【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 直角三角形中，斜邊上的高線(xiàn)是兩直角邊在斜邊上的攝影的比例中項(xiàng)，每條直角邊是它們?cè)谛边吷系臄z影和斜邊的比例中項(xiàng) ∠ ACB=90176。 BDADCD ??2 ? ABADAC ??2 CD⊥ AB ABBDBC ??2 （ 6）常用關(guān)系式 由三角形面積公式可得： AB? CD=AC? BC 中考規(guī)律盤(pán)點(diǎn)及預(yù)測(cè) 特殊三角形中的等腰三角形與第一章的全等三角形的證明結(jié)合起來(lái)這種題型會(huì)常出現(xiàn)，等腰三角形的性質(zhì)是基礎(chǔ)知識(shí)，必須得掌握并靈活的運(yùn)用到各類(lèi)題型中去，這類(lèi)題型中考也是必考的。 典例分析 例 1 在△ ABC中， AB=AC，∠ 1=12 ∠ ABC，∠ 2=12 ∠ ACB， BD與 CE相交于點(diǎn) O， 如圖，∠ BOC的大小與∠ A的大小有什么關(guān)系？ 若∠ 1=13 ∠ ABC，∠ 2=13 ∠ ACB，則∠ BOC與∠ A大小關(guān)系如何？ 若∠ 1=1n ∠ ABC，∠ 2=1n ∠ ACB，則∠ BOC與∠ A大小關(guān)系如何？ 考點(diǎn)：等腰三角形 分析：在上述條件由特殊到一般的變化過(guò)程中， 根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)，∠ 1=∠ 2，∠ ABD=∠ ACE， 即可得到∠ 1=12 ∠ ABC，∠ 2=12 ∠ ACB時(shí)，∠ BOC=90176。 +12 ∠ A； ∠ 1=13 ∠ ABC，∠ 2=13 ∠ ACB時(shí)，∠ BOC=120176。 +13 ∠ A； ∠ 1=1n ∠ ABC，∠ 2=1n ∠ ACB時(shí)，∠ BOC= 1nn? 178。 180176。 +∠ A． 例 2 如圖， P是等邊三角形 ABC內(nèi)的一點(diǎn)，連結(jié) PA、 PB、 PC， 以 BP為邊作∠ PBQ=60176。，且 BQ=BP，連 結(jié) CQ． （ 1）觀(guān)察并猜想 AP 與 CQ之間的大小關(guān)系，并證明你的結(jié)論． （ 2）若 PA： PB： PC=3： 4： 5，連結(jié) PQ，試判斷△ PQC的形狀，并說(shuō)明理由． 分析（ 1）把△ ABP繞點(diǎn) B順時(shí)針旋轉(zhuǎn) 60176。即可得到△ CBQ． 利用等邊三角形的性質(zhì)證△ ABP≌△ CBQ，得到 AP=CQ．（ 2）連接 PQ，則△ PBQ是等邊三角形． PQ=PB， AP=CQ故 CQ： PQ： PC=PA：PB： PC=3： 4： 5，∴△ PQC是直角三角形． 點(diǎn)評(píng) 利用等邊三角形性質(zhì)、判定、三角形全等、直角三角形的判定等知識(shí)點(diǎn)完成此題的證明 ． 例 3已知：在 中， ， ， ，求 的度數(shù) . 分析 由條件易得 ， ， ， 且 ∴ ，又 ∴ ∴ 點(diǎn)評(píng) 這題運(yùn)用到等腰三角形的等角對(duì)等邊的性質(zhì)，像這類(lèi)的求角度的題是會(huì)經(jīng)常出現(xiàn)的類(lèi)型，應(yīng)熟練掌握這類(lèi)題型的解題方法 例 4 如圖，已知：在 中， ， ， ， .求： 的度數(shù) . 分析 由已知條件易證 .