【正文】 項(xiàng)式更是如此 (次數(shù)最低的零化多項(xiàng)式 )。 高等代數(shù)學(xué)習(xí)精選心得篇 4 當(dāng)你們正在《數(shù)學(xué)分析》 5261課程時(shí)，同時(shí)又要學(xué)《高 4102等代數(shù)》課程。其思維方式與以前學(xué)的數(shù)學(xué)迥然不同，概念更加抽象，偏重思辨與證明。一個(gè)問題 是指解線性方程組的問題，兩個(gè)工具指的是矩陣和向量。三者之間有著密切的聯(lián)系 !它們可以互為工具，在今后的學(xué)習(xí)中，你們只要緊緊抓住三者之間的聯(lián)系，學(xué)習(xí)就有了主線了。矩陣呢 ?就是一個(gè)方形的數(shù)表，有若干行、列構(gòu)成，這樣看起來，概念上很好理解啊。 再進(jìn)一步說吧：中學(xué)解方程組，有一個(gè)原則，就是一個(gè)方程解一個(gè)未知量。 (比如第三個(gè)方程是前兩個(gè)方程相加，那么第三個(gè)方程可以視為 “ 多余 ”) 總之，解方程可以先歸納出以下三大問題：第一， 有無多余方程 。方程組將等號(hào)和運(yùn)算除去，就是一個(gè)矩陣 !你們說它們是不是聯(lián)系緊密 ?大家可不要小看這三問，我認(rèn)為它們可以作為學(xué)習(xí)上學(xué)期高代的提綱挈領(lǐng)。中學(xué)有沒有涉及代數(shù)結(jié)構(gòu)啊 ?有的，比如實(shí)數(shù)域、復(fù)數(shù)域中的 “ 域 ” 就是含有四則運(yùn)算的代數(shù)結(jié)構(gòu)。比如上學(xué)期學(xué)的數(shù)域上的多項(xiàng)式構(gòu)成的線性空間。研究線性空間與線性變換的關(guān)鍵就是找到線性空間的 “ 基 ” ，只要通過基，可以將無數(shù)個(gè)向量的運(yùn)算通過基線性表示，也可以將 線性變換通過基的變換線性表示 !于是，線性空間的元素真正可以用上學(xué)期的 “ 向量 ” 表示了 !線性變換可以用上學(xué)期的 “ 矩陣 ” 表示了 !這是代數(shù)中著名的 “ 同構(gòu) ” 的思想 !通過這樣，將抽象的問題具體化了，這也就是我們前邊說的 “ 矩陣 ” 和 “ 向量 ” 是兩大工具的原因。經(jīng)研究，發(fā)現(xiàn)若能轉(zhuǎn)成對(duì)角型的話，那么對(duì)角型上的元素是這樣 變換 (稱相似變換 )的不變量，這個(gè)不變量很重要，稱為變換的 “ 特征值 ” 。歐氏空間有了度量后，線性空間的許多性質(zhì)變得很直觀且奇妙。 說到這里，大家對(duì)高代有了宏觀的認(rèn)識(shí)了。在計(jì)算上理解概念，證明時(shí)注重整體結(jié)構(gòu)。 一、培養(yǎng)興趣。所以想學(xué)好數(shù)學(xué)，首當(dāng)其沖的是培養(yǎng)對(duì)它的興趣，把學(xué)數(shù)學(xué)當(dāng)成一種快樂的事，同學(xué)們可以試著從簡單的題目開始學(xué)習(xí)，每解出一道問題心里就會(huì)有種成就感，大大提高對(duì)數(shù)學(xué)的興趣，然后在逐步向難度大的題目過度，使學(xué)數(shù)學(xué)成為一種習(xí)慣。在預(yù)習(xí)時(shí)不必要把所 有問題弄懂，只要帶著這些不懂的問題去聽課就行。老師對(duì)于高等數(shù)學(xué)課程的講授，絕對(duì)不是教材上的內(nèi)容的簡單重復(fù)，而是翻閱了大量的同類參考書，而結(jié)合自己的教學(xué)經(jīng)驗(yàn)與體會(huì)，所以毫不夸張地說，教師的授課教案既有以往成功的經(jīng)驗(yàn)體會(huì)，同時(shí)也有過去的教訓(xùn)的借鑒。上課積極回答老師提出的問題，老師的講課狀態(tài)就會(huì)越好，從而可以多講一些有用的知識(shí)。 課后的自習(xí)，不少人是趕快做作業(yè)，這也是一種不好的 習(xí)慣，其實(shí)下課后應(yīng)該進(jìn)一步認(rèn)真鉆研教材或教學(xué)參考書，在完全弄懂本次課內(nèi)容之后，整理充實(shí)課堂筆記，有些需要理解的地方添上自己的心得與體會(huì)，把書本上的知識(shí)真正變成自己掌握的知識(shí)，然后再完成作業(yè)，這要比下課就趕作業(yè)的效果要好得多，而且完成作業(yè)的速度也要快得多。