【文章內容簡介】 對于數(shù)據(jù)采集、數(shù)據(jù)壓縮這兩項功能，數(shù)據(jù)傳輸所需要的能量是最多的，所以，如果要節(jié)約傳感器節(jié)點的電池能量，必定要減少傳輸?shù)臄?shù)據(jù)量，因此在無線傳感器網絡中運用數(shù)據(jù)壓縮技術來減少數(shù)據(jù)量一直是一個值得深入研究的問題。無線傳感器網絡中的感知數(shù)據(jù)能夠進行壓縮是因為它具備數(shù)據(jù)壓縮的前提條件：首先，傳感器節(jié)點密度很大，節(jié)點之間感知的范圍相互重疊，這種高密度的節(jié)點分布一方面使得感知數(shù)據(jù)可靠性增強，另一方面也引起了數(shù)據(jù)冗余，使得相鄰節(jié)點之 間所采集的數(shù)據(jù)具有高度相關性，稱為空間相關性；其次，由于傳感節(jié)點感知的物理數(shù)據(jù)大多數(shù)隨著時間變化很緩慢，所以同一個傳感器節(jié)點所感知的數(shù)據(jù)之間也有相關性，稱為時間相關性。利用這兩種相關性，可以對感知數(shù)據(jù)采取相應的數(shù)據(jù)壓縮技術。 圖 14 中監(jiān)測區(qū)域中有大量的無線傳感節(jié)點，傳感節(jié)點可以感知各種物理環(huán)境，包括聲音、溫度、壓力、地震等。人們將傳感器節(jié)點采集的大量數(shù)據(jù)采用某種壓縮技術壓縮，壓縮后的少量數(shù)據(jù)傳送到 sink 節(jié)點 (或者是融合中心 )，再由 sink 節(jié)點按照對應的恢復算法恢復出采集的數(shù)據(jù)。這樣，通過傳輸少量數(shù)據(jù)就 可以得到整個監(jiān)測區(qū)域內的詳細情況。 13 本文主要工作和內容安排 本文在介紹壓縮感知理論 /分布式壓縮感知理論的基礎上，將它們應用到無線傳感數(shù)據(jù)壓縮領域，用于壓縮傳感節(jié)點采集的信號，降低傳輸能耗，節(jié)約電池能量。 本文內容安排如下： 第一章 簡單介紹了課題的研究背景，包括現(xiàn)有的數(shù)據(jù)壓縮技術和有關無線傳感網絡的基本知識。 第二章 詳細闡述了壓縮感知理論，深入介紹了壓縮感知理論的核心思想 — 可壓縮信號（信號稀疏化）、測量矩陣和重構算法 ,總結了壓縮感知理論的優(yōu)勢及不足。 第三章 進一步介紹由壓縮 感知理論發(fā)展而來的分布式壓縮感知理論，分別描述了三種聯(lián)合稀疏模型及其應用范圍，最后，將其與壓縮感知理論作了仿真性能比較。 第四章 將傳感網中數(shù)據(jù)傳輸與壓縮感知理論結合，分別利用壓縮感知和分布式壓縮感知框架下的信號壓縮、重構方法對實際的感知數(shù)據(jù)進行處理，給出了實際的應用效果，并重點研究了量化對于算法的影響。 第五章 對全文進行總結并展望下一步的研究工作。 圖 無線傳感網通信體系結構 14 第 2 章 壓縮感知理論 傳統(tǒng)通信系統(tǒng)中的采樣遵循的是奈奎斯特抽樣定理，該定理指出，為防止在獲得信號時損失信息，抽樣速率必須大于信號帶寬的兩倍。在 許多應用中，包括數(shù)字圖像和視頻攝像中，奈奎斯特抽樣速率太高，不利于數(shù)據(jù)存儲和傳輸；在其他應用，包括圖像系統(tǒng)（醫(yī)療瀏覽和雷達）、高速模數(shù)轉換中，增加抽樣速率代價也很昂貴。