1674數(shù)列在日常經(jīng)濟(jì)生活中的應(yīng)用(編輯修改稿)
2024-12-27 00:48 本頁(yè)面
【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 元 ． 首頁(yè) 末頁(yè) 上一頁(yè) 下一頁(yè) 學(xué)習(xí)目標(biāo) 生活中的數(shù)學(xué) 溫故知新 要點(diǎn)探究 典例探究 演練廣場(chǎng) 遞推關(guān)系型數(shù)列應(yīng)用題 【例 3 】 某國(guó)采用養(yǎng)老儲(chǔ)備金制度 ． 公民在就業(yè)的第一年就交納養(yǎng)老儲(chǔ)備金 ， 數(shù)目為a 1 ， 以后每年交納的數(shù)目均比上一年增加 d ( d 0 ) ， 因此 ， 歷年所交納的儲(chǔ)備金數(shù)目 a 1 ， a 2 ， ?是一個(gè)公差為 d 的等差數(shù)列 ， 與此同時(shí) ， 國(guó)家給予優(yōu)惠的計(jì)息政策 ， 不僅采用固定利率 ， 而且計(jì)算復(fù)利 ． 這就是說(shuō) ， 如果固定年利率為 r ( r 0 ) ， 那么 ， 在第 n 年末 ， 第一年所交納的儲(chǔ)備金就變?yōu)?a 1 ( 1 ＋ r )n － 1， 第二年所交納的儲(chǔ)備金就變?yōu)?a 2 ( 1 ＋ r )n － 2， ? ， 以 T n 表示到第 n 年末所累計(jì)的儲(chǔ)備金總額 ． ( 1 ) 寫出 T n 與 T n － 1 ( n ≥ 2 ) 的遞推關(guān)系式 ； ( 2 ) 求證 ： T n ＝ A n ＋ B n ， 其中 {A n } 是一個(gè)等比數(shù)列 ， {B n } 是一個(gè)等差數(shù)列 ． 思路點(diǎn)撥： T n 表示 T n － 1 再儲(chǔ)存一年另外再交一年儲(chǔ)備金 ． 首頁(yè) 末頁(yè) 上一頁(yè) 下一頁(yè) 學(xué)習(xí)目標(biāo) 生活中的數(shù)學(xué) 溫故知新 要點(diǎn)探究 典例探究 演練廣場(chǎng) ( 1 ) 解： Tn＝ Tn － 1( 1 ＋ r ) ＋ an( n ≥ 2 ， n ∈ N ＋ ) ． ( 2 ) 證明： T1＝ a1， 對(duì) n ≥ 2 反復(fù)使用上述關(guān)系式 ， 得 Tn＝ Tn － 1( 1 ＋ r ) ＋ an＝ Tn － 2( 1 ＋ r )2＋ an － 1( 1 ＋ r ) ＋ an ＝ ? ＝ a1( 1 ＋ r )n － 1＋ a2( 1 ＋ r )n － 2＋ ? ＋ an － 1( 1 ＋ r ) ＋ an① 在 ① 式兩端同乘 1 ＋ r ， 得 ( 1 ＋ r ) Tn＝ a1( 1 ＋ r )n＋ a2( 1 ＋ r )n － 1＋ ? ＋ an － 1( 1 ＋ r )2＋ an( 1 ＋ r ) ② ② － ① ， 得 rTn＝ a1( 1 ＋ r )n＋ d [(1 ＋ r)n － 1＋ (1 ＋ r)n － 2＋ … ＋ (1 ＋ r)] － an＝dr[ ( 1 ＋ r)n－ 1 － r]＋ a1( 1 ＋ r )n－ an， 即 Tn＝a1r ＋ dr2 ( 1 ＋ r )n－drn －a1r ＋ dr2 . 如果記 An＝a1r ＋ dr2 ( 1 ＋ r )n， Bn＝－a1r ＋ dr2 －drn ， 則 Tn＝ An＋ Bn. 其中 {An} 是以a1r ＋ dr2 ( 1 ＋ r ) 為首項(xiàng) ， 以 1 ＋ r ( r 0 ) 為公比的等比數(shù)列 ； {B n } 是以 －a1r ＋ dr2 －dr為首項(xiàng) ，－dr為公差的等差數(shù)列 ． 首頁(yè) 末頁(yè) 上一頁(yè) 下一頁(yè) 學(xué)習(xí)目標(biāo) 生活中的數(shù)學(xué) 溫故知新 要點(diǎn)探究 典例探究 演練廣場(chǎng) 正確理解具有遞推關(guān)系的量的含義，建立遞推關(guān)系，進(jìn)而可通過(guò)邏輯分析求其通項(xiàng)，也可直接利用遞推關(guān)系解決問(wèn)題 ． 