【正文】 來作為 “ 自由未知量 ” ，也就是將之當(dāng)做參數(shù) (可以任意取值的常數(shù) )。 中學(xué)學(xué)的是三維向量，在幾何中用有向線段表示，代數(shù)上用三個(gè)數(shù)的有序數(shù)組表示。 它分兩個(gè)學(xué)期。還有一些用過的工具用過了不代表沒用，比如向量組提出其實(shí)可以看做是用來解決線性方程組問題的，但是解決了不代表 就沒其他用了，相應(yīng)的，在度量上，其依然發(fā)揮著重要作用。 第三，以研究態(tài)射為高等代數(shù)的核心。比如伴隨變換在有限維酉空間里一定有，但是在無限維酉空間里就不 一定有了。個(gè)人認(rèn)為大學(xué)最重要的是培養(yǎng)的是人的思維方式，而不是知識 (當(dāng)然不是不重要，只是有了這些才有真正意義上的知識 )。 我同意這樣的看法：代數(shù)學(xué)是 “ 生產(chǎn)定理的機(jī)器 ” ，是研究結(jié)構(gòu)的學(xué)科。從映射的角度來講，對初學(xué)者太抽象 。 數(shù)學(xué)分析我也坐等大佬填坑，我數(shù)學(xué)分析學(xué) 的并不好 。 我認(rèn)為你目前的狀態(tài)，首先要能清楚地理解每一個(gè)概念和定義。 而近代數(shù)學(xué)的發(fā)展，特別是分析的嚴(yán)謹(jǐn)化以來， “ 數(shù)學(xué)的本質(zhì)已經(jīng)不是計(jì)算，對數(shù)學(xué)的精通不意味著能夠做復(fù)雜計(jì)算或者熟練推演符號。在我大一剛開始學(xué)數(shù)分和高代時(shí)，整個(gè)思維模式也受到了 “ 新數(shù)學(xué) ” 的洗禮，有一個(gè)適應(yīng)的過程。比如把二元函數(shù)跟一元函數(shù)類比，泰勒公式想成二次函數(shù)，好理解。此外還看些關(guān)于高數(shù)應(yīng)用的書，其實(shí)數(shù)學(xué)本來就是從應(yīng)用中來的，你會知道真的很有用 (不知你學(xué)的什么專業(yè) ) 最后再說說怎么提高理解能力的問題 (一家之言 ) 1。數(shù)學(xué)就是一個(gè)概念 +定理體系 (還有推理 )，對概念的理解至關(guān)重要，比如說極限、導(dǎo)數(shù)等，小弟你既要有形象的對它們的理解，也要熟記它們的數(shù)學(xué)描述，不用硬背，可以自己對著書舉例子，畫個(gè)圖看看 (形象理解其實(shí)很重要 )，然后多做題，做題中體會。筆記：盡量有，我說的筆記不是指原封不 動的抄板書，那樣沒意思，而且不必非單獨(dú)用個(gè)小本，可記在書上。下面給大家?guī)硪恍╆P(guān)于高等代數(shù)學(xué)習(xí)的心得，希望對大家有所幫助。書：課本 +習(xí)題集 (必備 )，因?yàn)閷W(xué)好數(shù)學(xué)絕對離不開多做題 (跟高中有點(diǎn)像，呵呵 )。但 remember，高數(shù)千萬別搞考前突擊，絕對行不通，所以平時(shí)你就要跟上，步步盡量別斷層。 題型都明白了，比如 各種極限的求法。就是打比 方 ,比如把一個(gè)二元函數(shù)的圖形想成鄰家女孩的頭上的草帽。不懂暫跳法。事實(shí)上，這些絕大多數(shù)是三百年前甚至兩千年前的知識，關(guān)于現(xiàn)代數(shù)學(xué)的涉及基本沒有。像極限的表述，就把一個(gè)腦海里變動的過程所導(dǎo)致的結(jié)果，合理地用定性的語言作了描述。學(xué)好這些基礎(chǔ)課是極其重要 的，后續(xù)的很多課程：像實(shí)變函數(shù)、泛函分析，抽象代數(shù)等都是數(shù)分高代的抽象版，如果一開始的學(xué)習(xí)里積攢很多不扎實(shí)的點(diǎn)，會讓以后變得更加難以捉摸。要么先講線性方程組，以丘維聲先生《高等代數(shù)》為例。舉個(gè)例子，從線性方程組的完全求解 (即完全解決線性方程組的求解方法 —— GaussJordan算法和解的結(jié)構(gòu) )開始，第一章敘述求解方法， (第二章敘述行列式，我覺得這是一個(gè)敗筆。 第三，例題豐富，便于自學(xué)，并至少試圖進(jìn)行廣泛應(yīng)用。 