的形成，就是將圖3－2中的四個象限增加一個W面，變?yōu)榘藗€分角，其排列順序如圖3－9中的Ⅰ、Ⅱ、?、Ⅷ所示。投影面的展開已在圖中用箭頭示出。點在第一分角中的投影規(guī)律，完全適用于其他各個象限中的投影。三、點的投影與坐標研究點的坐標，也是研究點與投影面的相對位置?？砂讶齻€投影面看作坐標面，投影軸看作坐標軸?？臻g點A若用坐標表示，可寫成A（x，y，z）。如已知一點A的三投影a、a39。和a“，就可從圖上量出該點的三個坐標；反之，如已知A點的三個坐標，就能作出該點的三面投影。例、已知B（4，6，5），求作B點的三面投影。解： 作圖步驟如圖3－10所示。板書向同學(xué)講解四、兩點的相對位置和重影點1．兩點的相對位置如圖3－11a）所示，若以B點為基準，因xa＜xb，ya＜yb，za＞zb，故知A點在B點的右、后、上方。圖3－11b＝為其立體圖。2．重影點及其可見性的判別當空間兩點位于某一投影面的同一投射線上時，則此兩點在該投影面上的投影重合。此重合的投影稱為重影點。小結(jié)：點的兩面、三面投影規(guī)律，點的投影與坐標的關(guān)系，點相對位置的確定及重影點的判別。兩167。3－2 直線的投影按直線與投影面的相對位置可分為：一般位置直線、投影面平行線和投影面垂直線三種，后兩種統(tǒng)稱為特殊位置直線。一、一般位置直線對三個投影面均不平行又不垂直的直線稱為一般位置直線（簡稱一般線）。見圖3－13a）為一般位置直線的立體圖，直線和它在某一投影面上的投影所形成的銳角，稱為直線對該投影面的傾角，對H面的傾角用α表示；對V、W面的傾角分別用β、γ表示。二、投影面平行線只平行某個投影面，傾斜于另外兩個投影面的直線，稱為某投影面的平行線，如表3－1所示，它有三種情況：（l）與V面平行的稱為正面平行線，簡稱正平線，如表3－1中的AB；（2）與H面平行的稱為水平面平行線，簡稱水平線，如表3－1中的CD；（3）與W面平行的稱為側(cè)面平行線，簡稱側(cè)平線，如表3－1中的EF。由表3－1各投影面平行線的投影特性，可概括出它們的共性為：（1）直線在所平行的投影面上的投影反映實長，且該投影與相應(yīng)投影軸所成之夾角，反映直線對其他兩投影面的傾角；（2）直線其他兩投影均小于實長，且平行于相應(yīng)的投影軸。例、已知水平線AB的長度為 25mm、β= 30176。和A點的二投影 a、a39。，試求AB的三面投影。解討論：根據(jù)已知條件，B點可以在A點的前、后、左、右四種位置，即本題有四種答案。三、投影面垂直線與某一個投影面垂直的直線統(tǒng)稱為投影面垂直線，如表3—2所示。投影面垂直線也有三種情況：（l）與V面垂直的稱為正面垂直線，簡稱正垂線，如表3－2中的CE；（2）與H面垂直的稱為水平面垂直線，簡稱鉛垂線，如表3－2中的AB；（3）與W面垂直的稱為側(cè)面垂直線，簡稱側(cè)垂線，如表3－2中的CD。由表3－2各投影面垂直線的投影特性，可概括出它們的共性為：（l）在所垂直的投影面上的投影積聚成一點；（2）其他兩投影與相應(yīng)的投影軸垂直，并都反映實長。四、直線的實長及其與投影面的傾角如要根據(jù)一般線的投影求其實長和傾角，只要分析圖3－15a）中的直角三角形BEB1；，即可求得解決問題的一般規(guī)律。同理，為求BE直線對V面的傾角β，可將圖3－16a）作類似的空間分析，其具體作圖方法如圖3－16b）所示。若求傾角γ，則以b”e為一直角邊，Xb－Xe為另一直角邊，作出直角三角形即可（圖略）。例、已知直線AB的實長為20mm，并知a、a39。