【正文】 項式更是如此 (次數(shù)最低的零化多項式 )。 高等代數(shù)學習精選心得篇 4 當你們正在《數(shù)學分析》 5261課程時，同時又要學《高 4102等代數(shù)》課程。其思維方式與以前學的數(shù)學迥然不同，概念更加抽象，偏重思辨與證明。一個問題 是指解線性方程組的問題，兩個工具指的是矩陣和向量。三者之間有著密切的聯(lián)系 !它們可以互為工具，在今后的學習中，你們只要緊緊抓住三者之間的聯(lián)系，學習就有了主線了。矩陣呢 ?就是一個方形的數(shù)表，有若干行、列構成，這樣看起來，概念上很好理解啊。 再進一步說吧：中學解方程組，有一個原則，就是一個方程解一個未知量。 (比如第三個方程是前兩個方程相加，那么第三個方程可以視為 “ 多余 ”) 總之，解方程可以先歸納出以下三大問題：第一， 有無多余方程 。方程組將等號和運算除去，就是一個矩陣 !你們說它們是不是聯(lián)系緊密 ?大家可不要小看這三問，我認為它們可以作為學習上學期高代的提綱挈領。中學有沒有涉及代數(shù)結構啊 ?有的，比如實數(shù)域、復數(shù)域中的 “ 域 ” 就是含有四則運算的代數(shù)結構。比如上學期學的數(shù)域上的多項式構成的線性空間。研究線性空間與線性變換的關鍵就是找到線性空間的 “ 基 ” ，只要通過基，可以將無數(shù)個向量的運算通過基線性表示，也可以將 線性變換通過基的變換線性表示 !于是，線性空間的元素真正可以用上學期的 “ 向量 ” 表示了 !線性變換可以用上學期的 “ 矩陣 ” 表示了 !這是代數(shù)中著名的 “ 同構 ” 的思想 !通過這樣，將抽象的問題具體化了，這也就是我們前邊說的 “ 矩陣 ” 和 “ 向量 ” 是兩大工具的原因。經研究，發(fā)現(xiàn)若能轉成對角型的話，那么對角型上的元素是這樣 變換 (稱相似變換 )的不變量，這個不變量很重要，稱為變換的 “ 特征值 ” 。歐氏空間有了度量后，線性空間的許多性質變得很直觀且奇妙。 說到這里，大家對高代有了宏觀的認識了。在計算上理解概念，證明時注重整體結構。 一、培養(yǎng)興趣。所以想學好數(shù)學，首當其沖的是培養(yǎng)對它的興趣，把學數(shù)學當成一種快樂的事，同學們可以試著從簡單的題目開始學習，每解出一道問題心里就會有種成就感，大大提高對數(shù)學的興趣，然后在逐步向難度大的題目過度，使學數(shù)學成為一種習慣。在預習時不必要把所 有問題弄懂，只要帶著這些不懂的問題去聽課就行。老師對于高等數(shù)學課程的講授，絕對不是教材上的內容的簡單重復，而是翻閱了大量的同類參考書，而結合自己的教學經驗與體會，所以毫不夸張地說，教師的授課教案既有以往成功的經驗體會，同時也有過去的教訓的借鑒。上課積極回答老師提出的問題，老師的講課狀態(tài)就會越好，從而可以多講一些有用的知識。 課后的自習，不少人是趕快做作業(yè)，這也是一種不好的 習慣，其實下課后應該進一步認真鉆研教材或教學參考書，在完全弄懂本次課內容之后，整理充實課堂筆記，有些需要理解的地方添上自己的心得與體會，把書本上的知識真正變成自己掌握的知識，然后再完成作業(yè)，這要比下課就趕作業(yè)的效果要好得多，而且完成作業(yè)的速度也要快得多。每學完一章，自己要作總結。這個總結很重要，是對全課程核心內容、重要理論與方法的綜合整理。在此，期望大家高度重視高等數(shù)學的學習，找到適合自己的學習方法，相信大家會獲得更大的收獲。從 “ 形 ” 的研究衍生出幾何、拓撲等數(shù)學分支。根據(jù)課程的特點，每門課程的學習方法當然各不相同，但是如果不能以一種整體的眼光去學習和思考，即使每門課都得了 A，也不見得就學的很好。從學的角度來看，學生們大都處于孤立學習的狀態(tài)，也就是說，孤立在某門課程中學習這門課程，缺乏對多門課程的整體把握和綜合思考。