這個(gè)其實(shí)也是是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的一般思維。與基相關(guān)聯(lián)的還有維數(shù)，這同樣是描述線性空間的核心數(shù)學(xué)量 (比如，兩個(gè)有限維實(shí)內(nèi)積空間同構(gòu)當(dāng)且僅當(dāng)二者同維 )。 第四，學(xué)習(xí)抓臨界條件來解決關(guān)鍵問題，不要隨意丟棄 “ 腳手架 ” 。高等代數(shù)則不同，它在中學(xué)基本上沒有 “ 根 ” 。實(shí)際上，向量、矩陣、線性方程組都是基本數(shù)學(xué)工具。關(guān)鍵是要理解概念與概念間的聯(lián)系。剛才講了，三者聯(lián)系緊密，比如一個(gè)方程將運(yùn)算符號和等號除去，就是一個(gè)向量 ?？墒牵男问接芯窒薨?，數(shù)學(xué)家就想到，將其概念的本質(zhì)抽 取出來，他們發(fā)現(xiàn)，向量空間的本質(zhì)就是八條運(yùn)算律，因此將它作為線性空間 (也稱向量空間 )的公理化定義，作為原始的向量、加法、數(shù)乘未必再有原來的形式了。簡單到極致，就是對角型。相似變換對角化問題到了這里變成正交變換對角化問題，在涉及對角化問題時(shí)，能用正交變換的盡量用正交變換，可以使得問題更加的容易解決。 每個(gè)人的學(xué)習(xí)習(xí)慣和理解問題的能力也有所不同，但一般的方法還是有規(guī)律的，想要學(xué)好數(shù)學(xué)必不可少的有以下幾個(gè)環(huán)節(jié)。預(yù)習(xí)的過程也不需要花太多時(shí)間，一般地一次課內(nèi)容花三、四十分鐘左右時(shí)間就可以了。 上面說了上課要認(rèn)真聽講記好筆記，與此同時(shí)上課積極發(fā)言、踴躍的與老師做好互動也非常重要。 人的記憶力是有限的，要全面記住所有有用的東西而不遺忘是很難辦到的，怎么辦呢？這就需要對自己學(xué)的知識加以歸納總結(jié)，找出它們之間的內(nèi)在聯(lián)系和共同 本質(zhì)的東西，然后使之系統(tǒng)化條理化，從而記住最有代表性的知識點(diǎn)，而其余部分只要在此基礎(chǔ)上經(jīng)過推理便可以了解。就高等數(shù)學(xué)課程而言，是培養(yǎng)我們學(xué)生的觀察判斷能力、邏輯思維能力、自學(xué)能力以及動手解題的能力，而這幾種能力結(jié)合起來，就可以構(gòu)成獨(dú)立分析問題的能力和解決問題的能力。 數(shù)學(xué)分析、高等代數(shù)、空間解析幾何這三門基礎(chǔ)課，恰好是數(shù)學(xué)最重要的三個(gè)分支 分析、代數(shù)、幾何的最重要的基礎(chǔ)課程。另外，高等代數(shù)中還有很多分析方面的技巧，比如說 “ 攝動法 ” ，它是一種分析的方法，可以讓我們把 問題從一般矩陣化到非異矩陣的情形。然后通過代數(shù)的方法對這一概念進(jìn)行研究，得到一般的結(jié)論 。 三、高等代數(shù)不僅要學(xué)代數(shù)，也要學(xué)幾何，更要在代數(shù)和幾何之間建立一座橋梁 隨著時(shí)代的變遷，高等代數(shù)的教學(xué)內(nèi)容和方式也在不斷的發(fā)展。 最后，代數(shù)和幾何之間存在一座橋梁，這就是代數(shù)和幾何之間的轉(zhuǎn)換語言。 要學(xué)好高等代數(shù)，學(xué)好教材是最低的要求。 我想這主要是因?yàn)槲覀儽恢袑W(xué)的數(shù)學(xué)束縛太久，習(xí)慣了 “ 計(jì)算式 ” 的數(shù)學(xué)。 ” (出自微信公眾號：中國科學(xué)院數(shù)學(xué)與系統(tǒng)科學(xué)研究院 — 數(shù)學(xué)是什么 ?)所以，從高中到大學(xué)，所學(xué)的數(shù)學(xué)，內(nèi)容上可以說是有了質(zhì)的提升和深化。一切學(xué)習(xí)，都是從模仿開始的，根據(jù)書上定理或者例題的證明思路，要學(xué)著去嘗試證明別的題。