、b39。，試求b（圖3－17）。五、直線上的點點在直線上，則點的投影必在直線的同面投影上。如圖3－18 點分割線段成定比，其投影也把線段投影分成相同的比例。這就是點的定比分割特性。例、已知側(cè)平線 AB的兩投影 ab和a39。b39。，并知AB線上一點K的V面投影 k39。，求 k（圖3－19）。例、已知側(cè)平線CD及點M的V、H面投影，試判定M點是否在側(cè)平線OD上（圖3－20）。解：六、直線的跡點直線與投影面的交點，稱為直線的跡點。與水平投影面的交點稱為水平跡點，用 M標記；與正立投影面的交點稱為正面跡點，用N標記；與側(cè)投影面的交點稱為側(cè)面跡點，用S標記。圖3－21為直線AB的H面和V面跡點的求法。例、求側(cè)平線AB的跡點（圖3－22）。板書向同學(xué)講解小結(jié)：一般位置直線、特殊位置直線的投影特性，直線的實長及其與投影面的傾角，直線上的點及直線的跡點的投影。兩直線的相對位置：工程結(jié)構(gòu)物上的表面交線，它們兩兩之間的相對位置可歸納為三種情況。（1）兩直線互相平行。（2）兩直線相交。（3）兩直線交叉?，F(xiàn)將三種情況分述如下。一、平行兩直線判定兩直線是否平行，對一般線只要觀察兩面投影即可。但如圖3－25所示的兩側(cè)平線CD和EF，它們的V、H面投影雖然互相平行，但兩直線不一定平行?？勺鞒鏊鼈兊?W面投影來判斷。判斷結(jié)果，CD與EF不平行。二、相交兩直線相交兩直線，其同面投影必相交，且各投影交點的連線必垂直于相應(yīng)的投影軸（即符合點的投影規(guī)律）。如圖3－26b）所示，AB、CD均為一般線，故按上述投影特點根據(jù) V、H兩面投影即可判定該兩直線為相交。當兩直線之一為投影面平行線時，如圖3－27所示，CD為側(cè)平線，若只根據(jù)V、H兩面投影則還不足以判定其是否相交，這里除可作出W面投影或利用前述定比的特性來判定外，還可用假設(shè)轉(zhuǎn)化為共面（或異面）兩直線的幾何關(guān)系來判定。三、交叉兩直線交叉兩直線既不平行也不相交。它們的投影可能有一對或兩對同面投影互相平行，但決不可能三對同面投影都互相平行（圖3－25）。交叉兩直線也可表現(xiàn)為一對、兩對或三對同面投影相交，但其交點的連系線不可能符合點的投影規(guī)律。如圖3—28所示，AB和CD是交叉兩直線，其三面投影均相交，但其交點不符合點的投影規(guī)律，即ab和cd的交點不是一個點的投影，而是AB上的M點四、直角投影設(shè)兩直線相交（或交叉）成直角，若其中有一條直線與某一投影面平行，則此直角僅在該投影面上的投影仍反映直角（圖3－30）。小結(jié)：明確兩直線的相對位置為平行、相交、交叉、垂直等四種，掌握該四種的投影規(guī)律，并能利用投影規(guī)律解題。167。3－3平面的投影一、幾何元素表示法不在同一直線上的三點可以確定一個平面。因此在投影圖上能用下列任一組幾何元素的投影表示平面，如圖428所示。圖428平面的五種表示方法(1)不在同一直線上的三點，如圖a)；(2)一直線和直線外一點，如圖b)；(3)相交兩直線，如圖c)；(4)平行兩直線，如圖d)；(5)任意平面圖形，如圖e)，即平面的有限部分，如三角形、圓形及其他封閉圖形。二、跡線表示法平面除上述五組表示法外，還可以用跡線表示。跡線就是平面與投影面的交線。如圖（429a）、b）中的Q平面，就是用跡線表示的一般位置平面，它與H面的交線稱為水平跡線，用 QH表示；與V面的交線稱為正面跡線，用Qy表示；與W面的交線稱為側(cè)面跡線，用Qw表示。