每學(xué)完一章，自己要作總結(jié)。這個(gè)總結(jié)很重要，是對(duì)全課程核心內(nèi)容、重要理論與方法的綜合整理。在此，期望大家高度重視高等數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)，找到適合自己的學(xué)習(xí)方法，相信大家會(huì)獲得更大的收獲。從 “ 形 ” 的研究衍生出幾何、拓?fù)涞葦?shù)學(xué)分支。根據(jù)課程的特點(diǎn)，每門課程的學(xué)習(xí)方法當(dāng)然各不相同，但是如果不能以一種整體的眼光去學(xué)習(xí)和思考，即使每門課都得了 A，也不見得就學(xué)的很好。從學(xué)的角度來看，學(xué)生們大都處于孤立學(xué)習(xí)的狀態(tài)，也就是說，孤立在某門課程中學(xué)習(xí)這門課程，缺乏對(duì)多門課程的整體把握和綜合思考。因此，要學(xué)好高等代數(shù)，首先要跳出高等代數(shù)，將三門基礎(chǔ)課作為一個(gè)整體去學(xué)，摒棄孤立的學(xué)習(xí)，提倡綜合的思考。其實(shí)在高等代數(shù)中，這樣抽象的定義比比皆是。最后再將這些結(jié)論返回到具體的例子中，得到各種運(yùn)用。我們可以將定理的結(jié)論運(yùn)用到具體的例子中，從而加深對(duì) 定理的理解和掌握 。大概在 90 年代之前，國內(nèi)高校的高等代數(shù)教材大多以 “ 矩陣論 ” 作為中心，比較強(qiáng)調(diào)矩陣論的相關(guān)技巧 。從單純重視 “ 代數(shù) ” 到 “ 代數(shù) ” 與 “ 幾何 ” 并重，這其實(shí)是高等代數(shù)教學(xué)觀念的一種全球性的改變，可能這種改變與 現(xiàn)代數(shù)學(xué)的發(fā)展密切相關(guān)吧 ! 學(xué)好高等代數(shù)的有效方法應(yīng)該是： 深入理解幾何意義、熟練掌握代數(shù)方法。有了這座橋梁，我們就可以在代數(shù)和幾何之間來去自由、游刃有余。教材內(nèi)容翔實(shí)、重點(diǎn)突出、表述清晰、習(xí)題豐富，即使與全國各高校的高等代數(shù)教材相比，也不失為出類拔萃之作。另外，如何用好教參書，也是一個(gè)重要的環(huán)節(jié)。在我大一剛開始學(xué)數(shù)分和高代時(shí)，整個(gè)思維模式也受到了 “ 新數(shù)學(xué) ” 的洗禮，有一個(gè)適應(yīng)的過程。 想一想，我們?cè)诖髮W(xué)之前所接觸的數(shù)學(xué)，主要是初等代數(shù)，平面和立體幾何，三角函數(shù)和圓錐曲線，多項(xiàng)式和不等式 等內(nèi)容，課上所學(xué)也注重技巧的運(yùn)用，和形式的計(jì)算及簡單的推導(dǎo)。 而近代數(shù)學(xué)的發(fā)展，特別是分析的嚴(yán)謹(jǐn)化以來， “ 數(shù)學(xué)的本質(zhì)已經(jīng)不是計(jì)算，對(duì)數(shù)學(xué)的精通不意味著能夠做復(fù)雜計(jì)算或者熟練推演符號(hào)。尤其數(shù)分里，很多知識(shí)點(diǎn)的定義，真真表現(xiàn)了分析的嚴(yán)謹(jǐn)和自成體系的理論。 我認(rèn)為你目前的狀態(tài)，首先要能清楚地理解每一個(gè)概念和定義。 總之，要多讀，多想，多做，這樣你的學(xué)習(xí)能力的積累和理解力才能提升。 1653覺得高等代數(shù)與數(shù)學(xué)分析不太一樣，比較 “ 另類 ” 。尤其是下學(xué)期，證明是主要部分，雖然學(xué)時(shí)不少，但是理解起來仍困難。你可能會(huì)想：線性方程組我們學(xué)過，而且解它用得著講一門課嗎 ?大家一定要明白，首先我們的方程組不像中學(xué)所學(xué)僅含 2到 3個(gè)方程，它只要用消元法即可容易地求出，這里的研究的是所有方程組的規(guī)律，也就是所必須找到 4個(gè)以上方程組成的方程組的解的規(guī)律，這樣就比較難了，需要對(duì)方程組有個(gè)整體的認(rèn)識(shí) 。