【文章內(nèi)容簡介】 2 B． 120 C． 192 D． 240 【考點】 排列、組合的實際應用． 【分析】 由題意，末尾是 2 或 6，不同的偶數(shù)個數(shù)為 =120；末尾是 4，不同的偶數(shù)個數(shù)為 =120，即可得出結(jié)論． 【解答】 解：由題意，末尾是 2 或 6，不同的偶數(shù)個數(shù)為 =120； 末尾是 4，不同的偶數(shù)個數(shù)為 =120， 故共有 120+120=240 個， 故選 D． 【點評】 本題考查排列、組合知識的運用，考查學生的計算能力，屬于中檔題． 11．已知 P 為雙曲線 ﹣ x2=1 上任一點，過 P 點向雙曲線的兩條漸近線分別作垂線，垂足分別為 A， B，則 |PA|?|PB|的值為（ ） A． 4 B． 5 C． D．與點 P 的位置有關(guān) 【考點】 雙曲線的簡單性質(zhì)． 【分析】 設(shè) P（ m， n），則 ﹣ n2=1，即 m2﹣ 4n2=4，求出漸近線方程，求得交點 A， B，再求向量 PA， PB 的坐標，由向量的模，計算即可得到． 【解答】 解：設(shè) P（ m， n），則 ﹣ m2=1，即 n2﹣ 4m2=4， 由雙曲線 ﹣ x2=1 的漸近線方程為 y=177。 2x， 則由 ，解得交點 A（ ， ）； 由 ，解得交點 B（ ， ）． =（ ， ）， =（ ， ）， 則有|PA|?|PB|= = = ． 故選： C． 【點評】 本題考查雙曲線的方程和性質(zhì)，考查漸近線方程的運用，考查聯(lián)立方程組求交點的方法，考查向量的模求法，考查運算能力，屬于中檔題． 12．已知函數(shù) f（ x） = ，如果當 x＞ 0 時，若函數(shù) f（ x）的圖象恒在直線y=kx 的下方，則 k 的取值范圍是（ ） A． [ ， ] B． [ ， +∞ ） C． [ ， +∞ ） D． [﹣ ， ] 【考點】 利用導數(shù)研究曲線上某點切線方程． 【分析】 由于 f（ x）的圖象和 y=kx 的圖象都過原點，當直線 y=kx 為 y=f（ x）的切線時，切點為（ 0， 0），求出 f（ x）的導數(shù)，可得切線的斜率，即可得到切線的方程，結(jié)合圖象，可得 k 的范圍． 【解答】 解：函數(shù) f（ x）的圖象恒在直線 y=kx 的下方， 由于 f（ x）的圖象和 y=kx 的圖象都過原點， 當直線 y=kx 為 y=f（ x）的切線時，切點為（ 0， 0）， 由 f（ x）的導數(shù) f′（ x） = = ， 可得切線的斜率為 = ， 可得切線的方程為 y= x， 結(jié)合圖象，可得 k≥ ． 故選： B． 【點評】 本題考查導數(shù)的運用：求切線的方程，正確求導和確定原點為切點，結(jié)合圖象是解題的關(guān)鍵 ，考查運算能力，屬于中檔題． 二、填空題（本大題共 4 小題，每小題 5 分，共 20 分） 13．正方體的 8 個頂點中，有 4 個恰是正四面體的頂點，則正方體與正四面體的表面積之比為 ： 1 ． 【考點】 棱柱、棱錐、棱臺的側(cè)面積和表面積． 【分析】 作圖分析． 【解答】 解：如圖：設(shè)正方體的棱長為 a， 則正方體的表面積為 S=6a2； 正四面體的邊長為 則其表面積為 4 ?sin60176。=2 a2； 則面積比為 6a2： 2 a2= ： 1． 故答案為： ： 1． 【點評】 考查了學生的空間想象力． 14．已知冪函數(shù) y=xa 的圖象過點（ 3， 9），則 的展開式中 x 的系數(shù)為 112 ． 【考點】 二項式系數(shù)的性質(zhì)；冪函數(shù)的概念、解析式、定義域、值域． 【分析】 直接利用冪函數(shù)求出 a 的值，然后求出二項式展開式中所求項的系數(shù)． 