其思維方式與以前學(xué)的數(shù)學(xué)迥然不同，概念更加抽象，偏重思辨與證明。三者之間有著密切的聯(lián)系 !它們 可以互為工具，在今后的學(xué)習(xí)中，你們只要緊緊抓住三者之間的聯(lián)系，學(xué)習(xí)就有了主線了。再進(jìn)一步說吧：中學(xué)解方程組，有一個(gè)原則，就是一個(gè)方程解一個(gè)未知量。方程組將等號和運(yùn)算除去，就是一個(gè)矩陣 !你們說它們是不是聯(lián)系緊密 ?大家可不要小看這三問，我認(rèn)為它們可以作為學(xué)習(xí)上學(xué)期高代的提綱挈領(lǐng)。比如上學(xué)期學(xué)的數(shù)域上的多項(xiàng)式構(gòu)成的線性空間。經(jīng)研究，發(fā)現(xiàn)若能轉(zhuǎn)成對角型的話，那么對角型上的元素是這樣變換 (稱相似變換 )的不變量，這個(gè)不變量很重要，稱為變換的 “ 特征值 ” 。說到這里，大家對高代有了宏觀的認(rèn)識了。雖然也叫做加法或乘法，但是關(guān)于書的基本運(yùn)算定律，有時(shí)不再保持有效 。多項(xiàng)式的整除性質(zhì)對于解代數(shù)方程是很有用的。 行列式有一定的計(jì)算規(guī)則，利用行列式可以把一個(gè)線性方程組的解表示成公式，因此行列式是解線性方程組的工具。這些量具有和數(shù)相類似的運(yùn)算特點(diǎn)，不過研究的方法和運(yùn)算的方法都更加繁瑣。隨著時(shí)間的推移，伽羅華的研究成果的重 要意義愈來愈為人們認(rèn)識。 其次，代數(shù)學(xué)除了對物理，化學(xué)等學(xué)科有直接的實(shí)踐意義，就數(shù)學(xué)本身來說，代數(shù)學(xué)也有重要的地位。相互 “ 平行 ” 的幾個(gè)一次齊次多項(xiàng)式組成的方程 (條件獨(dú)立 )不就是線性方程組嗎 ?相互 “ 相交 ” 的不就是多項(xiàng)式環(huán) (幾個(gè)多項(xiàng)式依賴于乘法結(jié)合 )?相互 “ 重合 ”的不就是重因式嗎 ?(重合可以看做相交的特殊情況，就是有解的情況下有無窮解，所以劃到多項(xiàng)式環(huán)一點(diǎn)問題沒有 ) 所以，國內(nèi)較為常見的打開思路是要么先講一元多項(xiàng)式環(huán) (或者多項(xiàng)式環(huán) )，以張賢科先生《高等代數(shù)學(xué)》和孟道驥先生《高等代數(shù)與解析幾何》的書為例 。原因有以下幾點(diǎn)： 第一，不僅結(jié)構(gòu)相對清晰，而且思路敘述相對完備。之后的第十章討論了具有度量的線性空間，并不限于實(shí)數(shù)域 與復(fù)數(shù)域，還推廣到了一般域 (通常這個(gè)域的特征不為 2)的情況，敘述正交空間與辛空間，這其實(shí)對于矢量與場論分析基礎(chǔ)有幫助，這個(gè)是很好的，也幫助讀者更好認(rèn)識從實(shí)數(shù)域、經(jīng)過復(fù)數(shù)域再到一般數(shù)域，因?yàn)檎ㄐ赃@一關(guān)鍵 (不然就沒有辦法定義內(nèi)積 )而不斷放低條件的過程。進(jìn)行應(yīng)用和推廣時(shí)應(yīng)注意什么。有了基才有坐標(biāo)的意義，度量才有了意義。比如，我做一個(gè)極分解，結(jié)果相當(dāng)于做第一類正交變換和仿射變換這說明我作用這個(gè)矩陣可以得到這樣的效果 (類比于經(jīng)典力學(xué)中曲線運(yùn)動，我將力分解為切向力和法向力，每個(gè)分力都要承擔(dān)效果的 )。李老師的聲音洪亮，每每講到精彩之處，手臂就隨之舞動，很富有感染力。按照李老師個(gè)人的說法這個(gè)主張是繼承于華羅庚大師對于數(shù)學(xué)問題的中的一個(gè)看法。在 17 號下午的交流中，我有幸得知李老師的一些經(jīng)歷。感謝班主任、班長和中心人員的熱心細(xì)致周到的服務(wù)。關(guān)鍵是在筆記上一定要有自己對每一章知識的總結(jié)，類似于一個(gè)提綱， (有時(shí)老師或參考書上有，可以參考 )，最好還有各種題型 +方法 +易錯(cuò)點(diǎn)。 