向量我們?cè)谥袑W(xué)學(xué)過一些，物理課也講?？墒茄芯科饋砜刹荒敲春唵?，我們以前的運(yùn)算是兩個(gè)數(shù)的運(yùn)算，而 現(xiàn)在的運(yùn)算涉及的可是整個(gè)數(shù)表的運(yùn)算 !可以想象，整個(gè)數(shù)表的運(yùn)算必然比兩個(gè)數(shù)的運(yùn)算難。對(duì)于線性代數(shù)的線性方程組，方程的個(gè)數(shù)不一定等于未知量的個(gè)數(shù)。第二，解決了這三大問題，方程組的解迎刃而解。下學(xué)期主要講 “ 線性空間 ”和 “ 線性變換 ” 。 而向量空間的集合是向量，運(yùn)算就兩個(gè)：加法和數(shù)乘。繼而，我們將數(shù)學(xué)中的 “ 映射 ” 用在線性空間上，于是有了 “ 線性變換 ” 的概念。同學(xué)們要記住，做線性空間與線性變換的題時(shí)這樣的轉(zhuǎn)化是主方向 !進(jìn)一步：既然線性變換可以通過取基用矩陣表示，不同的基呢，對(duì)應(yīng)不同的矩陣。矩陣相似變換成對(duì)角型 是個(gè)很實(shí)用的問題，結(jié)果，不是所有都能化對(duì)角，那么退一步，于是有了 “ 若當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)型 “ 的概念，只要特征多項(xiàng)式能夠完全分解，就可以化若當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)型，有一章的內(nèi)容專門研究它。我們要比較兩者的聯(lián)系與差別。最后總結(jié)出高代的特點(diǎn)，一是結(jié)構(gòu)緊密，整個(gè)課程的知識(shí)點(diǎn)互相之間有著千絲萬縷的聯(lián)系，無論從哪一個(gè)角度切入，都可以牽一發(fā)而動(dòng)全身，整個(gè)課程就是鐵板一塊。關(guān)于證明，這里一時(shí)無法盡言，請(qǐng)看我的《證明題的證法之高代篇》 高等代數(shù)學(xué)習(xí)精選心得篇 9 代數(shù)學(xué)從高等代數(shù)的問題出發(fā)，又發(fā)展成為包括許多獨(dú)立分支的一個(gè)大的數(shù)學(xué)科目，比如：多項(xiàng)式代數(shù)，線性代數(shù)等。因此代數(shù)學(xué)的內(nèi)容可以概括為研究帶有運(yùn)算的一些集合，在數(shù)學(xué)中把這樣的一些集合叫做代數(shù)系統(tǒng)。研究多項(xiàng)式理論，主要在于探討代數(shù)方程的性質(zhì)，從而尋找簡易的解方程的方法。解代數(shù)方程無非就是求對(duì)應(yīng)多項(xiàng)式的零點(diǎn)，零點(diǎn)不存在的時(shí)候 ，多對(duì)應(yīng)的代數(shù)方程就沒有解。他在寫了一部叫做《解伏題之法》的著作，標(biāo)題的意思是解行列式問題的方法，書里對(duì)行列式的概念和他的展開已經(jīng)有了清楚的敘述。行列式可 以把一個(gè)線性方程組的解表示成公式，也就是說行列式代表著一個(gè)數(shù)。利用矩陣這個(gè)工具，可以把線性方程組中的系數(shù)組成向量空間中的向量，這樣對(duì)于一個(gè)多元線性方程組的解的情況，以及不同解之間的關(guān)系等等一系列理論上的問題，都可以得到徹底的解決。 集合是具有某種屬性的事物的全體：向量是除了具有數(shù)值，同時(shí)還具有方向的量，向量空間也叫線性空間，是由許多向量組成的并且符合某些特定運(yùn)算的規(guī)則的集合。我希望將來有人發(fā)現(xiàn)消除所有這些混亂對(duì)他們是有益的。伽羅華雖然十分年經(jīng)，但他在數(shù)學(xué)史上作出的貢獻(xiàn)，不僅解決了幾個(gè)世紀(jì)以來一直沒有解決 的代數(shù)解問題，更重要的是他在解決這個(gè)問題提出了群的概念，并由此發(fā)展了一系列一整套關(guān)于群和域的理論，開辟了代數(shù)學(xué)的一個(gè)嶄新的天地，直接影響了代數(shù)學(xué)研究方法的變革。