1672-1lti系統(tǒng)的時(shí)間方程(編輯修改稿)
2025-02-05 10:48 本頁(yè)面
【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 相對(duì)于起始條件（ t=0） 會(huì)發(fā)生跳變。若自由項(xiàng)中沖激最高階的導(dǎo)數(shù)的次數(shù)，大于等于方程左邊響應(yīng)函數(shù)的最高階導(dǎo)數(shù)的次數(shù)，其受迫響應(yīng)中會(huì)出現(xiàn)沖激或沖激及其各階導(dǎo)數(shù)。 例如：設(shè)有系統(tǒng)方程： )(4)()(2)(3)(22txdt tdxtydt tdydt tyd ???? 且已知 )()( 3 tuetx t?? 1)0()0( ??? ?? yy 試求 t0時(shí)的系統(tǒng)響應(yīng) y(t)。 解：⑴ 求一個(gè)方程的齊次通解。 由于方程左邊與上例相同，它的齊次通解形式與上例相同： tth eAeAty 221)( ?? ??《 信號(hào)與系統(tǒng) 》 《 Signals Systems》 大連海事大學(xué)信息科學(xué)技術(shù)學(xué)院 167。 21 線性時(shí)不變系統(tǒng)的時(shí)間方程 ⑵ 求方程對(duì)應(yīng)自由項(xiàng)的特解，即受迫響應(yīng)。 方程的自由項(xiàng) )()()(4)( 3 tuettxdt tdx t???? ? 于是令 t0時(shí)特解 tp Bety 3)( ?? 將其代入方程左邊，并使方程在 t0時(shí)平衡 tppp etydttdydttyd 322)(2)(3)( ????tt eeBBB 33)299( ?? ??? 所以 21?B tp ety321)( ??《 信號(hào)與系統(tǒng) 》 《 Signals Systems》 大連海事大學(xué)信息科學(xué)技術(shù)學(xué)院 167。 21 線性時(shí)不變系統(tǒng)的時(shí)間方程 ⑶ 求齊次通解中的待定系數(shù)，確定自由響應(yīng)。 )()()( tytyty ph ?? ttt eeAeA 3221 21 ??? ??? 由于自由項(xiàng)中出現(xiàn)了沖激，初始條件不等于起始條件。下面根據(jù) t=0時(shí)刻的方程，求出系統(tǒng)輸出在 t=0時(shí)刻的跳變值： )0( , )0(??? yy ?? 系統(tǒng)的初始條件： )0()0()0( , )0()0()0(?????? ??????? yyyyyy ?? t=0時(shí)刻的系統(tǒng)方程： )()(2)(3)(22ttydt tdydt tyd ????《 信號(hào)與系統(tǒng) 》 《 Signals Systems》 大連海事大學(xué)信息科學(xué)技術(shù)學(xué)院 167。 21 線性時(shí)不變系統(tǒng)的時(shí)間方程 設(shè)此時(shí)，即 t=0時(shí)刻 )()(22tadt tyd ?? 于是 uadt tdy ??)( 0)( ?ty 這里 Δu表示從 t=0到 0+的單位跳變： ????00)( dttu ??將以上三式代入 t=0的系統(tǒng)方程中，兩邊沖激系數(shù)相等，求得 1?a 于是系統(tǒng)輸出在 t=0時(shí)刻的跳變值： 0)0( , 1)0( ??? ?? yy ?? 因此，系統(tǒng)的初始條件為： 2 )0()0()0( ?????? ??? yyy ? 1)0()0()0( ??? ??? yy ?《 信號(hào)與系統(tǒng) 》 《 Signals Systems》 大連海事大學(xué)信息科學(xué)技術(shù)學(xué)院 167。 21 線性時(shí)不變系統(tǒng)的時(shí)間方程 于是有 211)0(21 ????? AAy2322)0(21 ??????? Ay所以求得 291 ?A 42 ??A 最后，當(dāng) t0時(shí)系統(tǒng)的全響應(yīng) ttt eeety 3221429)( ??? ??? 或表示為： )()21429()( 32 tueeety ttt ??? ??? 其中，自由響應(yīng)分量是： tth eety2429)( ?? ?? 受迫響應(yīng)分量是： tp ety321)( ??《 信號(hào)與系統(tǒng) 》 《 Signals Systems》 大連海事大學(xué)信息科學(xué)技術(shù)學(xué)院 167。 21 線性時(shí)不變系統(tǒng)的時(shí)間方程 三、 常系數(shù)線性差分方程及其經(jīng)典解法 常系數(shù)線性差分方程 線性時(shí)不變離散時(shí)間系統(tǒng)，也稱線性移不變系統(tǒng)。其數(shù)學(xué)模型是常系數(shù)線性差分方程。 ???????MkkNkk knxbknya00)()(例如：銀行存款中的一種：零存整取。設(shè)存錢(qián)月息 β， 第 n月存入 x(n)， 此時(shí)帳上有錢(qián) y(n)， 則 )1()1()()( ?????? nynynxny )()1()1()( nxnyny ?????《 信號(hào)與系統(tǒng) 》 《 Signals
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