因此，要學好高等代數(shù)，首先要跳出高等代數(shù)，將三門基礎課作為一個整體去學，摒棄孤立的學習，提倡綜合的思考。其實在高等代數(shù)中，這樣抽象的定義比比皆是。最后再將這些結論返回到具體的例子中，得到各種運用。我們可以將定理的結論運用到具體的例子中，從而加深對 定理的理解和掌握 。大概在 90 年代之前，國內高校的高等代數(shù)教材大多以 “ 矩陣論 ” 作為中心，比較強調矩陣論的相關技巧 。從單純重視 “ 代數(shù) ” 到 “ 代數(shù) ” 與 “ 幾何 ” 并重，這其實是高等代數(shù)教學觀念的一種全球性的改變，可能這種改變與 現(xiàn)代數(shù)學的發(fā)展密切相關吧 ! 學好高等代數(shù)的有效方法應該是： 深入理解幾何意義、熟練掌握代數(shù)方法。有了這座橋梁，我們就可以在代數(shù)和幾何之間來去自由、游刃有余。教材內容翔實、重點突出、表述清晰、習題豐富，即使與全國各高校的高等代數(shù)教材相比，也不失為出類拔萃之作。另外，如何用好教參書，也是一個重要的環(huán)節(jié)。在我大一剛開始學數(shù)分和高代時，整個思維模式也受到了 “ 新數(shù)學 ” 的洗禮，有一個適應的過程。 想一想，我們在大學之前所接觸的數(shù)學，主要是初等代數(shù)，平面和立體幾何，三角函數(shù)和圓錐曲線，多項式和不等式 等內容，課上所學也注重技巧的運用，和形式的計算及簡單的推導。 而近代數(shù)學的發(fā)展，特別是分析的嚴謹化以來， “ 數(shù)學的本質已經不是計算，對數(shù)學的精通不意味著能夠做復雜計算或者熟練推演符號。尤其數(shù)分里，很多知識點的定義，真真表現(xiàn)了分析的嚴謹和自成體系的理論。 我認為你目前的狀態(tài)，首先要能清楚地理解每一個概念和定義。 總之，要多讀，多想，多做，這樣你的學習能力的積累和理解力才能提升。 1653覺得高等代數(shù)與數(shù)學分析不太一樣，比較 “ 另類 ” 。尤其是下學期，證明是主要部分，雖然學時不少，但是理解起來仍困難。你可能會想：線性方程組我們學過，而且解它用得著講一門課嗎 ?大家一定要明白，首先我們的方程組不像中學所學僅含 2到 3個方程，它只要用消元法即可容易地求出，這里的研究的是所有方程組的規(guī)律，也就是所必須找到 4個以上方程組成的方程組的解的規(guī)律，這樣就比較難了，需要對方程組有個整體的認識 。向量我們在中學學過一些，物理課也講。可是研究起來可不那么簡單，我們以前的運算是兩個數(shù)的運算，而 現(xiàn)在的運算涉及的可是整個數(shù)表的運算 !可以想象，整個數(shù)表的運算必然比兩個數(shù)的運算難。對于線性代數(shù)的線性方程組，方程的個數(shù)不一定等于未知量的個數(shù)。第二，解決了這三大問題，方程組的解迎刃而解。下學期主要講 “ 線性空間 ”和 “ 線性變換 ” 。 而向量空間的集合是向量，運算就兩個：加法和數(shù)乘。繼而，我們將數(shù)學中的 “ 映射 ” 用在線性空間上，于是有了 “ 線性變換 ” 的概念。同學們要記住，做線性空間與線性變換的題時這樣的轉化是主方向 !進一步：既然線性變換可以通過取基用矩陣表示，不同的基呢，對應不同的矩陣。矩陣相似變換成對角型 是個很實用的問題，結果，不是所有都能化對角，那么退一步，于是有了 “ 若當標準型 “ 的概念，只要特征多項式能夠完全分解，就可以化若當標準型，有一章的內容專門研究它。我們要比較兩者的聯(lián)系與差別。最后總結出高代的特點，一是結構緊密，整個課程的知識點互相之間有著千絲萬縷的聯(lián)系，無論從哪一個角度切入，都可以牽一發(fā)而動全身，整個課程就是鐵板一塊。