∴ ∴ ∴ 點(diǎn)評(píng) 這題運(yùn)用到全等三角形的證明與等腰三角形知識(shí)的結(jié)合，比較靈活，要求學(xué)生能靈活的將兩類(lèi)知識(shí)結(jié)合起來(lái)運(yùn)用，這類(lèi)題型在考試中也是比較常見(jiàn)的 基礎(chǔ)練習(xí) 一、填空題 1．已知等腰三角形一個(gè)內(nèi) 角的度數(shù)為 30176。，那么它的底角的度數(shù)是 _________． 2．等腰三角形的頂角的度數(shù)是底角的 4倍，則它的頂角是 ________． 3．等腰三角形的兩邊長(zhǎng)分別為 3厘米和 6厘米，這個(gè)三角形的周長(zhǎng)為 _________． 4．如圖，在 中， 平分 ，則 D點(diǎn)到 AB的距離為 ________． 5．如圖，在 中， 平分 ，若 ，則 ． 6．如圖， ， AB的垂直平分線(xiàn)交 AC于 D，則 ． 7．如圖， 中， DE垂直平分 的周長(zhǎng)為 13，那么 的周長(zhǎng)為 __________． 8．如圖，如果點(diǎn) M在 的平 分線(xiàn)上且 厘米，則 ，你的理由是 _____________________________________________． 9．如圖，已知 邊的垂直平分線(xiàn)交 于點(diǎn) ，則 的周長(zhǎng)為 __________． 二、解答題 1．如圖， 中， ，試說(shuō)明： ． 2．如圖，求作一點(diǎn) P，使 ，并且使點(diǎn) P到 的兩邊的距離相等，并說(shuō)明你的理由． 3．老師正敘述這樣一道題：請(qǐng)同學(xué)們畫(huà)出一個(gè) ，然后畫(huà)出 的中垂線(xiàn)，且交于點(diǎn) P．請(qǐng)同學(xué)們想一下點(diǎn) P到三角形三個(gè)頂點(diǎn) 的距離如何？小明馬上就說(shuō)：“相等．”他是隨便說(shuō)的嗎 ？你同意他的說(shuō)法嗎？請(qǐng)說(shuō)明你的理由． 4．如圖，已知 中， DE垂直平分 AC，交 C于點(diǎn) E，交 BC于點(diǎn) D， 的周長(zhǎng)是 20厘米， AC長(zhǎng)為 8厘米，你能判斷出 的周長(zhǎng)嗎？試試看． 5．有一個(gè)三角形的支架如圖所示， ，小明過(guò)點(diǎn) A和 BC邊的中點(diǎn) D又架了一個(gè)細(xì)木條，經(jīng)測(cè)量 ，你在不用任何測(cè)量工具的前提下，能得到 和 的度數(shù)嗎？ 6．請(qǐng)你在紙上畫(huà)一個(gè)等腰三角形 ABC（如圖），使得 ． （ 1）請(qǐng)你判斷一下 與 有什么大小關(guān)系呢？你的依據(jù)是什么？ （ 2）請(qǐng)你再深入地思考一個(gè)問(wèn)題：若只知道 與 相等，請(qǐng)你判斷一下這個(gè)三角形是什么形狀的呢？并說(shuō)明你的探索思路． （ 3）由第（ 2）你會(huì)得到一個(gè)什么結(jié)論呢？請(qǐng)用一句話(huà)概括出來(lái)． （ 4）現(xiàn)在給出兩個(gè)三角形（如圖），請(qǐng)你把圖（ 1）分割成兩個(gè)等腰三角形，把圖（ 2）分割成三個(gè)等腰三角形．動(dòng)動(dòng)腦筋呀！ 參考答案： 一、 1． 30176?；?75176。 2． 120176。 3． 15厘米 4． 4 5． 30176。， DC 6． 20176。 7． 19 8． 6cm，角平分線(xiàn)上的點(diǎn)到角兩邊的距離相等 9． 22． 二、 1．提示：在 AB 上截取 ，易說(shuō)明 ≌ ，從而可說(shuō)明 ，所以 2．提示：作線(xiàn)段 CD 的垂直平分 線(xiàn)和 的角平分線(xiàn)，兩線(xiàn)交點(diǎn)即為所求點(diǎn)． 