【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 所有實(shí)際信號(hào)都有起點(diǎn)和終點(diǎn)，時(shí)寬 T在時(shí)域的作用和帶寬 B在頻域的作用相同。對(duì)于 0tT的信號(hào)，我們?nèi)粝Ｍ佬盘?hào)的能量分布，須對(duì)信號(hào)做傅里葉變換，即研究其頻率特性。 “頻率”是我們?cè)诠こ毯臀锢韺W(xué)乃至日常生活中最常用的技術(shù)術(shù)語(yǔ)之一。截至目前我們?cè)谛盘?hào)（平穩(wěn)信號(hào)）的分析和處理中，當(dāng)我們提到頻率時(shí)，指的是變換的參數(shù)頻率 f和角頻率 ω，它們與時(shí)間無(wú)關(guān)。然而對(duì)于非平穩(wěn)信號(hào)， 變換不再是合適的物理量。原因：非平穩(wěn)信號(hào)的頻率是隨時(shí)間變化的，所以不再簡(jiǎn)單地用變換做分析工具。因此需要提供能給出瞬時(shí)頻率的變換工具時(shí)頻分析。 變換 ? 分析和處理平穩(wěn)信號(hào)的最常用也是最主要的方法是分析。變換建立了信號(hào)從時(shí)（間）域到頻（率）域的變換橋梁，而反變換則建立了信號(hào)從頻域到時(shí)域的變換橋梁，這兩個(gè)域之間的變換為一對(duì)一的映射，如下式： ? ? ? ? 2j ftX f x t e dt?????? ?? ? ? ? 2j tfx t X f e df????? ?變換 變換從時(shí)域和頻域構(gòu)成了觀察一個(gè)信號(hào)的兩種方式。 變換的局限和算法上的不足： （ 1）變換是在整體上將信號(hào)分解為不同的頻率分量，而缺乏局域性信息。即它不能告訴我們某種頻率分量發(fā)生在哪些時(shí)間內(nèi)，而這對(duì)非平穩(wěn)信號(hào)是十分重要的。 為了分析和處理非平穩(wěn)信號(hào)，人們對(duì)分析進(jìn)行了推廣乃至根本性的革命，提出并發(fā)展了一系列新的信號(hào)分析理論：短時(shí)變換，分?jǐn)?shù)階變換、小波變換、變換等。 變換 變換 （ 2） 變換的基函數(shù)是復(fù)指形式，在計(jì)算時(shí)須進(jìn)行復(fù)乘和復(fù)加。 為解決這一問(wèn)題：在變換的基礎(chǔ)上提出了以下變換： 哈特萊變換（） 離散哈特萊變換 () 離散余弦變換 （） 離散余弦變換 （） 這些變換都與變換緊密相連，且變換的運(yùn)算均在實(shí)數(shù)域進(jìn)行。 變換 ?離散余弦變換（）是等人在 1974年提出的正交變換方法。它在性能上最接近最佳變換 ——變換，并且具有高效的快速算法。 ?在目前的多數(shù)圖像和視頻壓縮標(biāo)準(zhǔn)中都用到了技術(shù)。它常被認(rèn)為是對(duì)語(yǔ)音和圖像信號(hào)進(jìn)行變換的最佳方法 ,成為 、 等國(guó)際上公用的圖像壓縮編碼標(biāo)準(zhǔn)的重要環(huán)節(jié)。 變換 ?變換壓縮的主要思想是通過(guò)對(duì)圖像的變換使分散在各個(gè)像素上的能量集中在少數(shù)系數(shù)上，進(jìn)而甩掉零或近似于零的系數(shù)，以達(dá)到壓縮的目的。 ?在視頻壓縮中，采用變換編碼的主要特點(diǎn)有： （ 1）在變換域里視頻圖像要比空間域里簡(jiǎn)單。 （ 2）視頻圖像的相關(guān)性明顯下降，信號(hào)的能量主要集中在少數(shù)幾個(gè)變換系數(shù)上，可有效地壓縮其數(shù)據(jù)。 （ 3）具有較強(qiáng)的抗干擾能力，傳輸過(guò)程中的誤碼對(duì)圖像質(zhì)量的影響遠(yuǎn)小于預(yù)測(cè)編碼。通常 ,對(duì)高質(zhì)量的圖像，要求信道誤碼率 ，而變換編碼僅要求信道誤碼率 。 一維變換 ?1 的基為： ? ?? ?10, 0 1,212c os 1 1 , 0 12k n NNc k nnkk N n NNN?? ? ? ? ???? ???? ? ? ? ? ???? ? ? ? ? ?? ?? ? ? ?其 中 ： 對(duì) 于1021c os , 0 12120 , 1 1Nnnkv k k u n k NNk k NNN???????? ?? ? ? ?????? ? ? ? ?? 則正變換可表示為： ? ? ? ? ? ? ? ?1021c os , 0 12Nknku n k v k n NN?????? ?? ? ? ?????? 反變換可表示為： 特點(diǎn)： （ 1） 無(wú)虛數(shù)部分； （ 2） 正變換核與反變換核一樣 二維變換 ?2的基為： ? ? ? ? ? ?, 2 1 2 122, c os c os220 , 1 0 , 1klm k n lc m nN N N Nk l N m n N??? ? ? ???? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? 對(duì) 其 它11002 1 2 12, , , c os c os2210, 0 , , 12NNmnm k n lv k l d k l u m nN N Nd d k l????????????? 則正變換可表示為： ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?11002 1 2 12, , , c os c os22NNklm k n lu m n d k l v k lN N N????????? ?? 反變換可表示為： v(0) v(0,0) v(k,0) v(k,l) 變換基圖像 ? k、 l 為變換頻率； m, n 為空間座標(biāo) ? v() 為 系數(shù) 。 