首頁(yè) 末頁(yè) 上一頁(yè) 下一頁(yè) 學(xué)習(xí)目標(biāo) 生活中的數(shù)學(xué) 溫故知新 要點(diǎn)探究 典例探究 演練廣場(chǎng) 變式訓(xùn)練 31 ： 某企業(yè)投資 10 0 0 萬(wàn)元于一個(gè)高科技項(xiàng)目 ， 每年可獲利 25 % ， 由于企業(yè)間競(jìng)爭(zhēng)激烈 ， 每年年底需要從利潤(rùn)中取出資金 200 萬(wàn)進(jìn)行科研 、 技術(shù)改造與廣告投入方能保持原有的利潤(rùn)增長(zhǎng)率 ． 問(wèn)經(jīng)過(guò)多少年后 ， 該項(xiàng)目的資金可達(dá)到或超過(guò)翻兩番 ( 4 倍 ) 的目標(biāo) ？ ( 取lg 2 ＝ 0. 3 ) 解： 設(shè) 該項(xiàng)目逐年的項(xiàng)目資金數(shù)依次為 a 1 ， a 2 ， a 3 ， ? ， a n . 則由已知得 a n ＋ 1 ＝ a n ( 1 ＋ 25 % ) － 200 ( n ∈ N ＋ ) ， 即 a n ＋ 1 ＝54a n － 200. 令 a n ＋ 1 － x ＝54( a n － x ) ， ∴ a n ＋ 1 ＝54a n －x4. ∴x4＝ 200 ， x ＝ 800. ∴ a n ＋ 1 － 800 ＝54( a n － 800 )( n ∈ N ＋ ) ． 故數(shù)列 {a n － 800} 是以 a 1 － 800 為首項(xiàng) ，54為公比的等比數(shù)列 ． 首頁(yè) 末頁(yè) 上一頁(yè) 下一頁(yè) 學(xué)習(xí)目標(biāo) 生活中的數(shù)學(xué) 溫故知新 要點(diǎn)探究 典例探究 演練廣場(chǎng) ∴ a 1 ＝ 1000 ( 1 ＋ 25 % ) － 2 00 ＝ 105 0 ， ∴ a 1 － 800 ＝ 250. ∴ a n － 800 ＝ 25 0 (54)n － 1 ∴ a n ＝ 800 ＋ 25 0 (54)n － 1( n ∈ N ＋ ) ． 由題意知 a n ≥ 4000 ， 即 800 ＋ 250 (54)n － 1≥ 4000 ， ∴ (54)n≥ 16 ， 兩邊取常用對(duì)數(shù)得 n l g 54≥ lg 16 ， ∴ n ≥ 12. 故經(jīng)過(guò) 12 年后 ， 該項(xiàng)目資金可以達(dá)到或超過(guò)翻兩番的目標(biāo) ． 首頁(yè) 末頁(yè) 上一頁(yè) 下一頁(yè) 學(xué)習(xí)目標(biāo) 生活中的數(shù)學(xué) 溫故知新 要點(diǎn)探究 典例探究 演練廣場(chǎng) 【例 1 】 某公司年初有資金 100 萬(wàn)元 ， 經(jīng)過(guò)一年的經(jīng)營(yíng) ， 每年年底增值 50 % ， 且每年年底要從中提取 x 萬(wàn)元作為消費(fèi)基金 ， 余下的資金投入下一年的運(yùn)營(yíng) ， 5 年后 ( 指第 5 年提取消費(fèi)基金后 ) 有資金 200 萬(wàn)元 ， 則每年提取的消費(fèi)基金是多少 ？ ( 結(jié)果保留三位有效數(shù)字 ) 解： 法一 ： 第一年年底公司有資金 [ 1 00( 1 ＋ 50% ) － x] 萬(wàn)元 ； 第二年年底公司有資金 [ 100 ( 1 ＋ 50% ) － x] ( 1 ＋ 50% ) － x ＝ 100 ( 1 ＋ 50% )2－ x [ ( 1 ＋ 50 % ) ＋ 1] ( 萬(wàn)元 ) ； 第三年年底公司有資金 { 100 ( 1 ＋ 50 % )2－ x [(1 ＋ 50% ) ＋ 1] } ( 1 ＋ 50% ) － x ＝ 100 ( 1 ＋ 50% )3－ x [ ( 1 ＋ 50 % )2＋ (1 ＋ 50% ) ＋ 1] ( 萬(wàn)元 ) ； ?? 第五年年底公司有資金
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