3．我同意小明的說(shuō)法．如圖，∵點(diǎn) P是 AB的中垂線(xiàn)上一點(diǎn)，∴ ．∵點(diǎn) P是是 AC中垂線(xiàn)上一點(diǎn)，∴ ．∴ ． 4． 垂直平分 AC，∴ ． 的周長(zhǎng)是 20厘米，∴ ．∴ 即 ．又 ，∴ 厘米． 5． 為 BC邊的中點(diǎn)，∴ AD又是 BC邊的高線(xiàn)和 的角平分線(xiàn)．∴ ．∴ ． 6．（ 1）相等、依據(jù)，等腰三角形兩底角相等． （ 2）等腰三角形．如圖，證明：過(guò)點(diǎn) A作 ，在 和 中， ，∴ ≌ ，∴ （ 3）兩個(gè)底角相等的三角形是等腰三角形． （ 4）如圖． 第三章 一元一次不等式 復(fù)習(xí)總目 理解不等式的三個(gè) 基本性質(zhì) 會(huì)用不等式的基本性質(zhì)解一元一次不等式并掌握不等式的解題步驟 會(huì)解由兩個(gè)一元一次不等式組成的不等式組 知識(shí)點(diǎn)概要 一、不等式的概念 不等式：用不等號(hào)表示不等關(guān)系的式子，叫做不等式。 不等式的解集：對(duì)于一個(gè)含有未知數(shù)的不等式，任何一個(gè)適合這個(gè)不等式的未知數(shù)的值，都叫做這個(gè)不等式的解。 對(duì)于一個(gè)含有未知數(shù)的不等式，它的所有解的集合叫做這個(gè)不等式的解的集合，簡(jiǎn)稱(chēng)這個(gè)不等式的解集。 求不等式的解集的過(guò)程，叫做解不等式。 用數(shù)軸表示不等式的方法 二、不等式基本性質(zhì) 不等式兩邊都 加上（或減去）同一個(gè)數(shù)或同一個(gè)整式，不等號(hào)的方向不變。 不等式兩邊都乘以（或除以）同一個(gè)正數(shù)，不等號(hào)的方向不變。 不等式兩邊都乘以（或除以）同一個(gè)負(fù)數(shù)，不等號(hào)的方向改變。 說(shuō)明： ① 在一元一次不等式中，不像等式那樣，等號(hào)是不變的，是隨著加或乘的運(yùn)算改變。 ② 如果不等式乘以 0，那么不等號(hào)改為等號(hào)所以在題目中，要求出乘以的數(shù)，那么就要看看題中是否出現(xiàn)一元一次不等式，如果出現(xiàn)了，那么不等式乘以的數(shù)就不等為 0，否則不等式不成立； 三、一元一次不等式 一元一次不等式的概念 ： 一般地，不等式中只含有一個(gè)未知數(shù)，未知數(shù)的次數(shù)是 1，且不等式的兩邊都是整式，這樣的不等式叫做一元一次不等式。 解一元一次不等式的一般步驟：（ 1）去分母（ 2）去括號(hào)（ 3）移項(xiàng)（ 4）合并同類(lèi)項(xiàng)（ 5）將 x項(xiàng)的系數(shù)化為 1 四、一元一次不等式組 一元一次不等式組的概念：幾個(gè)一元一次不等式合在一起，就組成了一個(gè)一元一次不等式組。 幾個(gè)一元一次不等式的解集的公共部分，叫做它們所組成的一元一次不等式組的解集。 求不等式組的解集的過(guò)程，叫做解不等式組。 當(dāng)任 何數(shù) x都不能使不等式同時(shí)成立，我們就說(shuō)這個(gè)不等式組無(wú)解或其解為空集。 一元一次不等式組的解法 （ 1）分別求出不等式組中各個(gè)不等式的解集 （ 2）利用數(shù)軸求出這些不等式的解集的公共部分，即這個(gè)不等式組的解集。 不等式與不等式組 不等式：①用符號(hào)〉， =，〈號(hào)連接的式子叫不等式。②不等式的兩邊都加上或減去同一個(gè)整式，不等號(hào)的方向不變。③不等式的兩邊都乘以或者除以一個(gè)正數(shù)，不等號(hào)方向不變。