數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)與智慧發(fā)展門頭溝——章建躍20xx0416(編輯修改稿)
2025-01-04 10:04 本頁面
【文章內(nèi)容簡介】 ：先用平面幾何眼光觀察，再用坐標(biāo)法解決。 ? 平面直角坐標(biāo)系的要素是什么？ ? 平面直角坐標(biāo)系中的點，可以討論哪些問題 —— 一個點？兩個點？三個點？ 直線與方程的結(jié)構(gòu) ? 在平面直角坐標(biāo)系中，確定直線位置的幾何要素 ——平面幾何是”兩點確定一條直線”；這里要發(fā)揮直角坐標(biāo)系的力量，因此引入傾斜角和斜率的概念。 ? 斜率：概念、公式（不同條件下的不同形式）、性質(zhì)（特例、關(guān)系） ? 直線的方程：“一點和一個方向，或兩點，唯一確定一條直線”的代數(shù)化。求解的過程是“同一事物的兩種表示等價”。 從哪些角度討論直線方程？ ? 不同的條件下的不同形式 ——可以問學(xué)生：你認(rèn)為可以從哪些角度確定一條直線？ ? 與直線相關(guān)的幾何問題有哪些？如何利用直線方程進行討論？ ——平面幾何的經(jīng)驗，討論“相交線與平行線”，“相交線”中有交點坐標(biāo)、交角、點到直線的距離等，特例是垂直；“平行線”中，平行的條件，平行線間的距離。 還可以討論哪些問題？ 二元一次不等式表示平面區(qū)域 ? 如何提出問題？如何獲得猜想？ ? 從具體到抽象、從特殊到一般 ——強調(diào)歸納的過程。 ? 直角坐標(biāo)系中，方程 x－ y－ 6=0的解為坐標(biāo)的點在直線 l上；同時，直線 l上的點的坐標(biāo)都是方程 x－ y－ 6=0的解 ——由此你能提出什么新問題？ ? (x0 ,y0)不在直線 l上，則 x0－ y0－ 6≠0—— x0－ y0－ 6＞ 0或 x0－ y0－ 6＜ 0。 ? 坐標(biāo)平面被直線 x－ y－ 6=0分成三個部分，它們與 x－ y－ 6＞ 0， x－ y－ 6=0 ， x－ y－ 6＜ 0有什么關(guān)系呢？ ? 任意取點，代入，找規(guī)律 ——發(fā)現(xiàn)“同側(cè)同號”。 如何證明“同側(cè)同號” ? 點 P0 (x0 ,y0 )在直線 Ax+By+C=0的“左上方”、“右下方”如何用數(shù)量關(guān)系表達？ ? y P0(x0 ,y0 ) O x 獲得證明思路的關(guān)鍵 ? 對解析幾何的基本思想（坐標(biāo)法）的理解深度； ? 對“先用平面幾何眼光觀察，再用代數(shù)方法解決”的認(rèn)識； ? 在直角坐標(biāo)系中，幾何方位的代數(shù)化 ——以坐標(biāo)軸為基準(zhǔn)，用不等式表示“上下左右”的關(guān)系。所以，歸根到底是對直角坐標(biāo)系、點的坐標(biāo)等概念的認(rèn)識和應(yīng)用。 七、關(guān)于系統(tǒng)思維的培養(yǎng) ? 數(shù)學(xué)是一個系統(tǒng)，理解和掌握數(shù)學(xué)知識需要系統(tǒng)思維。系統(tǒng)思維就是把認(rèn)識對象作為系統(tǒng)，從系統(tǒng)和要素、要素和要素、系統(tǒng)和環(huán)境的相互聯(lián)系及相互作用中綜合地考察認(rèn)識對象的一種思維方法。系統(tǒng)思維能極大地簡化人們對事物的認(rèn)知。系統(tǒng)思維給我們帶來整體觀、全局觀，具備系統(tǒng)思維是邏輯抽象能力強的集中表現(xiàn)。 例 研究“三角形”的系統(tǒng)思維 ? 定義“三角形”，明確它的構(gòu)成要素；用符號表示三角形及其構(gòu)成要素；以要素為標(biāo)準(zhǔn)對三角形進行分類； ——明確研究對象 ? 