20xx北師大版中考數學第八章第44課分類討論型問題(編輯修改稿)
2025-01-01 19:09 本頁面
【文章內容簡介】 為點的位置不確定 ， 導致圖形不確定 ， 所以在解題時依據點可能出現(xiàn)的位置進行分類討論 ， 此類問題的分類討論容易遺漏 ， 考慮問題務必要全面 . 題 型 四 由形狀不確定分類 【例 4 】 (2 0 1 5 懷化 ) 如圖 ， 已知 Rt △ ABC 中 ， ∠ C＝ 90 176。， AC ＝ 8 ， BC ＝ 6 ， 點 P 以每秒 1 個單位的速度從點 A 向點 C 運動 ， 同時點 Q 以每秒 2 個單位的速度從A → B → C 方向運動 ， 它們到點 C 后都停止運動 ， 設點 P ，Q 運動的時間為 t (s) ． (1 ) 在運動過程中 ， 求 P ， Q 兩點間距離的最大值． (2 ) 經過 t (s) 的運動 ， 求 △ ABC 被直線 PQ 掃過的面積 S 與時間 t 的函數關系式． (3 ) P ， Q 兩點在運動過程中 ， 是否存在時間 t， 使得 △ PQC 為等腰三角形？若存在 ， 求出此時的 t 值 ， 若不存在 ， 請說明理由 ( 5 ≈ 2 .2 4 ， 結果保留一位小數 ) ． ( 例 4 題圖 ) 解析 (1 ) 分點 Q 在 AB 邊和 BC 邊上兩種情況 ， 結合勾股定理求解． (2 ) 分點 Q 在 AB 邊和 BC 邊上兩種情況 ， 由三角形的面積公式即可求得． (3 ) 存在．分點 Q 在 AB 邊和 BC 邊上兩種情況 ， ① 當點 Q 在 AB 邊上時 ，連結 CQ ， PQ ， 分 CQ ＝ CP ， PQ ＝ CQ ， PQ ＝ PC 三種情況； ② 當點 Q 在 BC邊上時 ， 顯然只可能 CP ＝ CQ ， 列方程求解并討論即可． 答案 (1 ) ∵∠ C ＝ 90 176。， AC ＝ 8 ， BC ＝ 6 ， ∴ AB ＝ AC2＋ BC2＝ 1 0 . ① 當點 Q 在邊 AB 上時 ， 0 t≤ 5 ， 如解 圖 ① ，過 Q 作QE ⊥ AC 于 E ， 連結 PQ ， ∵∠ C ＝ 90 176。， ∴ QE ∥ BC ， ∴△ABC ∽△ AQE ， ∴AQAB＝AEAC＝QEBC， ∵ AQ ＝ 2 t， AP ＝ t， ∴2 t10＝t＋ PE8＝QE6， ∴ PE ＝35t， QE ＝65t， ∴ PQ2＝ QE2＋ PE2， ∴ PQ＝3 55t， ( 例 4 題圖解 ① ) ∴ 當點 Q 與點 B 重合時 ， PQ 的 值最大， ∴ 當 t＝ 5 時 ， PQ 的最大值為3 5 ； ② 當點 Q 在 BC 邊上時 ， 5 ≤ t≤ 8 ， CQ ＝ 6 － (2 t－ 10) ＝ 16 － 2 t， CP ＝ 8 －t， ∴ PQ2＝ CQ2＋ CP2＝ (1 6 － 26)2＋ (8 － t )2＝ 5 ( 8 － t )2， 當 t＝ 5 時 ， PQ 取最大值 ， PQ 最大值為 5 （ 8 － 5 ）2＝ 3 5 . ∴ PQ 的最大值為 3 5 . (2 ) 當點 Q 在 AB 邊上時 ， 如解圖 ① ， △ ABC 被直線 PQ 掃過的面積＝ S △A Q P， ∴ S ＝12AP QE ＝12t65t＝35t2(0 ＜ t≤ 5) ； 當點 Q 在 BC 邊上時 ， △ A BC 被直線 PQ 掃過的面積＝ S 四邊形A B Q P， ∴ S 四邊形A B Q P＝ S △ABC－ S △PQ C＝12 8 6 －12(8 － t ) (1 6 － 2 t ) ＝－ t2＋ 16 t －4 0 ( 5 ＜ t≤ 8) ； ∴ 經過 t (s) 的運動 ， △ ABC 被直線 PQ 掃過的面積 S 與時間 t 的函數表達式為?????S ＝35t2（ 0 t≤ 5 ） ，S ＝－ t2＋ 16 t－ 40 （ 5 t≤ 8 ） . (3 ) 存在． ① 若點 Q 在 AB 邊上 ， 0 t≤ 5 ， 如圖解 ② ，連結 CQ ， PQ ， 過點 Q 作 QE ⊥ AC 于點 E ， 由 ( 1 ) 知 QE＝65t， PC ＝ 8 － t， CE ＝ AC － AE ＝ 8 －85t， PQ ＝3 55t， ∴ CQ ＝ QE2＋ CE2＝????????65t2＋????????8 －85t2， ( Ⅰ ) 當 CQ ＝ CP 時 ， 即????????65t2＋????????8 －85t2＝ 8 － t， 解得 t1＝ 0( 舍去 ) ， t2＝165； ( 例 4 題圖解 ② ) ( Ⅱ ) 當 PQ ＝ CQ 時 ， 即3 55t＝????????65t2＋????????8 －85t2， 解得 t 1 ＝4011， t 2 ＝ 8( 不合題意 ， 舍去 ) ； ( Ⅲ ) 當 PQ ＝ PC 時 ， 即 3 55t＝ 8 － t， 解得 t＝ 6 5 － 10 ≈ 3 .4 ； ② 當點 Q 在 BC 邊上時 ， 5 t≤ 8. 顯然只可能 CP ＝ CQ ， ∴ 8 － t＝ 16 － 2 t，解得 t＝ 8 ， 此時點 P ， C ， Q 重合 ， 不合題意 ， 舍去． 綜上所述 ， 當 t＝165， t＝4011， t＝ 3 .4 時 ， △ PQC 為等腰三角形． 變式訓練 4 (2 0 1 5 自貢 ) 如圖 ， 已知拋物線 y ＝ ax2＋ bx ＋ c ( a ≠ 0) 的對稱軸為直線 x ＝－ 1 ， 且拋物線經過 A (1 ， 0 ) ， C (0 ， 3 ) 兩點 ， 與 x 軸交于點 B . (1 ) 若直線 y ＝ mx ＋ n 經過 B ， C 兩點 ， 求直線 BC 和拋物線的表達式． (2 ) 在拋物線的對稱軸 x ＝－ 1 上找一點 M ， 使點 M 到點 A 的距離與到點C 的距離之和最小 ， 求出點 M 的坐標． (3 ) 設點 P 為拋物線的對稱軸 x ＝－ 1 上的一個動點 ， 求使 △ BPC 為直角三角形的點 P 的坐標． ( 變式訓練 4 題圖
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