盡管在現(xiàn)實(shí)中連續(xù)性和不連續(xù)性是辯證統(tǒng)一的，但是為了認(rèn)識(shí)現(xiàn)實(shí)，有時(shí)候需要把它分成幾個(gè)部分，然后分別的研究認(rèn)識(shí)，在綜合起來，就得到對(duì)現(xiàn)實(shí)的總的認(rèn)識(shí)。代數(shù)學(xué)中發(fā)生的許多新的概念和思想，大大豐富了數(shù)學(xué)的許多分支，成為眾多學(xué)科的共同基礎(chǔ)。高等代數(shù)倒是可以說說一點(diǎn)一孔之見，有點(diǎn)長，歡迎友好交流。要么先講線性方程組，以丘維聲先生《高等代數(shù)》為例。從逆序數(shù)組合乘積再求和來講，沒有直觀意義，只是淪為計(jì)算工具 )來看，其十分不適合放在開篇第一章的位置。舉個(gè)例子，從線性方程組的完全求解 (即完全解決線性方程組的求解方法 —— GaussJordan算法和解的結(jié)構(gòu) )開始，第一章敘述求解方法， (第二章敘述行列式，我覺得這是一個(gè)敗筆。有一個(gè)清晰的結(jié)構(gòu)很重要，但敘述思 想與概念的來源同樣非常重要，因?yàn)檫@樣的想法可以指導(dǎo)以后的認(rèn)知，這是真正的授之以漁。 第三，例題豐富，便于自學(xué)，并至少試圖進(jìn)行廣泛應(yīng)用。讓讀者能夠?qū)W以致用，這一點(diǎn)上，在國內(nèi)的基礎(chǔ)教材內(nèi)，丘維聲老師的書確實(shí)做的非常好。 這個(gè)其實(shí)也是是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的一般思維。但是線性空間的補(bǔ)空間在有限維和無限維空間里都是有的。與基相關(guān)聯(lián)的還有維數(shù)，這同樣是描述線性空間的核心數(shù)學(xué)量 (比如，兩個(gè)有限維實(shí)內(nèi)積空間同構(gòu)當(dāng)且僅當(dāng)二者同 維 )。當(dāng)然這也是后續(xù)課程抽象代數(shù)學(xué)的核心。 第四，學(xué)習(xí)抓臨界條件來解決關(guān)鍵問題，不要隨意丟棄 “ 腳手架 ” 。 這就是個(gè)人的一點(diǎn)觀點(diǎn)，不局限于高等代數(shù) (也一定不能局限，否則難以提出真正的高觀點(diǎn) )，再次表示歡迎真正的大佬前來指教，姑且作為拋磚引玉了。李老師講課風(fēng)趣、幽默，同時(shí)又能引起聽眾的深刻思考。李老師首創(chuàng)了從幾何角度 引入行列式的概念，并給出 2維到 n維的行列式定義的計(jì)算公式，這是線性代數(shù)教學(xué)中的偉大創(chuàng)新，是代數(shù)與幾何完美的融合。 李老師講課精彩，引人入勝，給人以智慧。只有那些不是一心為了成功的人才有可能獲得成功。 70年代初去大巴山教公社小學(xué)，他沒有抱怨命運(yùn)，沒有放棄奮斗，而是在努力教好學(xué)生的同時(shí)，不忘自身學(xué)習(xí)。我要學(xué)習(xí)李老師的為人處世的方式；要學(xué)習(xí)他自強(qiáng)不息的奮斗意志，更要學(xué)習(xí)他對(duì)學(xué)生的熱愛。最后祝李尚志老師身體 健康。我具體說一下列在下面： 書：課本 +習(xí)題集 (必備 )，因?yàn)閷W(xué)好數(shù)學(xué)絕對(duì)離不開多做題 (跟高中有點(diǎn)像，呵呵 )。 上課：建議最好預(yù)習(xí)后聽聽。數(shù)學(xué)就是一個(gè)概念 +定理體系 (還有推理 )，對(duì)概念的理解至關(guān)重要，比如說極限、導(dǎo)數(shù)等，小弟你既要有形象的對(duì)它們的理解，也要熟記它們的數(shù)學(xué)描述，不用硬背，可以自己對(duì)著書舉例子，畫個(gè)圖看看 (形象理解其實(shí)很重要 )，然后多做題，做題中體會(huì)。這些東西不正式但很有用的。此外還看些關(guān)于高數(shù)應(yīng)用的書，其實(shí)數(shù)學(xué)本來就是從應(yīng)用中來的，你會(huì)知道真的很有 用 (不知你學(xué)的什么專業(yè) ) 最后再說說怎么提高理解能力的問題 (一家之言 ) 舉例具體化。 類比初級(jí)化。 Justhaveatry! 