壓縮感知則是保存原始信號結構的線性投影，然后再從這些投影中將信號重構出來，其速率遠遠低于奈奎斯特抽樣率。 CS 理論系統(tǒng)與傳統(tǒng)通信系統(tǒng)的類似關系如圖 21 所示： 信 源 編 碼 信 道 編 碼 信 道 信 道 解 碼 信 源 解 碼 由圖 21 可知，在 CS 系統(tǒng)中，信源和信道編碼被 CS 測量（即一個矩陣與信號矢量相乘的形式）代替；信道和信源解碼則用 CS 恢復（即依賴于優(yōu)化準則的恢復算法）替代。 壓縮感知理論主要由三部分構成：稀疏信號、觀測矩陣和重構算法。下面將從這三個方面詳細講述壓縮感知的關鍵技術。 壓縮感知的前提條件 —稀疏性和不相干性 CS隱含的兩個基本前提：稀疏性和不相關性。前者屬于信號的性質，后者和感知（觀測）形式有關。 稀疏性：稀疏性表達了這樣一個思想，一個連續(xù)時間信號的“信息速率”可能比由帶寬所決定的香農采樣率要低很多，或者，一個離散時間信號所依賴的自由度數(shù)目遠遠低于它的長度。更準確地說， CS利用了這樣一個事實，即許多自然信號在某個合適的基 Ψ下具有簡潔的表達。 不相關性：不相關性 說明用于采樣信號的波在基 Ψ下有很稠密的表達。不相關性表達了這樣的思想，正如時間域的 Dirac或者沖擊信號可以在頻域展開那樣，在基 Ψ下具有稀疏表示的信號一定可以在獲得它們的某個域中展開。 圖 CS 理論系統(tǒng)與傳統(tǒng)通信系統(tǒng)的類似關系 CS 測量 CS 恢復 15 1 稀疏性 眾所周知，任意長度為 N 的離散信號 X 都可以表示為一系列基函數(shù)的疊加， 即可以在任何正交基下用下式表示： （式 ） 其中?由一組基向量? ?Nii 1??構成的正交基，例如， sinusoids，尖峰 spikes、Bsplines， wavelets。?為展開系數(shù)。展開系數(shù)大，說明信號和基足夠相似。如果信號在基 下的展開 系數(shù)在很小的集合上有值，我們就說該信號在 域是稀疏的，如果有值序列集中在一個小范圍內，那么我們就說該信號是可以壓縮的。本章我們將集中研究具有稀疏表示的信號，其中 X是 K個基向量的線性組合， KN。也就是說， 0,min ?? gf中僅有 K個非零 i?， 另外 N K個都是零。 許多自然信號在一些基下有簡潔的表達。圖 （ a）是一幅具有 N（ N =512 512）個像素點的 coins圖像向量NR?，我們在 9/7小波基]...,[ ,2,1 N?????下展開該向量，如（式 ），其中 是,2,1 ...,N???為列向量構成的?的矩陣，是正交基。圖 （ b）是 coins圖像的 9/7小波系數(shù)在一 維下的表示。圖 （ c）展示了這樣一個事實：將圖像在 9/7小波變換域丟掉 %的小系數(shù)后得到的逼近圖像盡管 PSNR只有，但肉眼很難察覺到失真。由此可見，盡管原圖中幾乎所有的像素都是非零值，它在 9/7小波域中卻是稀疏的：大部分小波系數(shù)都很小，少數(shù)的大系數(shù)（ 1/16）就可以捕獲信號的大部分信息。 本例中僅僅保留展開（式 ）中?的? ?)161( NKK ?個大系數(shù)得到 KKX ??，其中 K?表示系數(shù)向量的除 K個大系數(shù)外其余置 0的向量。該向量從嚴格意義上說是稀疏的，因為 KN ，即除了極少數(shù)項外其余均為 0。 現(xiàn)在稀疏的含義很 清楚了：如果 x在某個變換域下是稀疏或者可壓縮的，就意味著將 x的系數(shù)Nii ,...,1, ??