【文章內(nèi)容簡介】 代數(shù)，將三門基礎(chǔ)課作為一個整體去學(xué)，摒棄孤立的學(xué)習，提倡綜合的思考。 二、正確認識代數(shù)學(xué)的特點，在抽象和具體之間找到結(jié)合點 代數(shù)學(xué) (包括高等代數(shù)和抽象代數(shù) )給人的印象就是 “ 抽象 ” ，這與另外兩門基礎(chǔ)課有很大的不同。以“ 線性空間 ” 的定義為例，集合 V上定義了加法和數(shù)乘兩種運算，并且這兩種運算滿足八條性質(zhì)，那么 V就稱為線性空間。我想第一次學(xué)高等代數(shù)的同學(xué)都會認為這個定義太抽象了。其實在高等代數(shù)中，這樣抽象的定義比比皆是。不過這樣的抽象是有意義的， 因為我們可以驗證三維歐氏空間、連續(xù)函數(shù)全體、多項式全體、矩陣全體都是線性空間，也就是說，線性空間是從許多具體例子中抽象出來的概念，具有絕對的一般性。代數(shù)學(xué)的研究方法是，從許多具體的例子中抽象出某個概念 。然后通過代數(shù)的方法對這一概念進行研究，得到一般的結(jié)論 。最后再將這些結(jié)論返回到具體的例子中，得到各種運用。因此， “ 具體 抽象 具體 ” ，這便是代數(shù)學(xué)的特點。 在認識了代數(shù)學(xué)的特點后，就可以有的放矢地學(xué)習高等代數(shù)了。我們可以通過具體的例子去理解抽象的定義和證明 。我們可以將定理的結(jié)論運用到具體的例子中，從而加深對 定理的理解和掌握 。我們還可以通過具體例子的啟發(fā)，去發(fā)現(xiàn)和證明一些新的結(jié)果。因此，要學(xué)好高等代數(shù)，就需要正確認識抽象和具體的辯證關(guān)系，在抽象和具體之間找到結(jié)合點。 三、高等代數(shù)不僅要學(xué)代數(shù)，也要學(xué)幾何，更要在代數(shù)和幾何之間建立一座橋梁 隨著時代的變遷，高等代數(shù)的教學(xué)內(nèi)容和方式也在不斷的發(fā)展。大概在 90 年代之前，國內(nèi)高校的高等代數(shù)教材大多以 “ 矩陣論 ” 作為中心，比較強調(diào)矩陣論的相關(guān)技巧 。90年代之后，國內(nèi)高校的高等代數(shù)教材漸漸地改變?yōu)橐?“ 線性空間理論 ” 作為中心，比較強調(diào)幾何的意義。作為縮影，復(fù)旦的高等代數(shù)教材也經(jīng)歷了這樣一個變化過程， 1993 年之前采用的屠伯塤老師的教材強調(diào) “ 矩陣論 ”。1993 年之后采用的姚慕生老師的教材強調(diào) “ 線性空間理論 ” 。從單純重視 “ 代數(shù) ” 到 “ 代數(shù) ” 與 “ 幾何 ” 并重，這其實是高等代數(shù)教學(xué)觀念的一種全球性的改變，可能這種改變與 現(xiàn)代數(shù)學(xué)的發(fā)展密切相關(guān)吧 ! 學(xué)好高等代數(shù)的有效方法應(yīng)該是： 深入理解幾何意義、熟練掌握代數(shù)方法。 其次，高等代數(shù)中很多問題都是幾何的問題，我們經(jīng)常將幾何的問題代數(shù)化，然后用代數(shù)的方法去解決它。當然，對于一些代數(shù)的問題，我們有時也將其幾何化，然后用幾何的方法去解決它。 最后，代數(shù)和幾何之間存在一座橋梁，這就是代數(shù)和幾何之間的轉(zhuǎn)換語言。有了這座橋梁，我們就可以在代數(shù)和幾何之間來去自由、游刃有余。