不懂暫跳法。 在課堂上，我們老師會(huì)把班里的 同學(xué)分成幾個(gè)組，然后大家會(huì)先一起探討高中書本上的一些疑難點(diǎn)，引導(dǎo)我們站在更高的知識(shí)層面上來分析高中課本。最后通過縝密的邏輯可以論證猜想成立，原來我們是可以通過有限數(shù)列構(gòu)造出表達(dá)式為 一元多項(xiàng)式的通項(xiàng)公式。初等數(shù)學(xué)是對(duì)特例、常量的研究，而高等數(shù)學(xué)是對(duì)變量的研究，所以中學(xué)數(shù)學(xué)的知 識(shí)從某一程度上可以理解為高等數(shù)學(xué)的特例。從中學(xué)數(shù)學(xué)到現(xiàn)代數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)，需要學(xué)生掌握的不只是一個(gè)個(gè)知識(shí)點(diǎn)，更多的是數(shù)學(xué)思想方法：轉(zhuǎn)化與化歸思想，分類討論思想，數(shù)形結(jié)合思想，函數(shù)與方程思想等。 高等代數(shù)學(xué)習(xí)精選心得篇 14 通過聽了馮家樂老師的講座，使我更加深刻的認(rèn)識(shí)到 “ 數(shù)與代數(shù) ” 的內(nèi) 容在小學(xué)階段的數(shù)學(xué)課程中所占的重要地位和重要的教育價(jià)值。要說明這個(gè)問題首先要考慮數(shù)學(xué)的本質(zhì)是什么，或者說 “ 什么是數(shù)學(xué) ” ？在課程標(biāo)準(zhǔn)的總體目標(biāo)中提出的數(shù)學(xué)知識(shí)（包括數(shù)學(xué)事實(shí)、數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)）是否可以簡單的這樣表述：數(shù)學(xué)知識(shí)是 “ 數(shù)與形以及演繹 ” 的知識(shí)。 既然數(shù)學(xué)知識(shí)是一個(gè)系統(tǒng)的整體，那么數(shù)學(xué)教學(xué)應(yīng)強(qiáng)調(diào)整體聯(lián)系，以培養(yǎng)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)聯(lián)系的理解。同時(shí)，數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)不是單純的知識(shí)的接受，而是以學(xué)生為主體的數(shù)學(xué)活動(dòng)。 三、數(shù)學(xué)教材內(nèi)容和數(shù)學(xué)教學(xué)應(yīng)該是系統(tǒng)整體的。教材中的每一個(gè)例題就像一個(gè)神經(jīng)細(xì)胞，當(dāng)神經(jīng)細(xì)胞串連考慮周到來時(shí)就能發(fā)揮出強(qiáng)大的功能。如果把知識(shí)切割成一塊又一塊，各說各的，碰到這道題這樣做，沒碰到過的就不會(huì)做，就容易使學(xué)生陷入背數(shù)學(xué)的一種痛苦的環(huán)境中。 高等代數(shù)學(xué)習(xí)精選心得篇 15 三天的《線性代數(shù)》精品課程培訓(xùn)馬上就要結(jié)束了，時(shí)間雖然短暫，但給我的觸動(dòng)是很深的，啟示是很大的。我覺得用方程組引入行列式定義有兩個(gè)困惑：第一，二元及三元一次線性方程組的求解學(xué)生早在初中就很熟悉，非要用商的形式表達(dá)解有點(diǎn)化簡單為煩瑣的味道。然后按照定義，和學(xué)生們一起求出二階和三階行列式的計(jì)算公式，即對(duì)角線法則。 另外，關(guān)于線性方程組有解的判別條件，許多教材都是直接給出定理和證明，然后給出有唯一解、多解、無解等不同情況的相應(yīng)例題。這種由特殊到一般的規(guī)律和方法更利于學(xué)生理解和掌握，通 過實(shí)實(shí)在在的例子讓學(xué)生在觀察中思考與學(xué)習(xí)，發(fā)揮了學(xué)生的主動(dòng)性、積極性甚至創(chuàng)造性。 最后謝謝兩位老師給我們帶來這么精彩而難忘的培訓(xùn)，辛苦了?。?！