232等比數(shù)列的前n項和(二)學案人教b版必修5(編輯修改稿)
2024-12-24 15:45 本頁面
【文章內容簡介】 ，根據(jù)規(guī)劃 ， 本年度投入 800 萬元 ， 以后每年投入比上年減少 15， 本年度當?shù)芈糜螛I(yè)收入估計為 400 萬元 ， 由于該項建設對旅游業(yè)的促進作用 ， 預計今后的旅游業(yè)收入每年 會比上年增加14. (1)設 n 年內 (本年度為第一年 )總投入為 an萬元 ， 旅游業(yè)總收入為 bn萬元 ， 寫出 an， bn的表達式 ； (2)至少經(jīng)過多少年旅游業(yè)的總收入才能超過總投入 ？ 2． 等比數(shù)列的前 n項和 (二 ) 知識梳理 ?1－ qn?1－ q a1－ anq1－ q na1 2． )(1)等比 (3)q 3. a1q－ 1 自主探究 證明 ∵ a≠ 0， b≠ 0， a≠ b， ∴ ba≠ 1. ∴ 左端＝ an＋ an－ 1b＋ an－ 2b2＋ … ＋ bn ＝ an?? ??1＋ ba＋ ?? ??ba 2＋ … ＋ ?? ??ba n ＝an?? ??1－ ?? ??ba n＋ 11－ ba＝an＋ 1?? ??1－ ?? ??ba n＋ 1a－ b ＝an＋ 1－ bn＋ 1a－ b ＝右端 ． ∴ an＋ an－ 1b＋ an－ 2b2＋ … ＋ bn＝ an＋ 1－ bn＋ 1a－ b . 對點講練 例 1 證明 設 {an}的公比為 q，由題設知 a10， q0， 當 q＝ 1 時， Sn＝ na1，從而 SnSn＋ 2－ S2n＋ 1 ＝ na1( n＋ 2)a1－ (n＋ 1)2a21＝－ a210. 當 q≠ 1 時， Sn＝ a1?1－ qn?1－ q ， 從而 SnSn＋ 2－ S2n＋ 1 ＝ a21?1－ qn??1－ qn＋ 2??1－ q?2 －a21?1－ qn＋ 1?2?1－ q?2 ＝－ a21qn0. 綜上知， SnSn＋ 2S2n＋ 1， ∴ (SnSn＋ 2)＋ 1. 即 ＋ ＋ 22 ＋ 1. 變式訓練 1 證明 方法一 設此等比數(shù)列的公比為 q，首項為 a1， 當 q＝ 1 時，則 Sn＝ na1， S2n＝ 2na1， S3n＝ 3na1， S2n＋ S22n＝ n2a21＋ 4n2a21＝ 5n2a21， Sn(S2n＋ S3n)＝ na1(2na1＋ 3na1)＝ 5n2a21， ∴ S2n＋ S22n＝ Sn(S2n＋ S3n)． 當 q≠ 1 時，則 Sn＝ a11－ q(1－ qn)， S2n＝ a11－ q(1－ q2n)， S3n＝ a11－ q(1－ q3n)， ∴ S2n＋ S22n＝ ?? ??a11－ q 2[(1－ qn)2＋ (1－ q2n)2] ＝ ?? ??a11－ q 2(1－ qn)2(2＋ 2qn＋ q2n)． 又 Sn(S2n＋ S3n)＝ ?? ??a11－ q 2(1－ qn)2(2＋ 2qn＋ q2n)， ∴ S2n＋ S22n＝ Sn(S2n＋ S3n)． 方法二 根據(jù)等比數(shù)列性質， 有 S2n＝ Sn＋ qnSn＝ Sn(1＋ qn)， S3n＝ Sn＋ qnSn＋ q2nSn， ∴ S2n＋ S22n＝ S2n＋ [Sn(1＋ qn)]2＝ S2n(2＋ 2qn＋ q2n)， Sn(S2n＋ S3n)＝ S2n(2＋ 2qn＋ q2n)．
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