因此，要學(xué)好高等代數(shù)，不僅要學(xué)代數(shù)，也要學(xué)幾何，更要在代數(shù)和幾何之間建立一座橋梁。 四、學(xué)好教材，用好教參，練好基本功 復(fù)旦現(xiàn)行的高等代數(shù)教材是姚慕生老師、吳泉水老師編著的《高等代數(shù)學(xué) (第二版 )》。這本教材從 1993年開始沿用至今，已有近 20年的歷史。教材內(nèi)容翔實、重點突出、表述清晰、習題豐富，即使與全國各高校的高等代數(shù)教材相比，也不失為出類拔萃之作。 復(fù)旦現(xiàn)行的高等代數(shù)教學(xué)參考書是姚慕生老師編著的《高等代數(shù)學(xué)習方法指導(dǎo) (第二版 )》 (因為封面為白色，俗稱 “ 白皮書 ”) 。這本教參書是數(shù)院本科生必備的寶典，基本上人手一冊，風行程度可見一斑。 要學(xué)好高等代數(shù)，學(xué)好教材是最低的要求。另外，如何用好教參書，也是一個重要的環(huán)節(jié)。很多同學(xué)購買教參書，主要是因為教材里的部分作業(yè) (包括一些很難的證明題 )都可以在教參書上找到答案。當然，這一點無可厚非，畢竟這就是教參書的功能嘛 !但是，我還是希望一年級的新生能正確地使用教參書，遇到問題首先自己獨立思考，實在想不出，再去看懂教參書上的解答，這樣才能達到提高能力、鍛煉思維的效果。注意：既不獨立思考，又不看懂教參書上的解答，只是抄襲，這對自己來說是一種極不負責的行為，希望大家努力避免 ! 最后，我愿以華羅庚先生的一句詩 “ 勤能補拙是良訓(xùn)，一份辛勤一份才 ” 與大家共勉，祝大家不斷進步、學(xué)業(yè)有成 ! 高等代數(shù)學(xué)習精選 心得篇 7 作為一個過來人，我覺得這是比較正常的，題主不需要有多余焦慮。在我大一剛開始學(xué)數(shù)分和高代時，整個思維模式也受到了 “ 新數(shù)學(xué) ” 的洗禮，有一個適應(yīng)的過程。可能，對于大學(xué)之前沒怎么接觸過這些課程的大部分人，都會有與你類似的感受。 反正我們班在大一之后，有好多棄坑轉(zhuǎn)專業(yè)的，認為大學(xué) “ 數(shù)學(xué) ” 跟想象的不一樣，整天就是概念證明啥的，有些枯燥無味。 我想這主要是因為我們被中學(xué)的數(shù)學(xué)束縛太久，習慣了 “ 計算式 ” 的數(shù)學(xué)。 想一想，我們在大學(xué)之前所接觸的數(shù)學(xué)，主要是初等代數(shù)，平面和立體幾何，三角函數(shù)和圓錐曲線，多項式和不等式 等內(nèi)容，課上所學(xué)也注重技巧的運用，和形式的計算及簡單的推導(dǎo)。事實上，這些絕大多數(shù)是三百年前甚至兩千年前的知識，關(guān)于現(xiàn)代數(shù)學(xué)的涉及基本沒有。 即使高中時接觸到了導(dǎo)數(shù)，極值等有關(guān)極限的概念，但沒有講更深。很多概念，還是停留在特定模式的計算和 “ 只可意會不可言傳 ” 的理解層次上。 而近代數(shù)學(xué)的發(fā)展，特別是分析的嚴謹化以來， “ 數(shù)學(xué)的本質(zhì)已經(jīng)不是計算，對數(shù)學(xué)的精通不意味著能夠做復(fù)雜計算或者熟練推演符號。近代數(shù)學(xué)的重心已從計算求解轉(zhuǎn)變?yōu)樽⒅乩斫獬橄蟮母拍詈完P(guān)系。 證明不僅僅是按照規(guī)則變換對象，而是從概念出發(fā)進行邏輯推演。 ” (出自微信公眾號：中國科學(xué)院數(shù)學(xué)與系統(tǒng)科學(xué)研究院 — 數(shù)學(xué)是什么 ?)所以，從高中到大學(xué)，所學(xué)的數(shù)學(xué)，內(nèi)容上可以說是有了質(zhì)的提升和深化。尤其數(shù)分里，很多知識點的定義，真真表現(xiàn)了分析的嚴謹和自成體系的理論。像極限的表述，就把一個腦海里變動的過程所導(dǎo)致的結(jié)果，合理地用定性的語言作了描述。 這很 “ 數(shù)學(xué) ” ，不再是意會的說不清道不明。雖然會遇到困難，但是我相信當你耐心地鉆進去，體會概念之間的聯(lián)系，證明的精巧和嚴謹會極大地刺激你的求知欲，這是數(shù)學(xué)專業(yè)學(xué)生的必經(jīng)之路。 我認為你目前的狀態(tài)，首先要能清楚地理解每一個概念和定義。如 果有不清晰的點，請教一下老師，這是事半功倍的，因為以老師多年的數(shù)學(xué)功底和教學(xué)經(jīng)驗，可以幫助你更準確地把握一些關(guān)鍵知識點和定理的運用，平時要及時地多做練習，掌握一些解題的技巧。 可以買一些教材配套的參考書啥的，遇到不會的，學(xué)習一下標準的解答，也不要死磕，畢竟沒有那么多時間和精力。一切學(xué)習，都是從模仿開始的，根據(jù)書上定理或者例題的證明思路，要學(xué)著去嘗試證明別的題。 總之，要多讀，多想，多做，這樣你的學(xué)習能力的積累和理解力才能提升。學(xué)好這些基礎(chǔ)課是極其重要的，后續(xù)的很多課程：像實變函數(shù)、泛函分析，抽象代數(shù)等都是數(shù)分高代的抽象版，如果一開始的學(xué)習里積攢很多不扎實的點，會讓以后變得更加難以捉摸。 我自己現(xiàn)在就是，當開始真正研究問題時，不得不耗費精力去彌補之前的不足之處。 守得云開見月明，我覺得如果你是真正愛數(shù)學(xué)，能作為一名數(shù)學(xué)專業(yè)的學(xué)生去感受數(shù)學(xué)所表現(xiàn)出的優(yōu)美和深刻是很幸運的，你有機會去真正理解數(shù)學(xué)是什么 ?加油，我相信你會做的越來越好 高等代數(shù)學(xué)習精選心得篇 8 當你們正在《數(shù)學(xué)分析》 5261課程時，同時又要學(xué)《高 4102等代數(shù)》課程。 1653覺得高等代數(shù)與數(shù)學(xué)分析不太一樣，比較 “ 另類 ” 。不一樣在于它研究的方法與數(shù)學(xué)分析相差太大，數(shù)學(xué)分析是中學(xué)數(shù)學(xué)的延續(xù)，其內(nèi)容主要是中學(xué)的內(nèi)容加極限的思想而已，同學(xué)們接受起來比較容易。高等代數(shù)則不同，它在中學(xué)基本上沒有 “ 根 ” 。其思維方式與以前學(xué)的數(shù)學(xué)迥然不同，概念更加抽象，偏重思辨與證明。尤其是下學(xué)期，證明是主要部分，雖然學(xué)時不少，但是理解起來仍困難。它分兩個學(xué)期。我們上學(xué)期學(xué)的內(nèi)容，可以歸結(jié)為 “ 一個問題 ” 和 “ 兩個工具 ” 。一個問題是 指解線性方程組的問題，兩個工具指的是矩陣和向量。你可能會想：線性方程組我們學(xué)過，而且解它用得著講一門課嗎 ?大家一定要明白，首先我們的方程組不像中學(xué)所學(xué)僅含 2到 3個方程，它只要用消元法即可容易地求出，這里的研究的是所有方程組的規(guī)律，也就是所必須找到 4個以上方程組成的方程組的解的規(guī)律，這樣就比較難了，需要對方程組有個整體的認識 。