u() 原始圖象信號(hào) ? v(k, l) 中 v(0,0) 稱為直流系數(shù)，其它的稱為交流系數(shù)。 的矩陣算法 ? 一維離散余弦變換： V C U?正變換： TU C V?反變換： ? 二維離散余弦變換： TV C UC?正變換： 反變換： TU C V C?C 為離散余弦變換矩陣 ， 為 C 的轉(zhuǎn)置矩陣 的矩陣算法 ? 變換矩陣 C ： 當(dāng) 2 時(shí) ， 變換矩陣 C為： 當(dāng) 4 時(shí) ， 變換矩陣 C 為： 1 1 12 2 23 ( 2 1 )2 c o s c o s c o s2 2 2( 1 ) 3 ( 1 ) ( 1 )( 2 1 )c o s c o s c o s2 2 2 NNNA N N NNN N N NN N N? ? ?? ? ??????????? ? ? ???11223c o s c o s44A???????????1 1 1 12 2 2 23 5 7c o s c o s c o s c o s1 8 8 8 82 2 6 10 14c o s c o s c o s c o s8 8 8 83 9 15 21c o s c o s c o s c o s8 8 8 8A? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ????????????的矩陣算法 77001 ( 2 1 ) ( 2 1 )( , ) ( ) ( ) ( , ) c os c os4 16 16iji u j vF u v C u C v f i j ?????? ??? ??????77001 ( 2 1 ) ( 2 1 )( , ) ( ) ( ) ( , ) c os c os4 16 16uvi u j vF i j C u C v f u v??? ??? 變換使用下式計(jì)算 ? 逆變換使用下式計(jì)算 ( ) , ( ) = 1/ 2C u C v( ) , ( ) 1u C v ?當(dāng) 0； 其他 其中， 的矩陣算法舉例 已知： 139 144 149 153144 151 153 156( , )150 155 160 163159 161 162 160u m n?????????用矩陣算法求其。 ( , ) ( , )Tv k l C u m n C?? ?????????由此例可看出：將能量集中于頻率平面的左上角 。 139 144 149 153 144 151 153 156 0. 65 150 155 160 163 159 161 162 160 0. 27? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ??? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ? ? ??????的矩陣算法 ( , )f i j ( , )F u vDC T的矩陣算法 ? 舉例：對(duì)以下圖像塊進(jìn)行可分離的二維變換 2 3 4 71 5 2 82 4 9 32 7 1 4?????????4 5 8 1 9 2 4 7 1 ????????容易驗(yàn)證，該結(jié)果與直接使用二維變換式得到的結(jié)果是相同的。從中還可以看到，實(shí)數(shù)的原始圖像經(jīng)過(guò) 變換后得到的變換系數(shù)仍為實(shí)數(shù)，而且從前面 的定義可知， 正、反變換的基函數(shù)是一樣，這樣 處理就簡(jiǎn)單。 14 ( , )3 V k l??????? ? ????????解：二維是可分離的 ， 可先對(duì)各行進(jìn)行一維的行變換 ， 得到系數(shù)矩陣如下： 再進(jìn)行列變換 ， 最終的系數(shù)矩陣為： 的矩陣算法 ( , )f i j ( , )F u v( , )G i v垂直方向8 1 DCT水平方向8 1 DCT舉例 ?在變換域中，低頻系數(shù)的能量遠(yuǎn)大于高頻系數(shù)的能量，變換系數(shù)的相關(guān)性將大大去除。 系數(shù)的幅度分布 ?下圖是從自然圖象（ ) 得到的 8 8 系數(shù)幅度的直方圖。 ?直流 系數(shù)的分布類(lèi)似于原始圖像，一般是典型的均勻分布。 ?交流 系數(shù)的分布類(lèi)似于 W. . 2 . , 15(20):664{665, 1979 系數(shù)的量化 空域量化 . 變換域量化 ?原始序列為 ? x = [100, 110, 120,130, 140, 150, 160, 170] ? 8點(diǎn) 變換后的結(jié)果為： ? y = [, , 0, , 0, , 0, ] ? 能量主要集中在前兩個(gè)系數(shù) 7 電平的中平量化器 系數(shù)的量化 空域量化 . 變換域量化 ?方案 1：直接對(duì)原始數(shù)據(jù)進(jìn)行量化 ?方案 2：對(duì) 系數(shù)進(jìn)行量化 ?△ =6，量化后的 系數(shù)： [ 64 11 0 1 0 0 0 0] ?3 個(gè)非 0 系數(shù) : : : 系數(shù)的量化 空域量化 . 變換域量化 ?△ =20， 2 個(gè)非 0 系數(shù)： [19 3 0 0 0 0 0 0] ? 系數(shù)重構(gòu)效果仍然很平滑 ?直接方法開(kāi)始產(chǎn)生塊 效應(yīng) : : : 系數(shù)的量化 空域量化 . 變換域量化 ?△ =100， 2 個(gè)非 0 系數(shù)： [4 1 0 0 0 0 0 0] ? 系數(shù)重構(gòu)效果仍然平滑 ?直接方法產(chǎn)生的塊效應(yīng)更多 : : 1000 : 20