【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 計(jì)過(guò)程的重中之重。 (3)硬件或軟件實(shí)現(xiàn)。上兩步的結(jié)果是得到以差分或系統(tǒng)函數(shù)或沖激響應(yīng)描述的濾波器 ，根據(jù)這個(gè)描述就可以用硬件或在計(jì)算機(jī)上用軟件來(lái)實(shí)現(xiàn)它。 下面闡述 如何用 MATLAB 設(shè)計(jì)、實(shí)現(xiàn)、分析數(shù)字濾波器。 IIR 濾波器的設(shè)計(jì)及 MATLAB 實(shí)現(xiàn) 設(shè)計(jì) IIR 數(shù)字濾波器有兩大類方法：一是模擬 數(shù)字轉(zhuǎn)換法，先設(shè)計(jì)符合要求的模擬濾波器，然后轉(zhuǎn)換成數(shù)字濾波器，這種方法簡(jiǎn)單、方便、準(zhǔn)確，但它大多只能用來(lái)設(shè)計(jì)低通、高通等選頻濾波器；二是直接設(shè)計(jì)法，這是一種最優(yōu)化設(shè)計(jì)方法，它先確定一個(gè)最佳準(zhǔn)則，然后求得在該準(zhǔn)則下的濾波器的系統(tǒng)函數(shù)的系數(shù)。 數(shù)字高通、帶通及帶阻濾波器的設(shè)計(jì)概述 實(shí)際中通常要求的濾波器是低通、高通、帶通、帶阻數(shù)字濾波器，這些濾波器可以通過(guò)模 擬的原型濾波器或數(shù)字的原型濾波器頻率轉(zhuǎn)換得到，所有的數(shù)字濾波器都可以通過(guò)直接法進(jìn)行設(shè)計(jì)，也可以通過(guò)優(yōu)化的方法得到。 概括來(lái)說(shuō)，數(shù)字高通、帶通、帶阻以及低通濾波器的設(shè)計(jì)方法有 3 種，它們分別是：IIR 數(shù)字濾波器的原型轉(zhuǎn)換法、 IIR 數(shù)字濾波器的直接設(shè)計(jì)法、 IIR 的優(yōu)化設(shè)計(jì)法。由于這些方法的具體設(shè)計(jì)、實(shí)現(xiàn)有點(diǎn)繁瑣復(fù)雜，這里不作詳細(xì)討論，僅概述其原理及轉(zhuǎn)換方法。 (1)IIR 數(shù)字濾波器的原型轉(zhuǎn)換法。所謂原型濾波器是指歸一化的低通濾波器。如果數(shù)字濾波器由模擬低通濾波器轉(zhuǎn)換得到，則可能有 3 種方法：一是首先由模擬低 通濾波器轉(zhuǎn)換成數(shù)字濾波器，然后再用變量代換轉(zhuǎn)換成所需的濾波器；二是由模擬低通濾波器轉(zhuǎn)化成所需的模擬濾波器，然后再把它轉(zhuǎn)換成數(shù)字濾波器；三是由模擬低通濾波器直接基于 MATLAB數(shù)字濾波器系統(tǒng)的設(shè)計(jì) 轉(zhuǎn)換成所需的數(shù)字濾波器。 (2)IIR 數(shù)字濾波器的直接設(shè)計(jì)法。利用直接法設(shè)計(jì) IIR 數(shù)字濾波器可以在時(shí)域或頻域上進(jìn)行。在頻域進(jìn)行直接設(shè)計(jì)，目前有 3 種方法： Z 平面的簡(jiǎn)單零極點(diǎn)法、幅度平方函數(shù)法、頻域優(yōu)化設(shè)計(jì)法。在時(shí)域進(jìn)行直接設(shè)計(jì)，目前有 2 種方法：博德逼近法和最小平方逆優(yōu)化法。 利用 MATLAB 直接設(shè)計(jì) IIR 數(shù)字濾波器 通?？梢岳?MATLAB 很方 便地設(shè)計(jì)出所需的濾波器，總體來(lái)說(shuō)， MATLAB 一共有 4 種設(shè)計(jì) IIR 濾波器的方法，它們是模擬原型法、直接法、參數(shù)模型法和通用巴特沃斯法。