再者，數(shù)學(xué)的宗旨是將看似不同的事物或問題將它們聯(lián)系起來，抽象出它們在數(shù)學(xué)上的本質(zhì)，然后用數(shù)學(xué)的工具來解決問題。實際上，向量、矩陣、線性方程組都是基本數(shù)學(xué)工具。三者之間有著密切的聯(lián)系 !它們 可以互為工具，在今后的學(xué)習中，你們只要緊緊抓住三者之間的聯(lián)系，學(xué)習就有了主線了。向量我們在中學(xué)學(xué)過一些，物理課也講。 中學(xué)學(xué)的是三維向量，在幾何中用有向線段表示，代數(shù)上用三個數(shù)的有序數(shù)組表示。那么我們線性代數(shù)中的向量呢，是將中學(xué)所學(xué)的向量進行推廣，由三維到 n維 (n是任意正整數(shù) )，由三個數(shù)的有序數(shù)組推廣到 n維有序數(shù)組，中學(xué)的向量的性質(zhì)盡可能推廣到 n維，這樣，可以解決更多的問題 。矩陣呢 ?就是一個方形的數(shù)表，有若干行、列構(gòu)成，這樣看起來，概念上很好理解啊?？墒茄芯科饋砜刹荒敲春唵危覀円郧暗倪\算是兩個數(shù)的運算，而 現(xiàn)在的運算涉及的可是整個數(shù)表的運算 !可以想象，整個數(shù)表的運算必然比兩個數(shù)的運算難。但是我們不必怕，先記住并掌握運算，運算再難，多練幾遍必然就會了。關(guān)鍵是要理解概念與概念間的聯(lián)系。再進一步說吧：中學(xué)解方程組，有一個原則，就是一個方程解一個未知量。對于線性代數(shù)的線性方程組，方程的個數(shù)不一定等于未知量的個數(shù)。比如 4個方程 5個未知量，這樣就不可能有唯一的解，需要將一個未知量提出來作為 “ 自由未知量 ” ，也就是將之當做參數(shù) (可以任意取值的常數(shù) )。還有，即使是方程個數(shù)與未知量個數(shù)相同，也未必有唯一的解，因為有可能出現(xiàn)方程 “ 多余 ” 的情況。 (比如第三個方程是前兩個方程相加，那么第三個方程可以視為 “ 多余 ”) 總之，解方程可以先歸納出以下三大問題：第一，有無多余方程 。第二，解決了這三大問題，方程組的解迎刃而解。我們結(jié)合矩陣、向量可以提出完全對應(yīng)的問題。剛才講了，三者聯(lián)系緊密，比如一個方程將運算符號和等號除去，就是一個向量 。方程組將等號和運算除去，就是一個矩陣 !你們說它們是不是聯(lián)系緊密 ?大家可不要小看這三問，我認為它們可以作為學(xué)習上學(xué)期高代的提綱挈領(lǐng)。下學(xué)期主要講 “ 線性空間 ”和 “ 線性變換 ” 。所謂線性空間，就是將上學(xué)期所學(xué)的數(shù)域上的向量 空間加以推廣，很玄是吧 ?首先數(shù)域上的向量空間，是將向量作為整體來研究，這就是我們大學(xué)所學(xué)的第一個 “ 代數(shù)結(jié)構(gòu) ” 。所謂代數(shù)結(jié)構(gòu)，就是由一個集合、若干種運算構(gòu)成的數(shù)學(xué)的 “ 大廈 ” ，運算使得集合中的元素有了聯(lián)系。中學(xué)有沒有涉及代數(shù)結(jié)構(gòu)啊 ?有的，比如實數(shù)域、復(fù)數(shù)域中的 “ 域 ” 就是含有四則運算的代數(shù)結(jié)構(gòu)。 