【文章內(nèi)容簡介】 ，它的基本幾何特性都保持不變，很顯然，它具有標度不變性。 因此 ,可以看到 ,自相似性與標度不變性是密切相關的。自相似性和標度不變性是分形的 兩個重要特性 。 對于“ 特征長度 ”這一名詞，作一簡單的說明，自然界存在的所有物體的形狀和人類迄今所考慮的一切圖形，大致可分為如下 兩種 ： 具有特征長度的圖形和不具有特征長度的圖形。 對于 特征長度 ，并沒有嚴格的定義，一般認為 能代表物體的幾何特征的長度 ，就稱之為該物體的特征長度。如一個球的半徑、正方體的邊長、人的身高、汽車的長度，這些都是各個物體的特征長度，它們很好地反映了這些物體的幾何特征。對具有特征長度的物體的形狀，對它們即使稍加簡化，但只要其特征長度不變，其幾何性質也不會有太大的變化。如豎起一個代替人的、與人具有相同高度的圓柱，那么從遠處去看，也不會有太大的差錯；如果再精細一點，以小圓柱代替手和腿，以矩形代替身軀，以球代替頭，那么就會很像人了。換句話說，關于這類物體 ,可以用幾何學上熟知的矩形體、圓柱、球等簡單形狀加以組合，就能很好地與其構造近似。 二、非歐氏幾何學（分形幾何學） 歐幾里德幾何學 （簡稱歐氏幾何學），是一門具有 2023多年歷史的數(shù)學分支，它是 以規(guī)整幾何圖形為研究圖象 。所謂規(guī)整幾何圖形就是我們熟悉的點、直線與線段；平面與平面上的正方形、矩形、梯形、菱形、各種三角形以及正多邊形等?？臻g中的正方體、長方體、正四面體等。另外一類就是曲線或由曲面所組成的幾何圖形，平面上的圓與橢圓，空間中的球、橢球、圓柱以及圓臺等。這些點、直線、平面圖形、空間圖形的維數(shù)（歐氏維數(shù)）分為為 0、 和 3。對規(guī)整幾何圖形的 幾何測量 是指長度（邊長、周長以及對角線長等）、面積與體積的測量。 數(shù)學的不規(guī)則圖形 實際上，在曼德爾勃朗特的問題提出之前，數(shù)學家就曾經(jīng)構造過多種不規(guī)則的幾何圖形，他們具有和海岸線相似的性質。 Cantor集 Cantor在 1883年構造了如下一類集合：取一段歐式長度為 l的直線段，將該線段三等分，去掉中間的一段，剩下兩段。再將剩下的兩段分別三等分，各去掉中間的一段，剩下四段。將這個操作進行下去，直至無窮，可得到一個離散的點集，點數(shù)趨于無窮多，而長度趨于零。經(jīng)無限次操作所得到的離散點集稱為 Cantor集。 Koch雪花線 瑞典數(shù)學家科赫（ Koch)在 1904年提出了一種曲線，它的生成方法是把一條直線段分成三段，將中間的一段用夾角為 60度的兩條等長折線來代替，形成一個生成元，然后再把每個直線段用生成元進行代換，經(jīng)無窮次迭代后就呈現(xiàn)出一條有無窮多彎曲的 Koch曲線。 Sierpinski集 首先，將一個等邊三角形四等分，得到四個小等邊三角形，去掉中間的一個，保留它的邊。將剩下的三個小三角形再分別進行四等分，并分別去掉中間的一個，保留它的邊。重復操作直至無窮，得到一個面積為零，線的歐式長度趨于無窮大的圖形。這個圖形被人們稱為謝爾賓斯基縷墊。 Sierpinski地毯 將一個正方形九等分，去掉中間的一個，保留四條邊，剩下八個小正方形。將這九個小正方形再分別進行九等分，各自去掉中間的一個保留它們的邊。重復操作直至無窮。 對一個正六面體，將它的每條邊進行三等分，即對正六面體進行 27等分，去掉體心和面心處的 7個小正六面體，剩下 20個小正六面體，并保留它們的表面，重復操作直無窮，得到的圖形。體積趨于零，而其表面的歐式面積趨于無窮大。 Sierpinski海綿 Sierpinski集的共同特點 ?它們都是經(jīng)典幾何無法描述的圖形，是一種“只有皮沒有肉”的幾何集合。 ?它們都具有無窮多個自相似的內(nèi)部結構，任何一個分割后的圖形放大后都是原來圖形的翻版。 問題在哪里？ ?以上是一些經(jīng)典幾何意義下的“病態(tài)”圖形，以 Koch曲線為例，以一維來度量它，它的長度趨于無窮，而以二維來度量它，它的面積為零，那么，它究竟是幾維圖形 ?1維？ 2維？1．？？？？維嗎？ ?經(jīng)典的維度定義有問題嗎？ 經(jīng)典幾何的維度定義 ?在經(jīng)典幾何下，點被定義成 0維的，點沒有長度；直線被定義成 1維，只有長度，沒有面積，平面圖形被定義成 2維的，有面積，沒有體積，立體圖形是 3維的，有體積。 ?經(jīng)典幾何討論的維度都是整數(shù)，它們的數(shù)值與決定幾何形狀的變量個數(shù)及自由度是一致的，這是一個很自然的想法。 換一個角度看維度 根據(jù)相似性來看線段、正方形和立方體的維數(shù)。首先把線段、正方形和立方體的邊兩等分，這樣，線段成為長度一半的兩條線段，正方形變成邊長為原來邊長 1/2的四個小正方形，而立方體而成為八個小立方體，邊長為原來邊長的 1/2。原來的線段、正方形和立方體分別由 2， 4， 8個把全體分成 1/2的相似形組成。而 2， 4， 8可改寫成 2的 1， 2， 3次方，這里的 1， 2， 3分別與其圖形的經(jīng)驗維數(shù)相一致。 (1)長度 = , 面積 = 2, 體積 = 3（正方體）； (2)長度（半徑） = ,面積 = , 體積 = (球）； 由上面兩式可以看到，長度、面積和體積的量綱是長度單位的 2和 3次方，它們恰好與這些幾何圖形存在空間的歐氏維數(shù)相等，而且均為整數(shù)。 除了正方體和球以外的那些幾何圖形的體積，都可以用正方體或球來進行測量。 總結歐氏幾何的測量可以看到：第一類幾何圖形的測量是以長度為基礎；第二類幾何圖形也是以長度（兩點間的距離 r ）為基礎的，平面圖形以圓為基礎，空間圖形以球為基礎。所以，在歐氏幾何中對規(guī)整幾何圖形的測量，可以用下式來表示： l llr 2r? 334 r? 在歐氏幾何測量中，可以把上述兩類幾何圖形（分別以正方體和球作為代表）歸納為如下二點： 長度 = 面積 = ( ) 體積 = 式中 a和 b為常數(shù)，稱為 幾何因子 ，與具體的幾何圖形的形狀有關，如對圓 ； 對球 . 由式（ ）可以得出如下 結論 ： 它們是以兩點間的距離為基礎的，而且它們的量綱數(shù)分別等于幾何圖形存在的空間的維數(shù)。 在物理學中，大于 3維的空間也是存在的，如把時間和空間一起加以考慮，就得到了所謂的四維空間。 以上討論的維數(shù)都是整數(shù)，它們的數(shù)值與決定幾何形狀的變量個數(shù)及自由度數(shù)是一