【正文】 的局限和算法上的不足： （ 1）變換是在整體上將信號分解為不同的頻率分量，而缺乏局域性信息。 變換 ? 分析和處理平穩(wěn)信號的最常用也是最主要的方法是分析。原因：非平穩(wěn)信號的頻率是隨時間變化的，所以不再簡單地用變換做分析工具。截至目前我們在信號（平穩(wěn)信號）的分析和處理中，當我們提到頻率時，指的是變換的參數(shù)頻率 f和角頻率 ω，它們與時間無關(guān)。對于 0tT的信號，我們?nèi)粝Ｍ佬盘柕哪芰糠植?，須對信號做傅里葉變換，即研究其頻率特性。 ?近似重構(gòu)的原向量： *2 ? ? 1 Tvu???? ? ? ???? ? ? ?? ? ? ?????? ? ? ?????? ? ? uv? ? ? ???? ? ? ?? ? ? ? ???? ? ? ????? ? ? ???? ? ? ??可以看到 u^ 和 u 有微小的差別，近似的均方誤差為 λ3 = ，也就是去掉的特征向量所對應(yīng)的特征值。 變換的特征－降維 ?忽略特征值較小的那些特征向量，從而減少 u 的維數(shù)。 ? v 的協(xié)方差矩陣 ， 協(xié)方差等于 0， 方差對角線按減序排列 ? 的變換系數(shù)是由互不相關(guān)的隨機變量組成的 ， 因此 ， 變換起到了去除變量間相關(guān)性的作用 。 中心化后圖象向量 變換的特征－去相關(guān) ?去相關(guān) —— 最佳的變換編碼 變換系數(shù) {v(k), 0,1,…1} 是不相關(guān)的，而且具有零均值，即： [ ( )] 0vm E v k??*1[( )( ) ]0()0Tv v vTukNR E v m v mRkl????? ? ?? ? ?????? ? ? ? ???????證明： * * ***[ ] { ( )} { }0T T Tv u uTTuum E v E u m E u mmm? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ?協(xié)方差矩陣 變換的特征－去相關(guān) ?經(jīng)過 變換后，所得的變換系數(shù) v 是一個平均向量為零的向量集，其坐標原點移到中心位置。 ?變換過程為：圖像隨機變量 u → 協(xié)方差矩陣 → 基核矢量 Φ*T。 ? 依賴信號統(tǒng)計特性，但很難實時計算視頻的統(tǒng)計特性； ? 基函數(shù)不是固定的，是隨圖像內(nèi)容改變的； ? 對圖象塊是不可分離； ?變換矩陣不能分解為稀疏矩陣。 ?最優(yōu)的正交變換：特征向量矩陣指向數(shù)據(jù)變化最大的方向，能夠達到最優(yōu)的能量集中。 變換編碼的選擇原則 ?變換編碼的種類 ?變換 ?離散傅立葉變換 ?離散正弦變換 ?離散余弦變換 ?哈達瑪變換 ? 變換 ? 變換 ? 變換 ?小波變換 ?去相關(guān)，能量集中（例如，、） ?計算復雜度低 232。 ? ? ? ?2201uu???? ? ? ?2 2 2 2330 1 1 122vv a? ? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? 從 可見： 即總能量相等的分布在 u(0) 及 u(1) 上 ? 從 可見： 2312231TvuR A R A?????????????????? 能量集中方面 ? V 的協(xié)方差： 酉變換特性 當 ρ= ， 說明： % 的能量集中在 V(0) ρV（ 0,1) = 0， 說明： V(0) 與 V(1) 不相關(guān) ? ?? ?22001 1 1 01 ,1 1 0 1 012vTvuvA R A R A ?? ? ????? ? ? ?? ? ? ? ??? ? ? ???? ? ? ? ??? ? ? ?220 1 1 1vv ,? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ?? ?2122201 /20, 1 | |01 314vvvE v v ?????? ???? ???? ? ???? 相關(guān)方面： u(0) 與 u(1) 間相關(guān)為 ρ ； v(0) 與 v(1) 間相關(guān)為： 若 ρ=，則 ρV = ρ，變換系數(shù)之間的相關(guān)性減弱。 ? ?? ?若 ， 則證 明 ：22122* * *012 2*0NT T TkNTnV A U V UV v k V V U A A UU U u n U??????? ? ? ?? ? ? ???? ? ? ?若 ：則 ：1 1 1 1220 0 0 0,TN N N Nm n k lV A UAu m n v k l? ? ? ?? ? ? ???? ? ? ?? 1 ? 2 酉變換特性－能量集中與變換系數(shù)方差 ?酉變換：能量轉(zhuǎn)到少數(shù)系數(shù)上，總能量不變 ? 變換前后平均能量相等： μu、 分別表示 U 矢量的均值和協(xié)方差 [ ] [ ] [ ]VUE V E A U A E U A???? ? ? ?****[( )( ) ]( [( )( ) ])TV V VTTUUTUR E V VA E U U AA R A????? ? ?? ? ??? 矩陣對角線元素給出變換系數(shù)方差 : ? ? ? ?2*, ,Tv v ukk kkk R A R A? ???? ??? ? ? ? 