【文章內(nèi)容簡介】 將響應(yīng)曲線從穩(wěn)態(tài)值的 10%上升到 90%所需的時間稱為上升時間）。 欠阻尼二階系統(tǒng)（ ），階躍響應(yīng)為： 根據(jù)定義， 時， 由式（ ），得 考慮 故有 令 得 o 2( t) 1 e c os si n1n tddx t t?? ????? ????? ? ????21 1 e ( c os si n ) ,1nrt d r d rtt?? ??? ??? ? ? ?d 2c os si n 0 。1r d rtt??? ????21.drtg t ?? ???e 0,nrt??? ?21,arc tg ?? ??? , 2 , 3 , ...drt? ? ? ? ? ? ?? ? ? ?01???( 0)t ?rtt?當(dāng) ( ) 1rxt? ?() tr 中原工學(xué)院 機(jī)電學(xué)院 因?yàn)樯仙龝r間 是 第一次到達(dá)輸出穩(wěn)態(tài)值的時間，故取 即 由關(guān)系式 ，當(dāng) 增大， 就增大。 ,drt? ? ???.r dt?????21dn? ? ?? rtrt()xt?() tp 響應(yīng)曲線達(dá)到第一個峰值所需的時間定義為峰值時間，將式（ ）對時間 t求導(dǎo)數(shù)，并令其為零，便可求得峰值時間即由 () 0pttdx tdt???si n 0dpt? ? 0 , , 2 ,dpt? ? ?整理得 因此 dpt???p dt???() 由定義取 因此 中原工學(xué)院 機(jī)電學(xué)院 因?yàn)樽畲蟪{(diào)量發(fā)生在峰值時間， 時，故將式（ ）與 代入式（ ），可求得： 可見峰值時間是有阻尼振蕩周期 的一半，另外，由關(guān)系式 及式（ ）可知 :當(dāng) ξ一定時， 增大， 就減小 。當(dāng) 一定時， ξ增大， 就增大，此情況與 的相同。 2/d?? 21dn? ? ???n?pt n?ptrt Mp 最大超調(diào)量定義，即 ( ) ( ) 100 % .16()ppx t xMx?? ?????/pdtt ????( ) 1x? ??() 2/2/1e c os si n 100%1: e 100% ndppMM? ? ? ?? ? ????????????? ? ? ????? ? ?即中原工學(xué)院 機(jī)電學(xué)院 式中， 為指定微小量，一般取 。式 ()表明 , 在 之后，系統(tǒng)的輸出不會超過下述允許范圍： 超調(diào)量 只與阻尼比 ξ有關(guān)，而與無阻尼固有頻率 無關(guān)。所以， 的大小說明系統(tǒng)的阻尼特性。當(dāng)系統(tǒng)阻尼比 ξ確定后 ,即可求得與其相對的超調(diào)量 ；反之 ,如果給出了系統(tǒng)所要求的 ，也可由此確定相應(yīng)的阻尼比 . 當(dāng) ξ =～ , 相應(yīng)的超調(diào)量 。 pM n?p pMpM 25% ~ %p ?4. 調(diào)整時間 ts 在過渡過程中， 取的值滿足下面不等式時所需的時間，定義為調(diào)整時間 。 )(txost不等式為 ()( ) ( ) xx t x?? ???? ? ? ??)( stt ? () 0. 02 ~ 0. 05??stt?)()()()()( ?????????? ooooo xxtxxx ?? )( stt ?中原工學(xué)院 機(jī)電學(xué)院 由于 所表示的曲線是式（ ）所描述的減幅正弦曲線的包絡(luò)線，因此，可將由式（ ）所表達(dá)的條件改為： 解得 221e si n .201n td t arc tg?? ????? ?? ???? ? ?? ??e1nt????? ?2e1n t???????將式（ ）代入式（ ），得 又因此時 因此 ( ) 1,x? ????? 1)(tx o() () ????21 ??? tne)( stt?211ln1??? ?? ?nst() 中原工學(xué)院 機(jī)電學(xué)院 若取 得 若取 得 當(dāng) 時，可分別將式（ ）和式（ ）近似取為： 與 ξ之間的精確關(guān)系，可由式（ ）求得， 為最?。划?dāng) 為最小，在設(shè)計(jì)二階系統(tǒng)時 ,一般取 作為最佳阻尼比。此時不僅 小，而且起調(diào)量 也不大，取 的另一理由將在 。 21411 ,snnt ?????? 21311.snnt?????4 。snt ??? 3 .snt ???,??,??0 ???st ?? , st? ? ??,? ?st 7? ?st pM 7（ ） （ ） st中原工學(xué)院 機(jī)電學(xué)院 具體設(shè)計(jì)： 根據(jù)最大超調(diào)量 的要求，確定阻尼 ξ，所以調(diào)整時間 主要是根據(jù)系統(tǒng)的 來確定的。 由此可見，二階系統(tǒng)的特征參數(shù) 決定系統(tǒng)的調(diào)整時間 和最大超調(diào)量 ；反過來，根據(jù)對 的要求，也能確定二階系統(tǒng)的特征參數(shù) 。 pM stn?n??