而向量空間的集合是向量，運算就兩個：加法和數(shù)乘。起初向量及其運算和上學(xué)期學(xué)的一樣。可是，它的形式有局限啊，數(shù)學(xué)家就想到，將其概念的本質(zhì)抽取出來，他們發(fā)現(xiàn)，向量空間的本質(zhì)就是八條運算律，因此將它作為線性空間 (也稱向量空間 )的公理化定義，作為原始的向量、加法、數(shù)乘未必再有原來的形式了。比如上學(xué)期學(xué)的數(shù)域上的多項式構(gòu)成的線性空間。繼而，我們將數(shù)學(xué)中的 “ 映射 ” 用在線性空間上，于是有了 “ 線性變換 ” 的概念。說到底，線性變換就是線性空間保持線性運算關(guān)系不變的自身到自身的 “ 映射 ” 。正因為保持線性關(guān)系不變，所以線性空間的許多性質(zhì)在映射后得以保持。研究線性空間與線性變換的關(guān)鍵就是找到線性空間的 “ 基 ” ，只要通過基，可以將無數(shù)個向量的運算通過基線性表示，也可以將線性變換通過基的變換線性表示 !于是，線性空間的元素真正可以用上學(xué)期的 “ 向量 ” 表示了 !線 性變換可以用上學(xué)期的 “ 矩陣 ” 表示了 !這是代數(shù)中著名的 “ 同構(gòu) ” 的思想 !通過這樣，將抽象的問題具體化了，這也就是我們前邊說的 “ 矩陣 ” 和 “ 向量 ” 是兩大工具的原因。同學(xué)們要記住，做線性空間與線性變換的題時這樣的轉(zhuǎn)化是主方向 !進一步：既然線性變換可以通過取基用矩陣表示，不同的基呢，對應(yīng)不同的矩陣。我們自然想到，能否適當?shù)娜』沟镁仃嚨谋硎颈M可能簡單。簡單到極致，就是對角型。經(jīng)研究，發(fā)現(xiàn)若能轉(zhuǎn)成對角型的話，那么對角型上的元素是這樣變換 (稱相似變換 )的不變量，這個不變量很重要，稱為變換的 “ 特征值 ” 。矩陣相似變換成對角型 是個很實用的問題，結(jié)果，不是所有都能化對角，那么退一步，于是有了 “ 若當標準型 “ 的概念，只要特征多項式能夠完全分解，就可以化若當標準型，有一章的內(nèi)容專門研究它。這樣的對角型與若當標準型有什么用呢 ?我們利用它是同一個變換在不同基下的矩陣表示，可以通過改變基使得研究線性變換變得簡單。最后的 “ 歐氏空間 ” 許多人不理解，一句話，就是仿照我們可見的三維空間，對線性空間引進度量，向量有長度、有夾角、有內(nèi)積。歐氏空間有了度量后，線性空間的許多性質(zhì)變得很直觀且奇妙。我們要比較兩者的聯(lián)系與差別。此章主要講了兩種變換：對稱變換與正 交變換，正交變換是保持度量關(guān)系不變，對稱變換在正交基下為對稱陣。相似變換對角化問題到了這里變成正交變換對角化問題，在涉及對角化問題時，能用正交變換的盡量用正交變換，可以使得問題更加的容易解決。說到這里，大家對高代有了宏觀的認識了。最后總結(jié)出高代的特點，一是結(jié)構(gòu)緊密，整個課程的知識點互相之間有著千絲萬縷的聯(lián)系，無論從哪一個角度切入，都可以牽一發(fā)而動全身，整個課程就是鐵板一塊。二是它解決問題的方法不再是像中學(xué)那樣的重視技巧，以 “ 點 ” 為主，而是從代數(shù)的 “ 結(jié)構(gòu) ” 上，從宏觀上把握解決問題的方案。這對大家是比較抽象，但 是，沒有宏觀的理解，對此課程必然學(xué)不透徹 !建議同學(xué)們邊比較變學(xué)習，上學(xué)期的向量用中學(xué)的向量比較，下學(xué)期的向量用上學(xué)期的比