在這一節(jié)中將介紹和分析 MATLAB 中模擬原型法中的 butterworth、 chebycheby ellip 等方法以及 yulewalk 法。 一 . 巴特沃斯數(shù)字濾波器設(shè)計(jì) 在 MATLAB 中，可以利用 butter 函數(shù)設(shè)計(jì)各種形式的數(shù)字濾波器（也可以設(shè)計(jì)模擬濾波器），它的語(yǔ)法為： [b,a]=butter(n,Wn) [b,a]=butter(n,Wn,’ftype’) [z,p,k]=butter(n,Wn) [z,p,k]=butter(n,Wn,’ftype’) [A,B,C,D]=butter(n,Wn) [A,B,C,D]=butter(n,Wn,’ftype’) butter 函數(shù)可以設(shè)計(jì)低通、高通、帶通和帶阻等各種形式的濾波器， butterworth 濾波器的幅度特性是通帶平坦、阻帶單調(diào)下降。但是 chebyshev 濾波器和橢圓濾波器在滿足相同的設(shè)計(jì)要求下，濾波器的階數(shù)一般比 butterworth 低。 利用 [b,a]=butter(n,Wn)方式可以設(shè)計(jì) 一個(gè)階數(shù)為 n、截止頻率為 Wn 的低 通濾波器。其返回值 a 和 b 為系統(tǒng)函數(shù)的分子和分母的系數(shù)。系統(tǒng)函數(shù)可以表示為： H(z)=B(z)/A(z)= ? ? ? ? ? ?? ? ? ?nnznaza znbzbb ???????? ???? 121 121 11? ? 截止頻率 wn是指濾波器的半功率點(diǎn)，它的取值范圍在 0 到 1 之間，其中 1 對(duì)應(yīng)為采樣頻率的一半。如果 wn是一個(gè)含有兩個(gè)元素的向量 [w1 w2]，則返回的 [a b]所構(gòu)成的濾波器是階數(shù)為 2n 的帶通濾波器，通帶范圍為 w1ww2。 利用 [b,a]=butter(n,Wn,’ftype’)方式可以設(shè)計(jì)高通、帶阻濾波器，其中參數(shù) ftype 的形式確定了濾波器的形式。當(dāng)它為‘ high’時(shí)，得到的濾波器是 n 階的、截止頻率為 Wn 的華北科技學(xué)院畢業(yè)設(shè)計(jì) 高通濾波器；當(dāng)它為 ’stop’ 時(shí)，得到的濾波器是階數(shù)為 2n、阻帶范圍為 w1ww2 的帶阻濾波器。 利用返回值數(shù)目的不同可以得到濾波器的其他表達(dá)形式，例如，如果返回 值的數(shù)目是 3 個(gè)，得到的返回值分別是濾波器的零點(diǎn)、極點(diǎn)和增益。函數(shù)的參數(shù)和前面的形式相同，具體的語(yǔ)法形式為： [z,p,k]=butter(n,Wn) 或 [z,p,k]=butter(n,Wn,’ftype’) 如果返回值的數(shù)目有 4 個(gè)，就可以得到濾波器的狀態(tài)空間表達(dá)式，具體的 語(yǔ)法形式如下： [A,B,C,D]=butter(n,Wn) 或 [A,B,C,D]=butter(n,Wn,’ftype’) 可以利用返回值 A， B， C， D 構(gòu)造濾波器的狀態(tài)方程： x(n+1)=Ax(n)+Bu(n) y(n)=Cx(n)+Du(n) 其中 U 是輸入信號(hào)， X 是狀態(tài)變量， Y 是輸出信號(hào)。 Eg1. 對(duì)于采樣頻率為 1000Hz 的采樣信號(hào)，設(shè)計(jì)一 個(gè)階數(shù)為 9 階、截止頻率為300Hz 的高通 butterworth 數(shù)字濾波器。 解：程序如下： [b,a]=butter(9,300/500,39。high39。)