基本常識就是高中時(shí)老師常說的 “ 準(zhǔn)定理 ” ，就是書上沒有，在習(xí)題中我們總結(jié)的可以當(dāng)定理或推論用的東西，還有一些自己小小的經(jīng)驗(yàn)。就是打比方 ,比如把一個(gè)二元函數(shù)的圖形想成鄰家女孩的頭上的草帽。通過這學(xué)期對現(xiàn)代數(shù)學(xué)與中學(xué)教學(xué)課程的學(xué)習(xí)，我不僅對中學(xué)的課程內(nèi)容有了更深刻的理解，對中學(xué)教學(xué)方法有了更進(jìn)一步改進(jìn)，還更新了舊的教學(xué)觀念和教學(xué)思想，相信這些都是對我今后成長為一個(gè)好老師的寶貴指導(dǎo)思想。 首先我認(rèn)為：現(xiàn)代數(shù)學(xué)與中學(xué)數(shù)學(xué)在知識聯(lián)系上是非常緊密的。數(shù)學(xué)思想和數(shù)學(xué)方法是人類思維的結(jié)晶，它們支配者數(shù)學(xué)的實(shí)踐活動，因此在今后的教學(xué)之路上，我不僅要做好知識的教導(dǎo)者，激發(fā)學(xué)生對數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)興趣，更要幫助學(xué)生們建立正確的數(shù)學(xué)思想和數(shù)學(xué)方法，為他們今后在數(shù)學(xué)求知路上的進(jìn)一步飛躍奠定堅(jiān)實(shí)的知識基礎(chǔ)。 二、數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)是整體的認(rèn)知過程。學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)也可以看成是數(shù)學(xué)知識結(jié)構(gòu)轉(zhuǎn)化成學(xué)生認(rèn)知結(jié)構(gòu)的過程。教師要把握例題之間本質(zhì)的聯(lián)系，站在一個(gè)較高的層 次上用現(xiàn)代數(shù)學(xué)的觀念去審視和處理教材，向?qū)W生傳遞一個(gè)完整的數(shù)學(xué)思想，幫助學(xué)生建立一個(gè)融會貫通的數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)。幾乎所有的線性代數(shù)教材在介紹行列式時(shí)都是通過解二元及三元一次線性方程組而引入的，曾經(jīng)有一個(gè)學(xué)生課后驗(yàn)證四元一次線性方程組后跟我說和行列式不符。但是李老師的數(shù)形結(jié)合、深入淺出、由幾何到代數(shù)的思想?yún)s是培訓(xùn)留給我的最大的財(cái)富，使我對如何教好學(xué)生有了更深的體會。我會以這次培訓(xùn)為契機(jī)，認(rèn)真總結(jié)并學(xué)習(xí)兩位老師的教學(xué)思想和理念，并將之貫穿于今后的教學(xué)中，努力鉆研教材，盡可能從各個(gè)角度各個(gè)側(cè)面理解課程內(nèi)容，力求融會貫通；并站在學(xué)生的角度思考問題，學(xué)會引導(dǎo)和啟發(fā)學(xué)生，讓學(xué)生們在學(xué)會知識的同時(shí)，更學(xué)會提 出問題、思考問題和解決問題的能力，從而達(dá)到更好的教學(xué)效果。但是在具體講課時(shí)，如果按照書上順序，學(xué)生就會很被動的接受。第二，即使解出系數(shù)行列式，也很難觀察 歸納總結(jié)出一般規(guī)律。所以說教師整體把握教材、駕馭教材對教學(xué)有著至關(guān)重要的影響。 數(shù)學(xué)教材是根據(jù)《教學(xué)大綱 》以及《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》所規(guī)定的知識內(nèi)容和要求來編寫成的，它反映出黨和國家對于學(xué)生學(xué)習(xí)該學(xué)科知識時(shí)所要求的深度和廣度。當(dāng)學(xué)生開始把數(shù)學(xué)看成一個(gè)緊密聯(lián)系的整體時(shí)，他們應(yīng)被鼓勵(lì)尋找聯(lián)系以幫助他們理解和解決問題。