④不等式的兩邊都乘以或除以同一個(gè)負(fù)數(shù)，不等號(hào)方向相反。 不等式的解集： ①能使不等式成立的未知數(shù)的值，叫做不等式的解。 ②一個(gè)含有未知數(shù)的不等式的所有解，組成這個(gè)不等式的解集。 ③求不等式解集的過(guò)程叫做解不等式 中考規(guī)律盤(pán)點(diǎn)及預(yù)測(cè) 一元一次不等式（組）的解法及其應(yīng)用，在初中代數(shù)中有比較重要的地位，它是繼一元一次方程、二元一次方程的學(xué)習(xí)之后，又一次數(shù)學(xué)建模思想的學(xué)習(xí)，是培養(yǎng)學(xué)生分析問(wèn)題和解決問(wèn)題能力的重要內(nèi)容，在近幾年來(lái)的考試中會(huì)出現(xiàn)此類(lèi)型的題目 典型分析 例 1 解不等式組 分析 解不等式 (1)得 x1, 解不等式 (2)得 x≤1, 解不等式 (3)得 x2, ∴ ∵ 在數(shù)軸上表示出各個(gè)解為： ∴ 原不等式組解集為 1x≤1 注意： 借助數(shù)軸找公共解時(shí)，應(yīng)選圖中陰影部分，解集應(yīng)用小于號(hào)連接，由小到大排列，解集不包括 1而包括 1在內(nèi)，找公共解的圖為圖（ 1），若標(biāo)出解集應(yīng)按圖（ 2）來(lái)畫(huà)。 點(diǎn)評(píng) 這類(lèi)題型是常見(jiàn)的解一元一次不等式組，并結(jié)合數(shù)軸解題，在解題過(guò)程中要注意運(yùn)算的準(zhǔn)確性及數(shù)軸的表示法 例 2 求不 等式組 的正整數(shù)解。 分析 解不等式 3x24x5得： x3， 解不等式 ≤1 得 x≤2 ， 先求出不等式組的解集。 ∴ 在解集中找出它所要求的特殊解，正整數(shù)解。 ∴ 原不等式組解集為 x≤2 ， ∴ 這個(gè)不等式組的正整數(shù)解為 x=1或 x=2 點(diǎn)評(píng) 此類(lèi)題型關(guān)鍵是正整數(shù)解，這要結(jié)合數(shù)軸將其正整數(shù)解出來(lái)，在運(yùn)算過(guò)程中要注意正負(fù)數(shù)的 運(yùn)算，這在考試中是會(huì)經(jīng)常出現(xiàn)的題型 例 3 m為何整數(shù)時(shí)，方程組 的解是非負(fù)數(shù)？ 分析 解方程組 得 ∵ 方程組 的解是非負(fù)數(shù)， ∴ 即 解不等式組 ∴ 此不等式組解集為 ≤m≤ , 又 ∵m 為整數(shù)， ∴m=3 或 m=4。 點(diǎn)評(píng) 本題綜合性較強(qiáng)，注意審題，理解方程組解為非負(fù)數(shù)概念，即 。先解方程組用 m的代數(shù)式表示 x, y, 再運(yùn)用 “ 轉(zhuǎn)化思想 ” ，依據(jù)方程組的解集為非負(fù)數(shù)的條件列出不等式組尋求 m的取值范圍，最后切勿忘記確定 m的整數(shù)值。 例 4 解不等式 3≤3x 15。 分析 解法（ 1） :原不等式相當(dāng)于不等式組 解不等式組得 ≤x2 ， ∴ 原不等式解集為 ≤x2 。 解法（ 2） :將原不等式的兩邊和中間都加上 1，得 2≤3x6, 將這個(gè)不等式的兩邊和中間都除以 3得， ≤x2, ∴ 原不等式解集為 ≤x2 。 點(diǎn)評(píng) 這題把不等式拆分成兩個(gè)不等式并組成不等式組， 做題很 靈活，解法有兩種，在解題過(guò)程中要注意正負(fù)數(shù)移項(xiàng)時(shí)的符號(hào) 例 5 有一個(gè)兩位數(shù)，它十位上的數(shù)比個(gè)位上的數(shù)小 2，如果這個(gè)兩位數(shù)大于 20并