關于證明，這里一時無法盡言，請看我的《證明題的證法之高代篇》 高等代數(shù)學習精選心得篇 9 代數(shù)學從高等代數(shù)的問題出發(fā)，又發(fā)展成為包括許多獨立分支的一個大的數(shù)學科目，比如：多項式代數(shù)，線性代數(shù)等。因此代數(shù)學的內容可以概括為研究帶有運算的一些集合，在數(shù)學中把這樣的一些集合叫做代數(shù)系統(tǒng)。研究多項式理論，主要在于探討代數(shù)方程的性質，從而尋找簡易的解方程的方法。解代數(shù)方程無非就是求對應多項式的零點，零點不存在的時候 ，多對應的代數(shù)方程就沒有解。他在寫了一部叫做《解伏題之法》的著作，標題的意思是解行列式問題的方法，書里對行列式的概念和他的展開已經有了清楚的敘述。行列式可 以把一個線性方程組的解表示成公式，也就是說行列式代表著一個數(shù)。利用矩陣這個工具，可以把線性方程組中的系數(shù)組成向量空間中的向量，這樣對于一個多元線性方程組的解的情況，以及不同解之間的關系等等一系列理論上的問題，都可以得到徹底的解決。 集合是具有某種屬性的事物的全體：向量是除了具有數(shù)值，同時還具有方向的量，向量空間也叫線性空間，是由許多向量組成的并且符合某些特定運算的規(guī)則的集合。我希望將來有人發(fā)現(xiàn)消除所有這些混亂對他們是有益的。伽羅華雖然十分年經，但他在數(shù)學史上作出的貢獻，不僅解決了幾個世紀以來一直沒有解決 的代數(shù)解問題，更重要的是他在解決這個問題提出了群的概念，并由此發(fā)展了一系列一整套關于群和域的理論，開辟了代數(shù)學的一個嶄新的天地，直接影響了代數(shù)學研究方法的變革。盡管在現(xiàn)實中連續(xù)性和不連續(xù)性是辯證統(tǒng)一的，但是為了認識現(xiàn)實，有時候需要把它分成幾個部分，然后分別的研究認識，在綜合起來，就得到對現(xiàn)實的總的認識。代數(shù)學中發(fā)生的許多新的概念和思想，大大豐富了數(shù)學的許多分支，成為眾多學科的共同基礎。高等代數(shù)倒是可以說說一點一孔之見，有點長，歡迎友好交流。要么先講線性方程組，以丘維聲先生《高等代數(shù)》為例。從逆序數(shù)組合乘積再求和來講，沒有直觀意義，只是淪為計算工具 )來看，其十分不適合放在開篇第一章的位置。舉個例子，從線性方程組的完全求解 (即完全解決線性方程組的求解方法 —— GaussJordan算法和解的結構 )開始，第一章敘述求解方法， (第二章敘述行列式，我覺得這是一個敗筆。有一個清晰的結構很重要，但敘述思 想與概念的來源同樣非常重要，因為這樣的想法可以指導以后的認知，這是真正的授之以漁。 第三，例題豐富，便于自學，并至少試圖進行廣泛應用。讓讀者能夠學以致用，這一點上，在國內的基礎教材內，丘維聲老師的書確實做的非常好。 這個其實也是是學習數(shù)學的一般思維。但是線性空間的補空間在有限維和無限維空間里都是有的。與基相關聯(lián)的還有維數(shù)，這同樣是描述線性空間的核心數(shù)學量 (比如，兩個有限維實內積空間同構當且僅當二者同 維 )。當然這也是后續(xù)課程抽象代數(shù)學的核心。 第四，學習抓臨界條件來解決關鍵問題，不要隨意丟棄 “ 腳手架 ” 。 這就是個人的一點觀點，不局限于高等代數(shù) (也一定不能局限，否則難以提出真正的高觀點 )，再次表示歡迎真正的大佬前來指教，姑且作為拋磚引玉了。李老師講課風趣、幽默，同時又能引起聽眾的深刻思考。李老師首創(chuàng)了從幾何角度 引入行列式的概念，并給出 2維到 n維的行列式定義的計算公式，這是線性代數(shù)教學中的偉大創(chuàng)新，是代數(shù)與幾何完美的融合。 李老師講課精彩，引人入勝，給人以智慧。