在實(shí)施新課程改革的前景下，小學(xué)階段 “ 數(shù)與代數(shù) ” 的內(nèi)容無論是從內(nèi)容的取材上還是從結(jié)構(gòu)的編排上都比較貼近實(shí)際生活，為更好的培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)感打下了堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)。可以看到現(xiàn)代數(shù)學(xué)和初等數(shù)學(xué)在很多知識點(diǎn)方面都存在著聯(lián)系：第一，中學(xué)代數(shù)給出了多項(xiàng)式因式分解的常用方法，高等代數(shù)首先用不可約多項(xiàng)式的嚴(yán)格定義解釋了不可再分的含義，接著給出了不可約多項(xiàng)式的性質(zhì)、因式分解定理及不可約多項(xiàng)式在三種數(shù)域上的判定； 第二，中學(xué)代數(shù)講二元一次、三元一次方程組的消元解法，高等代數(shù)講線性方程組的行列式解法，矩陣消元解法，講線性方程組解的判定及解與解之間的關(guān)系；此外，我認(rèn)為現(xiàn)代數(shù)學(xué)與中學(xué)數(shù)學(xué)具有思想上的統(tǒng)一性。在這個(gè)過程中，我們每個(gè)人都能發(fā)表自己意見，在不同意見的交流融合中，會有很多在教學(xué)內(nèi)容上的奇思妙想。比如把二元函數(shù)跟一元函數(shù)類比，泰勒公式想成二次函數(shù)，好理解。 題型都明白了，比如各種極限的求法。 (其實(shí)我是從來不聽課的，除非習(xí)題課 )，聽不懂不要緊，很多大學(xué)的課程都是靠課下結(jié)合老師的筆記自己重新看。 高等代數(shù)學(xué)習(xí)精選心得篇 12 高等數(shù) 2113學(xué)與高中數(shù)學(xué)相比有很大的不同，內(nèi) 5261 容上主要是引進(jìn)了一些 4102全新的數(shù)學(xué)思想，特別是無限分 1653割逐步逼近，極限等 。他一向認(rèn)為，成功總是發(fā)生在有準(zhǔn)備的人身 上。我個(gè)人覺得是李老師在用心講課。幾則 “ 數(shù)學(xué)聊齋 ” 不僅深深地吸引了聽眾的注意力，更啟發(fā)了對其背后的數(shù)學(xué)思想的深層次的思考；貫穿于講課始終的 `金庸小說片斷，不單單活躍了課堂也道出了許多做人的體會。秩的概念的本質(zhì)就是向量集合的最小的生成元集中元素的個(gè)數(shù)，最小多項(xiàng)式更是如此 (次數(shù)最低的零化多項(xiàng)式 )。我所指的基，可不僅僅指線性空間中的基，還有多項(xiàng)式環(huán)中的不可約多項(xiàng)式 (這往往倒是無限多的 )，不可約多項(xiàng)式和線性空間的基看似是不同的概念，卻都是構(gòu)筑相應(yīng)結(jié)構(gòu) (基域上多項(xiàng)式環(huán)和基域上有限維線性空間 )的 “ 磚石 ” 。當(dāng)然針對于代數(shù)，我也有其他的一些想法與認(rèn)識， (敲黑板 )，以下是學(xué)習(xí)代數(shù)時(shí)應(yīng)該注意的想法和方式： 第一，注意有限與無限的區(qū)別。表明所學(xué)的意義和用法，這一點(diǎn)也非常重要。我本人也曾用他的教材授過一次課，跳過完全沒問題，一個(gè)跳過去完全不影響以后發(fā)展的章節(jié)說明其在結(jié)構(gòu)上是贅余的，所以說是敗筆 )第三章通過 n維 向量空間作為腳手架來解決解的結(jié)構(gòu)問題，接著引出矩陣 (系數(shù)矩陣 )的表示方法，引出矩陣解法。姚慕生老師的書《高等代數(shù)學(xué)》開篇就是行列式，按照個(gè)人觀點(diǎn)來看其實(shí)有問題的。 學(xué)習(xí)高等代數(shù)，學(xué)習(xí)它的理論十分重要，但學(xué)習(xí)它的同時(shí)潛心領(lǐng)悟它光輝奪目的數(shù)學(xué)思想則尤