按幅值大小排列衰減很快，那么 x可以由 K個大系數(shù)很好地逼近 KKX ???。圖 （ c）所示告訴我們，可以丟棄除了少數(shù)幾個系數(shù)外的所有小系數(shù)而不會帶來視覺上的損失。我們稱至多有 K個非零項的向量為 K 稀疏，且有 KKX ?????。稀疏性原理是大部分現(xiàn)代有損壓縮編碼算法和許多其它應用的基礎。不過在傳統(tǒng)編碼中，這 K個大系數(shù)的位置必須事先確定。更一般地，稀疏性是一個基本的建模工具，可以進行信號的精確統(tǒng)計估計和分類、有效的數(shù)據(jù)壓縮等等。而近幾年來 Cand232。s等人提出的壓縮感知理 論使得稀疏性有了更加令人驚奇的深遠含義，即信號稀疏性對采樣本身有重要意義，稀疏性決定了我們可以擺脫奈奎斯特采樣頻率的約束，并可以做到高效地非自適應地采樣信號。 16 2 不相關性 Cand232。s， Romberg等人已經證明一個降維的投影集合包含了重構稀疏信號的足夠信息。這就是壓縮感知（ CS）理論的核心內容。在 CS中，假定信號在某個變換域的系數(shù)是 K項稀疏的，我們不直接對 K個重要的系數(shù) i?直接編碼，而是將信號的系數(shù)向量投影到另一個基函數(shù)集合? ?Mmm ,...,1, ??上，觀測得到 M (N)個 投影 ??? XyTmm ,?然后再編碼。用矩陣表示，則有，Y ??。其中 Y 是一個1?M的列向量，觀測矩陣?是一個以每個基向量 m作為行向量的N矩陣。由于 MN，從觀測向量 y中重構信號 x是一個欠定問題，然而信號稀疏的附加假設使得恢復成為可能也是可行的。 CS理論告訴我們，當滿足一定條件時，也即是基 n?不能稀疏表示 m?（該條件被稱為兩組基不相關）并且觀測值個數(shù) M足夠大，那么就可以從一個相似規(guī)模的集合??m中恢復大系數(shù)集合??n?，繼而也就可以得到信號 X。許多對基都滿足不相關性質，例如，三角尖峰和傅里葉基中的正弦波不相關，傅里葉基和小波基不相關。重要的是，任意一個固定的基和一個隨機產生的基也以高概率滿足這種不相關。因此在 CS理論中隨機矩陣被廣泛應用于 CS觀測中。在框架下或者基下可以找到稀疏表示的信號都可以以同樣的方式從不相關觀察中恢復。 文獻 [3]給出了相關性度量的具體定義，如下。 定義 ：觀測系統(tǒng)?和表示系統(tǒng)?之間的相關性度量用?表示，則有如下式子成立： （ 式 ） 簡單來講，相關性度量的是兩個矩陣 和 的元素之間的最大相關性。如果?和?包含了相關的元素，則相關性很大；否則，就很小。相關系數(shù)取值范圍為(a)512x512 的 coins 原始圖像 （ b） coins 圖 像的 9/7 小波系數(shù)在一 維下的表示 圖 稀疏重構圖像案例 ?????? ?? jkNjkn ??? ,max),( ,1（ c） 1/16 系數(shù)重構圖像（ PSNR=） 17 ],1[),( N????。壓縮采樣研究的是具有低相關性的兩個 系統(tǒng)。下面給出一些例子。 （ 1） 是尖峰基)()( kttk ????，?為傅立葉基njtij ent /22/1)( ????，則有 1?。進一步講，尖峰信號和正弦信號不僅在一維而且在任何維，例如 2D，3D空間都具有最大的不相關性。 （ 2）?為小波基， 是 noiselet。