【解答】 解：冪函數(shù) y=xa 的圖象過點（ 3， 9）， ∴ 3a=9， ∴ a=2， ∴ =（ ﹣ ） 8的通項為 Tr+1=（﹣ 1） rC8r28﹣ rx ， 令 r﹣ 8=1， 解得 r=6， 展開式中 x 的系數(shù)為（﹣ 1） 6C8628﹣ 6=112， 故答案為： 112． 【點評】 本題考查二項式定理的應用，冪函數(shù)的應用，考查計算能力． 15．過點 P（﹣ 1， 0）作直線與拋物線 y2=8x 相交于 A， B 兩點，且 2|PA|=|AB|，則點 B 到該拋物線焦點的距離為 5 ． 【考點】 直線與拋物線的位置關(guān)系． 【分析】 利用過 P（﹣ 1， 0）作直線與拋物線 y2=8x 相交于 A， B 兩點，且2|PA|=|AB|，求出 B 的橫坐標，即可求出點 B 到拋物線的焦點的距離． 【解答】 解：設(shè) A（ x1， y1）， B（ x2， y2），設(shè) A， B 在直線 x=﹣ 1 的射影分別為 D， E． ∵ 2|PA|=|AB|， ∴ 3（ x1+1） =x2+1 即 3x1+2=x2， 3y1=y2， ∵ A． B 兩點在拋物線 y2=8x 上 ∴ 3 = ， 解得 x1= ， x2=3， ∴ 點 B 到拋物線的焦點的距離為 BF=3+2=5． 故答案為 5 【點評】 本題考查拋物線的定義，考查學生的計算能力，解題的關(guān)鍵是利用拋物線的定義確定 B 的橫坐標． 16．等腰 △ ABC 中， AB=AC， BD 為 AC 邊上的中線，且 BD=3，則 △ ABC 的面積最大值為 6 ． 【考點】 正弦定理． 【分析】 設(shè) AB=AC=2x，三角形的頂角 θ，則由余弦定理求得 cosθ 的表達式，進而根據(jù)同角三角函數(shù)基本關(guān)系求得 sinθ，最后根據(jù)三角形面積公式表示出三角形面積的表達式，根據(jù)一元 二次函數(shù)的性質(zhì)求得面積的最大值． 【解答】 解：設(shè) AB=AC=2x， AD=x． 設(shè)三角形的頂角 θ，則由余弦定理得 cosθ= = ， ∴ sinθ= = = = ， ∴ 根 據(jù) 公 式 三 角 形 面 積 S= absinθ= 2x?2x? = ， ∴ 當 x2=5 時，三角形面積有最大值 6． 故答案為： 6． 【點評】 本題主要考查函數(shù)最值的應用，根據(jù)條件設(shè)出變量，根據(jù)三角形的面積公式以及三角函數(shù)的關(guān)系是解決本題的關(guān)鍵，利用二次函數(shù)的性質(zhì)即可求出函數(shù)的最值，考查學生的運算能力．運算量較大． 三、解答題（本大題共 5小題，共 70分，解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟） 17．（ 12 分）（ 2017?濮陽二模）已知數(shù)列 {an}前 n 項和為 Sn， a1=﹣ 2，且滿足Sn= an+1+n+1（ n∈ N*）． （ Ⅰ ）求數(shù)列 {an}的通項公式； （ Ⅱ ）若 bn=log3（﹣ an+1），求數(shù)列 { }前 n 項和為 Tn，求證 Tn＜ ． 【考點】 數(shù)列的求和；數(shù)列遞推式． 【分析】 （ I） Sn= an+1+n+1（ n∈ N*）． n≥ 2 時， an=Sn﹣ Sn﹣ 1= an+1+n+1﹣ ，化為： an+1=3an﹣ 2，可得： an+1﹣ 1=3（ an﹣ 1），利用等比數(shù)列的通 項公式即可得出． （ II） bn=log3（﹣ an+1） =n，可得 = ．再利用 “裂項求和 ”方法與數(shù)列的單調(diào)性即可證明． 【解答】 （ I）解： ∵ Sn= an+1+n+1（ n∈ N*）． ∴ n=1 時，﹣ 2= a2+2，解得 a2=﹣ 8． n≥ 2 時， an=Sn﹣ Sn﹣ 1= an+1+n+1﹣ ， 化為： an+1=3an﹣ 2，可得： an+1﹣ 1=3（ an﹣ 1）， n=1 時， a2﹣ 1=3（ a1﹣ 1）