跡線與投影軸的交點稱集合點，分別以O(shè)x、Qy和Qz表示。圖4—29c)、d)是用跡線表示的鉛垂面P。圖429 跡線表示的平面a)立體圖；b)投影圖；c)立體圖；d)投影圖用跡線表示的平面簡稱跡線平面，用幾何元素表示的平面簡稱非跡線平面。第二節(jié) 各種位置平面投影特性在三投影面體系中，平面與投影面的相對位置，歸納起來有投影面垂直面、投影面平行面和一般位置平面三種。前兩種統(tǒng)稱為特殊位置平面。(一)投影面垂直面垂直于一個投影面，傾斜于其他投影面的平面稱投影面垂直面，簡稱垂直面。垂直面的三種情況：垂直于H面的稱為水平面垂直面，簡稱鉛垂面，如表4—3中的△ABC，圖4—30a)中平面ACEG；圖430 投影面垂直面垂直于V面的稱為正面垂直面，簡稱正垂面，如表4—3中的ADEF，圖4—30b)中的平面 ABEF；垂直于W面的稱為側(cè)面垂直面，簡稱側(cè)垂面，如表4—3中的平面ABCD，圖4—30c)中的平面BCFG。以正垂面△DEF為例討論其投影特性：(1)V面投影d39。e39。f39。積聚成一直線；(2)d39。e39。f39。與OX軸的夾角，即為該平面與H面的傾角α，與OZ軸的夾角為該平面與W面的傾角γ；(3)H、W面投影仍為三角形，但小于實形。各種投影面垂直面的投影特性見表4—3 投影面垂直面的共性是：(1)平面在所垂直的投影面上的投影積聚成一直線，它與相應(yīng)投影軸所成的夾角，即為該平面對其他兩個投影面的傾角；(2)其他兩投影是類似圖形，并小于實形。投影面垂直面 表4—3 [例3—8] 過已知點K的兩面投影k、k39。走，作一鉛垂面，使它與V面的傾角β=30176。(圖4—31)。解:(1)過是點作一條與OX軸成30176。的直線，這條直線就是所求作鉛垂面的H面投影；(2)所作平面的y面投影可以用任意圖形表示。過是可以作兩個方向與 OX軸成30176。角的直線，所以本題有兩解。(二)投影面平行面平行于某一投影面的平面，稱為投影面平行面，簡稱平行面。投影面平行面與另外兩個面垂直。它也有三種情況：與H面平行的稱為水平面平行面，簡稱水平面，如表44中的△ABC，圖4—32中的平面 ABCD；與V面平行的稱為正面平行面，簡稱正平面，如表44中的△DEF，圖4—32中的平面 ADFG 與W面平行的稱為側(cè)面平行面，簡稱側(cè)平面，如表4—4中的AKMN，圖432中的平面 DCEF。圖431 過已知點K作鉛垂面a)立體圖；b)投影圖圖432 投影面平行面以正平面△DEF為例，討論其投影特性：(1)V面投影dˊeˊfˊ反映實形；(2)H面、W面投影積聚成直線，且分別平行于OX軸和OZ軸； 投影面平行面的共性：平面在所平行的投影面上的投影反映實形，其他兩投影都積聚成與相應(yīng)投影軸平行的直線。投影面平行面 表4—4(三)一般位置平面與三個投影面既不平行也不垂直的平面稱為一般位置平面，簡稱一般面。圖4—33中平面ACF即為一個一般位置平面。根據(jù)平面的投影特點可知，一般面的各個投影都沒有積聚性，均小于實形，如圖4—34所示。圖433 一般位置平面圖434 一般位置平面 a)立體圖；b)投影圖167。3－4平面上的點和直線直線在平面上必須具備下列兩條件之一：(1)直線通過平面上的兩點如圖4—35所示，在平面P上的兩條直線AB和BC上各取一點D和正，則過該兩點的直線DE必在P面上。(2)直線通過平面上的一點，且平行于該平面上的一直線如圖4—35所示，過P面上的C點，作CF∥AB，AB是平面P內(nèi)的一條直線，則直線CF必在P面上。