和 stPM sptM和,n??st中原工學(xué)院 機(jī)電學(xué)院 在過渡過程時間 內(nèi)， 穿越其穩(wěn)態(tài)值 的次數(shù)的一半定義為振蕩次數(shù)，從式（ ）可知，系統(tǒng)的振蕩周期是 所以其振蕩次數(shù)為： 因此，當(dāng) 時，由 與 ，得 當(dāng) 時，由 與 ，得 從式（ ）和式（ ）可以看出，振蕩次數(shù) N隨著 ξ的增大而 減小，它的大小直接反映了系統(tǒng)的阻尼特性。 2/sdtN???0 stt??()xt? ()x? ?2 / ,d??0 , 5?? ? ? ?（ ） （ ） 4. 振蕩次數(shù) N 21 ??? ?? , ??? ??21 ??? ?? nd)/(4 nst ???)/(3 nst ?????? ??N??? 212 ??N（ ） 中原工學(xué)院 機(jī)電學(xué)院 （ 1）要使二階系統(tǒng)具有滿意的動態(tài)性能指標(biāo)，必須選擇合適的阻尼比 ξ和無阻尼固有頻率 。提高 ，可以提高二階系統(tǒng)的響應(yīng)速度，減少上升時間 、峰值時間 和調(diào)整時間 ；增大 ξ，可以減弱系統(tǒng)的振蕩性能，降低 ，減小 N，但增加上升時間 和峰值時間 。 一般情況下，系統(tǒng)在欠阻尼狀態(tài) 下工作，通常根據(jù)允許的超調(diào)量來選擇阻尼比 ξ. （ 2）系統(tǒng)的響應(yīng)速度與振蕩性能（穩(wěn)定性）之間是存在矛盾的。要兼顧系統(tǒng)的振蕩性能和響應(yīng)速度，就要選取合適的 ξ和 值。 n?n? rtpt stpMrt pt(0 1)???n?由以上討論 ， 可得如下結(jié)論： 中原工學(xué)院 機(jī)電學(xué)院 【 例 1】 設(shè)系統(tǒng)的方框圖為圖 ，其中 ， 。當(dāng)有一單位階躍信號作用于系統(tǒng)時，求其性能指標(biāo) 和 。 二階系統(tǒng)計(jì)算舉例 ?? 15 ?? sn?pp Mt 、 st解 （ 1）求 。 pt 12 41 ???? snd ???故由式（ ），得 stdp ?? ??（ 2）求 。由式（ ）得 pM%%1 0 021/ ??? ?? ???eM p（ 3）求 。由式（ ）與式（ ）的近似式，得 st?????????????)(4)(13??ststnsns????)2(2nnss ????)( sX i )( sX o)( sE+圖 例 1框圖 中原工學(xué)院 機(jī)電學(xué)院 解 由圖 (a)可知， 是階躍力輸入， ＝ ， 是輸出位移。由圖 (b)可知系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)輸出 ＝ ， ＝， ，此系統(tǒng)的傳遞函數(shù)顯然為： 2 2() 11()()oiXsGsc s kX s m s c s k s mm? ? ??? ??()iNXss?()ixt( ) ( )o p ox t x??2pts?【 例 2】 如圖 (a) 所示的機(jī)械系統(tǒng) ,在質(zhì)量為 m的質(zhì)塊上施加 的階躍力后，質(zhì)塊的時間響應(yīng) 如圖 (b)所示，試求系統(tǒng)的 m、 k和 c值。 Ntxi )( ?)(txo ()ixt)(txo)(?ox式中： 中原工學(xué)院 機(jī)電學(xué)院 （ 1）求 k 。 由 Laplace變換的終值定理可知： 而 ＝ ，因此 k＝ 297N/m.。 其實(shí)，根據(jù) Hooker定律很容易直接計(jì)算 k。因?yàn)? 即為靜變形， 即可視為靜載荷，從而有 即得 020( ) l im ( ) l im ( )1 imo o otssx x t s X sNNsm s c s k s k? ? ??? ? ? ?? ? ? ???()ox ? ()ox ?ix ( ) ( )iox k x? ? ? ?( ) / ( ) 8. 9 / 0. 03 29 7 /iok x x N m N m? ? ? ? ?中原工學(xué)院 機(jī)電學(xué)院 （ 3）求 c 。 由 ，求得 （ 2）求 m。 由式（ ）得 又由式（ ）求得 。 將 代入 中，得 。 再由 求得 m＝ 。 29 100 % % ? ? ?? ? 2 , ??? 21p d nt??? ???? ? 6n s? ?? 2/nkm ?2/n cm?? ?18 1. 8 /c N s m??中原工學(xué)院 機(jī)電學(xué)院 【 例 3】 有一位置隨動系統(tǒng)，其方框圖為圖 (a)。當(dāng)系統(tǒng)輸入單位階躍函數(shù)時， 。 （ 1）校核該系統(tǒng)的各參數(shù)是否滿足要求； （ 2）在原系統(tǒng)中增加一微分負(fù)反饋，如圖 (b)所示，求微分反饋的時間常數(shù) 。 %5?pM?中原工學(xué)院 機(jī)電學(xué)院 解 (1) 將系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)寫成如式（ ）所示的標(biāo)準(zhǔn)型式： 對照式（ ），可知此二階系統(tǒng)的 和 。將 ξ值代入式（ ）得 但 ，故不能滿足本題要求。 22 2 250 () 50 2 s s s s?? ? ? ? ? ? ? 6?