只有那些不是一心為了成功的人才有可能獲得成功。 70年代初去大巴山教公社小學，他沒有抱怨命運，沒有放棄奮斗，而是在努力教好學生的同時，不忘自身學習。我要學習李老師的為人處世的方式；要學習他自強不息的奮斗意志，更要學習他對學生的熱愛。最后祝李尚志老師身體 健康。我具體說一下列在下面： 書：課本 +習題集 (必備 )，因為學好數(shù)學絕對離不開多做題 (跟高中有點像，呵呵 )。 上課：建議最好預習后聽聽。數(shù)學就是一個概念 +定理體系 (還有推理 )，對概念的理解至關重要，比如說極限、導數(shù)等，小弟你既要有形象的對它們的理解，也要熟記它們的數(shù)學描述，不用硬背，可以自己對著書舉例子，畫個圖看看 (形象理解其實很重要 )，然后多做題，做題中體會。這些東西不正式但很有用的。此外還看些關于高數(shù)應用的書，其實數(shù)學本來就是從應用中來的，你會知道真的很有 用 (不知你學的什么專業(yè) ) 最后再說說怎么提高理解能力的問題 (一家之言 ) 舉例具體化。 類比初級化。 Justhaveatry! 不懂暫跳法。 在課堂上，我們老師會把班里的 同學分成幾個組，然后大家會先一起探討高中書本上的一些疑難點，引導我們站在更高的知識層面上來分析高中課本。最后通過縝密的邏輯可以論證猜想成立，原來我們是可以通過有限數(shù)列構造出表達式為 一元多項式的通項公式。初等數(shù)學是對特例、常量的研究，而高等數(shù)學是對變量的研究，所以中學數(shù)學的知 識從某一程度上可以理解為高等數(shù)學的特例。從中學數(shù)學到現(xiàn)代數(shù)學的學習，需要學生掌握的不只是一個個知識點，更多的是數(shù)學思想方法：轉化與化歸思想，分類討論思想，數(shù)形結合思想，函數(shù)與方程思想等。 高等代數(shù)學習精選心得篇 14 通過聽了馮家樂老師的講座，使我更加深刻的認識到 “ 數(shù)與代數(shù) ” 的內 容在小學階段的數(shù)學課程中所占的重要地位和重要的教育價值。要說明這個問題首先要考慮數(shù)學的本質是什么，或者說 “ 什么是數(shù)學 ” ？在課程標準的總體目標中提出的數(shù)學知識（包括數(shù)學事實、數(shù)學活動經驗）是否可以簡單的這樣表述：數(shù)學知識是 “ 數(shù)與形以及演繹 ” 的知識。 既然數(shù)學知識是一個系統(tǒng)的整體，那么數(shù)學教學應強調整體聯(lián)系，以培養(yǎng)學生對數(shù)學聯(lián)系的理解。同時，數(shù)學學習不是單純的知識的接受，而是以學生為主體的數(shù)學活動。 三、數(shù)學教材內容和數(shù)學教學應該是系統(tǒng)整體的。教材中的每一個例題就像一個神經細胞，當神經細胞串連考慮周到來時就能發(fā)揮出強大的功能。如果把知識切割成一塊又一塊，各說各的，碰到這道題這樣做，沒碰到過的就不會做，就容易使學生陷入背數(shù)學的一種痛苦的環(huán)境中。 高等代數(shù)學習精選心得篇 15 三天的《線性代數(shù)》精品課程培訓馬上就要結束了，時間雖然短暫，但給我的觸動是很深的，啟示是很大的。我覺得用方程組引入行列式定義有兩個困惑：第一，二元及三元一次線性方程組的求解學生早在初中就很熟悉，非要用商的形式表達解有點化簡單為煩瑣的味道。然后按照定義，和學生們一起求出二階和三階行列式的計算公式，即對角線法則。 另外，關于線性方程組有解的判別條件，許多教材都是直接給出定理和證明，然后給出有唯一解、多解、無解等不同情況的相應例題。這種由特殊到一般的規(guī)律和方法更利于學生理解和掌握，通 過實實在在的例子讓學生在觀察中思考與學習，發(fā)揮了學生的主動性、積極性甚至創(chuàng)造性。 最后謝謝兩位老師給我們帶來這么精彩而難忘的培訓，辛苦了?。?！