。 freqz(b,a,128,1000)。 由 MATLAB 程序執(zhí)行：得到數(shù)字濾波器分子和分母的系數(shù)，從而可以得到濾波器的幅頻和相頻響應(yīng)，如下圖所示。 b = a = 此濾波器的系統(tǒng)函數(shù)為： H(z)=B(z)/A(z)= ? ? ? ? ? ?? ? ? ?nnznaza znbzbb ???????? ???? 121 121 11? ? 代入即可。 基于 MATLAB數(shù)字濾波器系統(tǒng)的設(shè)計(jì) 圖 8. 高通濾波器的頻率特性 特性分析：由上圖可看出，所設(shè)計(jì)的濾波器符合要求的指標(biāo)，且在通帶范圍內(nèi)，濾波 器有非常平坦的幅頻特性，相頻特性雖然是非線性的，但也較平滑，這點(diǎn)和模擬巴特沃斯濾波器的特性類似。 Eg2. 設(shè)計(jì)一個(gè) 10 階的帶通 butterworth 濾波器，它的通帶范圍是 100 到 200Hz，并畫出它的沖激響應(yīng)。 解：程序如下： n=5。 wn=[100 200]/500。 [b,a]=butter(n,wn)。 freqz(b,a,128,1000)。 [y,t]=impz(b,a,101)。 stem(t,y)。 它的頻率響應(yīng)和沖激響應(yīng)如下圖所示 華北科技學(xué)院畢業(yè)設(shè)計(jì) 圖 9. 幅 、相頻響 由程序執(zhí)行直接可得： b = 0 0 0 0 0 a = 其系統(tǒng)函數(shù)為： H(z)=B(z)/A(z)= ? ? ? ? ? ?? ? ? ?nnznaza znbzbb ???????? ???? 121 121 11? ? 代入數(shù)據(jù)即可 基于 MATLAB數(shù)字濾波器系統(tǒng)的設(shè)計(jì) 圖 10. 沖激響應(yīng) 特性分析：上面的沖激響應(yīng)圖可以體現(xiàn)了 IIR 濾波器的特征，即它的單位取樣響應(yīng)是時(shí)寬無(wú)限的，而且可看出此系統(tǒng)是穩(wěn)定的，這點(diǎn)也可通過(guò)如下的零、極點(diǎn)分布得到證明。 MATLAB 程序如下： n=5。 wn=[100 200]/500。 [z,p,k]=butter(n,wn) 由此可直接得到返回值：可見(jiàn)其極點(diǎn)都是位于單位圓內(nèi)，符合穩(wěn)定的條件，因而此系統(tǒng)是 穩(wěn)定的。 z =1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 p = + + + + + k = 二 . 橢圓法濾波器設(shè)計(jì) 在 MATLAB 中，可以利用 ellip 函數(shù)直接設(shè)計(jì)各種形式的數(shù)字濾波器（也可以設(shè)計(jì)模擬濾波器），它的語(yǔ)法為： [b,a]=ellip(n,Rp,Rs,wn) [b,a]=ellip(n,Rp,Rs,wn,’ftype’) 華北科技學(xué)院畢業(yè)設(shè)計(jì) [z,p,k]=ellip(n,Rp,Rs,wn) [z,p,k]= ellip(n,Rp,Rs,wn,’ftype’) [A,B,C,D]= ellip(n,Rp,Rs,wn) [A,B,C,D]= ellip(n,Rp,Rs,wn,’ftype’) 實(shí)際上， ellip 函數(shù)是先采用橢圓法設(shè)計(jì)出低通的模擬濾波器，然后采用變換的方法得到數(shù)字的高通、低通、帶通和帶阻濾波器，所以稱之為 ellip 函數(shù)。