直 流 分 量1122* * *00NN T T Tv v v u u uknk A A n? ? ? ? ? ?????? ? ? ???? ? ? ? ? ? 平 均 能 量2 * 2Tv u u uk Tr A R A Tr R n????? ? ? ???? ? ? ?112200nkE u n E v k? ? ? ??? ? ? ?? ? ? ?最后得： 矩陣的跡 ， 矩陣對角線上元素的總和 。變換系數(shù)就是其對應(yīng)的基圖象在求和時所乘的系數(shù)。由于基函數(shù)是正交的，則這個信號對應(yīng)于其它的基函數(shù)將產(chǎn)生較少的系數(shù)。 N N N N象素塊 行方向 N變換 列方向 N變換 x A x A x AT ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ?? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? VAUlkvlnankuUAUnkunmumkaT ????????????,mnk mkn lnlkkn正交基分解 ? ? ? ?1 1 1 1* * *0 0 0 0,N N N NTk l klk l k lU v k l a a v k l A? ? ? ?? ? ? ???? ? ? ? [A* ] 表示基圖象 a*k 表示 [A* ] 的第 k 行 a*l 表示 [A* ] 的第 l 列 正交基分解 ?應(yīng)用：信息傳送原理 ?發(fā)端分解：傳送 v()，即將信號向量分解成它的各個基圖象，變換系數(shù)則規(guī)定了原信號中各基圖象所占的數(shù)量。 ? 例如 1024，直接傅里葉變換需要大約 106 次操作，快速傅里葉變換只需要 104 次操作。 N N 輸入信號 **TU A V A?快速傅里葉變換 ? 根據(jù) 公式，直接計算 N 點一維傅里葉變換需要 N2 次復數(shù)乘法， N(1)≈ N2 次復數(shù)加法運算。 TV A UA?N N 正交變換矩陣 N N變換系數(shù) ?反變換 ?重要的實際意義：用 2 個 N N 矩陣乘法代替了 1 個 1 N2 矢量和 N2 N2 矩陣的乘法，實現(xiàn)變換。 v() 表示變換系數(shù) 。 ?正交矩陣是酉矩陣，但酉矩陣不需要是正交矩陣。 ?變換去除相關(guān)性示例 ?設(shè)有兩個相鄰的數(shù)據(jù)樣本 x1和 x2，每個樣本 采用 3比特編碼，則各有 8個幅度等級，兩個樣本的聯(lián)合事件共有 64種可能用右圖二維平面坐標表示 ?考慮到相鄰樣值的相關(guān)性， x1和 x2同時出現(xiàn)相近幅度的可能性最大。變換編碼 四川大學 計算機學院 陳 虎 ? ?原理 ?為達到目的可以通過不同的路徑 —— 殊途同歸 ? 例如：數(shù)學計算機中，經(jīng)常利用某些數(shù)學函數(shù)略加轉(zhuǎn)換可以找出一條計算的捷徑。 ? 乘法： 1000000X100000＝ 100000000000 ? 運算時，數(shù)據(jù)很大，可以變成對數(shù)進行加法 1000000 X 100000＝ 100000000000 取對數(shù) 106 取對數(shù) 105 取指數(shù) 1011 6 ＋ 5 ＝ 11 算法變換 ?基本概念 ?先對信號進行某種函數(shù)變換，從一種域（空間）變換到另一種域（空間），再對變換后的信號進行編碼處理 ?以聲音圖像為例，由于聲音圖像大部分信號都是低頻信號，在頻域中信號較集中，因此將時域信號變換到頻域，再對其進行采樣、編碼 ?變換編碼 ( ) 是一種函數(shù)變換，從一個信號域變換到另一個信號域，將信源輸出分解 /變換為其組成部分，然后根據(jù)每個成分的特性分別進行編碼，去除視頻信號的空間冗余，使能量集中。 ?因此 ,合成可能性往往落在陰影區(qū)內(nèi) 0 X1 X2 ?變換去除相關(guān)性示例 ?如果對數(shù)據(jù)進行正交變換，從幾何上相當于坐標系旋轉(zhuǎn) 45o,變成 x1’、x2’坐標系，則在新坐標系下，任憑 x1’在較大的范圍變化，而 x2’始終只在相當小的范圍內(nèi)變化，因此通過這樣的變化就能得到一組去除大部分，甚至是全部統(tǒng)計相關(guān)性的另一種輸出樣本 0 X1 X2 X1’ X2’ ?變換編碼過程 變換 量化 譯碼器 逆變換 編碼器 發(fā)送端 接收端 G A A’ G’ U’ 輸入 U 輸出 U為變換矩陣， ’:變換系數(shù) U’的逆變換矩陣 酉（）變換概念 ?線性變換 v = ，系數(shù)矩陣 A 稱為此變換的基矩陣 ?如果 A 是一個酉矩陣，則： 1*TAA? ?且 **TTA A A A I??其中， * 表示對 A 的每個元素取共軛復數(shù)， T 表示轉(zhuǎn)置 ?如果 A 是酉矩陣，且所有元素都是實數(shù)，則它是一個正交矩陣，且滿足 1 T? ?且 TTA A A A I??上式表明：當 時，內(nèi)積為 1；否則內(nèi)積為 0，所以， A的各行是一組正交向量 ?任何兩個酉變換之間的差別在于基函數(shù)（即 A 的行向量）的選擇。 正交矩陣的特點 ?正交矩陣的特點 ?每一行元素的平方和等于 1 ?兩個不同行的對應(yīng)元素乘積之和等于零 ?上述兩條對于列也成立 ?例如 c os s