基本性質(zhì)，即研究要素之間的關(guān)系，得到 “三角形內(nèi)角和等于 180176。 ” 等； ? 研究“相關(guān)要素及其關(guān)系”，如“三角形的外角等于不相鄰兩內(nèi)角之和”等； ? 三角形的全等（反映空間的對稱性，“相等”是重要的數(shù)學(xué)關(guān)系，也可以看成“確定一個三角形的條件”）； ? 特殊三角形的性質(zhì)與判定（等腰三角形、直角三角形）； ? 三角形的變換（如相似三角形等）； ? 直角三角形的邊角關(guān)系（銳角三角函數(shù)），解直角三角形； ? 解三角形（正弦定理、余弦定理）。 把三角形作為一個系統(tǒng)進行研究 ? 明確研究對象（定義、表示、劃分） ——性質(zhì)（要素、相關(guān)要素的相互關(guān)系）——特例（性質(zhì)和判定） ——聯(lián)系； ? 定性研究（相等、不等、對稱性等） ——定量研究（面積、勾股定理、相似、解三角形等）。 ? 培養(yǎng)系統(tǒng)思維，是為了使學(xué)生養(yǎng)成全面思考問題的習(xí)慣，避免“見木不見林”，進而使他們在面對數(shù)學(xué)問題時，能把解決問題的目標(biāo)、實現(xiàn)目標(biāo)的過程、解決過程的優(yōu)化以及對問題的拓展、深化等作為一個整體進行研究。這樣，“使學(xué)生學(xué)會思考，成為善于認(rèn)識和解決問題的人才”就能落在實處。 什么叫性質(zhì)？ ? 性質(zhì)是指事物所具有的本質(zhì)，即事物內(nèi)部穩(wěn)定的聯(lián)系。 ? 問題：這里的“事物內(nèi)部”指什么？“穩(wěn)定的聯(lián)系”是怎么表現(xiàn)的？到底怎樣才能發(fā)現(xiàn)這種“聯(lián)系”？ ? 從三角形的“內(nèi)角和為 180176。 ”、“兩邊之和大于第三邊”、“大邊對大角”、“等邊對等角”等你想到了什么？ ? “內(nèi)部”可以是“三角形的組成要素”，“穩(wěn)定的聯(lián)系”是指“三角形要素之間確定的關(guān)系”。 ? 幾何對象組成要素之間確定的關(guān)系就是性質(zhì)。 ? 從“外角等于不相鄰兩內(nèi)角的和”、“三條高交于一點”、“等腰三角形三線合一”等又想到了什么？ ? 把外角、高、中線、角平分線等叫做三角形的相關(guān)要素，這些“相關(guān)要素”也可以看成是“三角形的內(nèi)部”。 ? 要素、相關(guān)要素之間確定的關(guān)系也是性質(zhì)。 ? 兩個幾何事物所形成的某種位置關(guān)系所體現(xiàn)的性質(zhì)，例如兩條直線平行，從“同位角相等”、“內(nèi)錯角相等”以及“同旁內(nèi)角互補”可以想到，這時的“性質(zhì)”是借助“第三條直線”構(gòu)成一些角，然后看由兩條直線平行這一位置關(guān)系所決定的這些角之間有什么確定的關(guān)系。 ? 研究兩個幾何事物的某種位置關(guān)系下具有什么性質(zhì)，可以從探索這種位置關(guān)系下的兩個幾何事物與其他幾何事物之間是否形成確定的關(guān)系入手。 圓的幾何性質(zhì) ? 要素、相關(guān)要素：圓心、半徑、直徑、弧、弦、圓心角、圓周角 …… ? 你認(rèn)為可以怎樣引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)和提出值得研究的命題？ ? 同（等）圓的直徑大于不經(jīng)過圓心的任何一條弦； ? 垂直于弦的直徑平分弦，并且平分這條弦所對的兩條??； ?
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