在模擬濾波器的設(shè)計(jì)中，橢圓濾波器的設(shè)計(jì)是幾種濾波器設(shè)計(jì)方法中最為復(fù)雜的一種，但是它設(shè)計(jì)出來(lái)的濾波器階數(shù)最低，同時(shí)它對(duì)參數(shù)的量化靈敏度最敏感。 可以利用 [b,a]=ellip(n,Rp,Rs,wn)方式設(shè)計(jì)出階數(shù)為 n、截止頻率為 wn、通帶波紋最大衰 減為 Rp、阻帶波紋最小衰減為 Rs 的數(shù)字低通濾波器，它的返回 值 a、 b 分別是階數(shù)為 n+1 的向量，表示數(shù)字低通濾波器的系統(tǒng)函數(shù)的分子和分母的多項(xiàng)式的系數(shù)。濾波器的系統(tǒng)函數(shù)可以表示為： H(z)=B(z)/A(z)= ? ? ? ? ? ?? ? ? ?nnznaza znbzbb ???????? ???? 121 121 11? ? 函數(shù)的截止頻率 wn 是指通帶的邊緣，其取值范圍為 0 到 1，其中 1 表示采樣頻率的一半，在那兒濾波器的幅度響應(yīng)為 RpdB。濾波器的過(guò)渡帶寬取決于 3 個(gè)參數(shù) n、 Rp、 Rs，當(dāng) n 不變時(shí)， Rp 越小， Rs 越大，過(guò)渡帶就越寬。 如果 wn 是一個(gè)含有兩個(gè)元素的向量 [w1 w2]， 則 ellip 函數(shù)返回值是階數(shù)為 2n 的帶通濾波器的系統(tǒng)函數(shù)有理多項(xiàng)式的系數(shù)，濾波器的通帶范圍是 w1ww2。 可以利用 [b,a]=ellip(n,Rp,Rs,wn,’ftype’)方式設(shè)計(jì)高通和帶阻濾波器，其中參數(shù) ftype的形式確定了濾波器的形式。當(dāng)它為‘ high’時(shí)，得到的濾波器為 n 階的、截止頻率為wn的高通濾波器；當(dāng)它為‘ stop’時(shí)，得到的濾波器是階數(shù)為 2n的、阻帶范圍為 w1ww2的帶通濾波器。 利用返回值數(shù)目的不同可以得到濾波器的其他表達(dá)形式，例如，如果返回值是數(shù)目是 3 個(gè)， 得到的返回值分別是濾波器的零點(diǎn)、極點(diǎn)和增益，函數(shù)的參數(shù)和前面的形式相同，具體的語(yǔ)法形式為： [z,p,k]=ellip(n,Rp,Rs,wn) 或 [z,p,k]= ellip(n,Rp,Rs,wn,’ftype’) 如果返回值的數(shù)目為 4 個(gè)，就可以得到濾波器的狀態(tài)空間表達(dá)式，具體的語(yǔ)法方式為： [A,B,C,D]= ellip(n,Rp,Rs,wn) [A,B,C,D]= ellip(n,Rp,Rs,wn,’ftype’) 可以利用返回值 A， B， C， D 構(gòu)造濾波器的狀態(tài)方程： x(n+1)=Ax(n)+Bu(n) 基于 MATLAB數(shù)字濾波器系統(tǒng)的設(shè)計(jì) y(n)=Cx(n)+Du(n) 其中 U是輸入信號(hào)， X 是狀態(tài)變量， Y 是輸出信號(hào)。 Eg3. 對(duì)于采樣頻率為 1000Hz的采樣信號(hào)，設(shè)計(jì)一個(gè)階數(shù)為 6 階、截止頻率為 300Hz的低通 ellip 濾波器，其中濾波器在通帶的波紋為 3dB，在阻帶的波紋為 50dB。 解：程序如下： [b,a]=ellip(6,3,50,300/500)。 freqz(b,a,512,1000)。 從而得到濾波器的幅頻和相頻特性如下圖。 圖 11. b= a = 其系統(tǒng)函數(shù)為： H(z)=B(z)/A(z)= ? ? ? ? ? ?? ? ? ?nnznaza znbzbb ???????? ???? 121 121 11? ? 代入數(shù)據(jù)即可 特性分析：由上圖可見(jiàn)，此