這里， noiselet和 Haar小波基間的相關系數(shù)是2，noiselet和 Daubechies db4及 db8小波基間的相關性分別是 。這也可以擴展到高維情況。 noiselets也和尖峰信號及傅立葉基高度不相關。人們對 noiselets感興趣基于以下兩個事實： 1）它們和為圖像數(shù)據(jù)和其它類型的數(shù)據(jù) 提供稀疏表示的系統(tǒng)不相關； 2）它們具有快速算法。 noiselet變換的時間復雜度為 O(N)，而且類似于傅立葉變換，noiselet矩陣不需要存儲。這一點對于高效的數(shù)字計算是至關重要的。如果沒有高效的計算， CS的實用性就會大打折扣。 （ 3）?為隨機矩陣，則 可以是任何固定的基。此時它們之間具有極大不相關。例如， 可以通過在單位球面上獨立均勻地采樣并做規(guī)范正交化得到，此時，?和?間的相關性以很高的概率為Nlog2。各項服從獨立同分布的隨機波形? ?)(tk?，例如高斯分布或者1?，也表現(xiàn)出和任何固定基?具有很小的相關性。 研究者們通過 大量的實驗分析，得出如下結論：精確重構所需要的觀測值個 數(shù)依賴于稀疏變換基和觀測基之間的不相關性。不相關性越強，所需的個數(shù)越少；反之，相關性越強，例如?，則需要采樣所有的系數(shù)才能保證精確重構。 三個關鍵技術 從以上壓縮感知理論的介紹中我們可以看出，壓縮感知理論主要包括以下三個方面的內容： （ 1）信號稀疏表示； （ 2）信號的編碼測量即觀測矩陣的設計； （ 3）信號重構算法的設計。 信號的稀疏表示是指當將信號投影到某個正交變換基時，一般情況下絕大多數(shù)的變換系數(shù)的絕對值都是很小的，得到的變換向量也是稀疏的或 者是近似稀疏的，這是原始信號的一種簡潔的表達方式，也是壓縮傳感理論的先驗條件。信號必須得在某種變換下才可以進行稀疏表示。通常我們可以選取的變換基有離散傅里葉變換基（ DFT）、離散余弦變換基（ DCT）、離散小波變換基（ DWT）、 Curvelet 變換基、Gabor 變換基還有冗余字典等。在信號的編碼測量即觀測矩陣的設計過程中，要選擇穩(wěn)定的觀測矩陣，觀測矩陣的選取必須滿足受限等距特性 (Restricted Isometry Property， RIP)準則，才能保證信號的投影能夠保持原始信號的結構特征。通過原始 18 信 號與觀測矩陣相乘我們可以獲得原始信號的線性投影值。最后設計合適的重構算法從所得到的觀測值和原來的觀測矩陣來重構原始始號。 所以對壓縮感知理論的研究也主要是基于這三個方面的內容： （ 1）信號的稀疏表示。即對于信號NRX? ，如何找到一個合適的正交基或者緊框架 Ψ，以使得原始信號在 Ψ上的表示是稀疏的。 （ 2）觀測矩陣的設計。即如何設計一個平穩(wěn)且滿足受限等距特性條件或者與變換基 Ψ 滿足不相關約束條件的 M N 維觀測矩陣 Φ，以保證信號稀疏表示后的向量 Θ能從原來的 N 維降到 M 維時所包含的重要信息沒有受到破壞，從而保證原 始信號的準確重構。這個過程也就是壓縮感知理論中信號的低速采樣過程。 （ 3）重構算法的設計。即如何設計快速有效且穩(wěn)定的重構算法，從所得到的低維觀測向量中準確地恢復原始信號。 下面我們對壓縮感知理論的這三個關鍵技術做一個詳細的總結和分析，以為后文對壓縮感知理論在圖像重構方面的研究打下基礎。 信號的稀疏表示 從傅立葉變換到小波變換再到后來興起的多尺度幾何分析（ Ridgelet， Curvelet，Bandelet， Contourle