如圖4—36所示，要在ABC上任作一條直線MN，則可在此平面上的兩條直線AB和 CD上各取點M(m、m′、m″)和N(n、n′、n″)，連接M和N的同面投影，則直線MN就是ABC上的一條直線。圖435平面上的直線 圖436 在平面上任作一直線一、平面上的投影面平行線平面上平行于投影面的直線稱為平面上的投影面平行線。平面上的投影面平行線有三種：平面上平行于H面的直線稱為平面上的水平線；平行于y面的直線稱為平面上的正平線；平行于W面的直線稱為平面上的側(cè)平線。如圖4—37，是用跡線表示的 P平面上的水平線AB和正平線CD。平面上的投影面平行線，既在平面上，又具有投影面平行線的一切投影特性。在P平面上可作出無數(shù)條水平線、正平線和側(cè)平線。它們的投影分別與平面的相應(yīng)跡線平行。[例4—9] 已知ABC，過A點作平面上的水平線(圖4—38)。圖437平面上的投影面子行線 圖438平面上的水平線二、平面上的最大坡度線平面上對投影面傾角為最大的直線稱為平面上對投影面的最大坡度線，它必垂直于該平面上的同面平行線及跡線。最大坡度線有三種：垂直于水平線的稱為對H面的最大坡度線；垂直于正平線的稱為對V面的最大坡度線；垂直于側(cè)平線的稱為對W面的最大坡度線。如圖439所示的ABC，擴展成平面P后，它與H面的交線為PH，在ABC上作水平線BG，則PH∥BG。過A點作AD上PH，則AD對H面的傾角。為最大，證明從略。所以，垂直于PH(或垂直于水平線BG)的直線AD對H面的傾角為最大，因此稱其為“最大坡度線”。從物理意義上講，在坡面上，小球或雨滴必沿對H面的最大坡度線方向滾落。同理，平面上對y、W面的最大坡度線也分別垂直于平面上的正平線和側(cè)平線。由于AD⊥ PH，aD⊥PH，則∠Ada=α。，它是P、H面所成的二面角，所以平面P對H面的傾角就是最大坡度線AD對H面的傾角。綜上所述，最大坡度線的投影特性是：平面內(nèi)對H面的最大坡度線其水平投影垂直于面內(nèi)水平線的水平投影，其傾角α代表了平面對H面的傾角；平面內(nèi)對V面的最大坡度線其正面投影垂直于面內(nèi)正平線的正平投影，其傾角β代表了平面對V面的傾角；平面內(nèi)對W面的最大坡度線其側(cè)面投影垂直于面內(nèi)側(cè)平線的側(cè)平投影，其傾角γ代表了平面對W面的傾角。[例410] 求ABC對H面的傾角。(圖4—40)。解 要求ABC對H面的傾角。，必須首先作出對H面的最大坡度線，作法如下：三、平面上取點和圓的投影 1．平面上取點如果點在平面內(nèi)的任一直線上，則此點一定在該平面上。因此在乎面上取點，必須先在平而上取輔助線，再在輔助線上取點。在平面上可作出無數(shù)條線，一般選取作圖方便的輔助線為宜。第四章 簡單立體的投影167。41平面立體的投影表面由平面所圍成的幾何體稱為平面立體。所以平面立體的投影就是圍成它的表面的平面圖形的投影。工程上常用的平面立體有棱柱體和棱錐體(包括棱臺)。一、棱柱體(一)投影圖81所示為一正五棱柱的立體圖和投影圖(從本節(jié)開始，在投影圖中去掉投影軸)。圖8—1 正五棱柱的投影a)立體圖；b)投影圖此五棱柱的頂面和底面都是水平面；它的五個邊中有四條邊是水平線，一條是側(cè)垂線；五個棱面有四個是鉛垂面，一個是正平面；五條棱線均為鉛垂線。五棱柱的H面投影是一正五邊形，它既是上下底面的投影(而且反映實形)，也是垂直底面的五個棱面的投影。在V面投影中，因為五棱柱的上下底面平行于H面，所以其投影為上、