【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 積有最大值，最大值為 25， ∵ 四邊形 CDEF 為平行四邊形， ∴ S 的最大值為 50； ②∵ 四邊形 CDEF 為平行四邊形， ∴ CD∥ EF， CD=EF， ∵ 點(diǎn) C 向左平移 8 個(gè)單位，再向上平移 4 個(gè)單位得到點(diǎn) D， ∴ 點(diǎn) F 向左平移 8 個(gè)單位，再向上平移 4 個(gè)單位得到點(diǎn) E，即 E（ t﹣ 8，﹣ t2+t+12）， ∵ E（ t﹣ 8，﹣ t2+t+12）在拋物線上， ∴ ﹣ （ t﹣ 8） 2+t﹣ 8+8=﹣ t2+t+12，解得 t=7， 當(dāng) t=7 時(shí)， S△ CDF=﹣（ 7﹣ 3） 2+25=9， ∴ 此時(shí) S=2S△ CDF=18． 【點(diǎn)評(píng)】本題考查了二次函數(shù)的綜合題：熟練掌握二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征、二次函數(shù)的性質(zhì)和平行四邊形的性質(zhì)；會(huì)利用待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式；理解坐標(biāo)與圖形性質(zhì)，掌握點(diǎn)平移的坐標(biāo)規(guī)律． 3．（ 2020?欽州）如圖 1，在平面直徑坐標(biāo)系中，拋物線 y=ax2+bx﹣ 2 與 x軸交于點(diǎn) A（﹣3， 0）． B（ 1， 0），與 y 軸交于點(diǎn) C （ 1）直接寫(xiě)出拋物線的函數(shù)解析式； （ 2）以 OC為半徑的 ⊙ O 與 y 軸的正半軸交于點(diǎn) E，若弦 CD過(guò) AB 的中點(diǎn) M，試求出 DC的長(zhǎng)； （ 3）將拋物線向上平移 個(gè)單位長(zhǎng)度（如圖 2）若動(dòng)點(diǎn) P（ x， y）在平移后的拋物線上，且點(diǎn) P 在第三象限，請(qǐng)求出 △ PDE的面積關(guān)于 x的函數(shù)關(guān)系式，并寫(xiě)出 △ PDE 面積的最大值． 【分析】（ 1）由點(diǎn) A、 B 的坐標(biāo)利用待定系數(shù)法即可求出拋物線的解析式； （ 2）令拋物線解析式中 x=0 求出點(diǎn) C 的坐標(biāo)，根據(jù)點(diǎn) A、 B 的坐標(biāo)即可求出其中點(diǎn) M的坐標(biāo)，由此即可得出 CM的長(zhǎng)，根據(jù)圓中直徑對(duì)的圓周角為 90176。即可得出 △ COM∽△ CDE，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可得出 ，代入數(shù)據(jù)即可求出 DC 的長(zhǎng)度； （ 3）根據(jù)平移的性質(zhì)求出平移后的拋物線的解析式，令其 y=0，求出平移后的拋物線與 x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)，由此 即可得出點(diǎn) P 橫坐標(biāo)的范圍，再過(guò)點(diǎn) P 作 PP′⊥ y軸于點(diǎn) P′，過(guò)點(diǎn) D 作DD′⊥ y軸于點(diǎn) D′，通過(guò)分割圖形求面積法找出 S△ PDE關(guān)于 x的函數(shù)關(guān)系式，利用配方結(jié)合而成函數(shù)的性質(zhì)即可得出 △ PDE 面積的最大值． 【解答】解：（ 1）將點(diǎn) A（﹣ 3， 0）、 B（ 1， 0）代入 y=ax2+bx﹣ 2 中， 得： ，解得： ， ∴ 拋物線的函數(shù)解析式為 y= x2+ x﹣ 2． （ 2）令 y= x2+ x﹣ 2 中 x=0，則 y=﹣ 2， ∴ C（ 0，﹣ 2）， ∴ OC=2， CE=4． ∵ A（﹣ 3， 0）， B（ 1， 0），點(diǎn) M 為線段 AB 的中點(diǎn)， ∴ M（﹣ 1， 0）， ∴ CM= = ． ∵ CE 為 ⊙ O 的直徑， ∴∠ CDE=90176。， ∴△ COM∽△ CDE， ∴ ， ∴ DC= ． （ 3）將拋物線向上平移 個(gè)單位長(zhǎng)度后的解析式為 y= x2+ x﹣ 2+ = x2+ x﹣ ， 令 y= x2+ x﹣ 中 y=0，即 x2+ x﹣ =0， 解得： x1= ， x2= ． ∵ 點(diǎn) P 在第三象限， ∴ ＜ x＜ 0． 過(guò)點(diǎn) P 作 PP′⊥ y 軸于點(diǎn) P′，過(guò)點(diǎn) D 作 DD′⊥ y 軸于點(diǎn) D′，如圖所示． 在 Rt△ CDE 中， CD= ， CE=4， ∴ DE= = ， sin∠ DCE= = ， 在 Rt△ CDD′中， CD= ， ∠ CD′D=90176。， ∴ DD′=CD?sin∠ DCE= ， CD′= = ， OD′=CD′﹣ OC= ， ∴ D（﹣ ， ）， D′（ 0， ）， ∵ P（ x， x2+ x﹣ ）， ∴ P′（ 0， x2+ x﹣ ）． ∴ S△ PDE=S△ DD′E+S 梯形 DD′P′P﹣ S△ EPP′= DD′?ED′+ （ DD′+PP′） ?D′P′﹣ PP′?EP′=﹣ ﹣x+2（ ＜ x＜ 0）， ∵ S△ PDE=﹣ ﹣ x+2=﹣ + ， ＜ ﹣ ＜ 0， ∴ 當(dāng) x=﹣ 時(shí)， S△ PDE取最大值，最大值為 ． 故： △ PDE的面積關(guān)于 x的函數(shù)關(guān)系式為 S△ PDE=﹣ ﹣ x+2（ ＜ x＜ 0），且 △ PDE 面積的最大值為 ． 【點(diǎn)評(píng)】本題考查了待定系數(shù)法求函數(shù)解析式、兩點(diǎn)間的距離、相似三角形的判定與性質(zhì)以及二次函數(shù)的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是：（ 1）利用待定系數(shù)法求出函數(shù)解析式；（ 2）根據(jù)相似 三角形的性質(zhì)找出邊與邊之間的關(guān)系；（ 3）利用分割圖形求面積法找出 S△ PDE關(guān)于 x的函數(shù)關(guān)系式．本題屬于中檔題，難度不大，但數(shù)據(jù)稍顯繁瑣，本題巧妙的利用了分割圖形法求不規(guī)則的圖形面積，給解題帶來(lái)了極大的方便． 4．（ 2020?新疆）如圖，對(duì)稱軸為直線 x= 的 拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn) A（ 6， 0）和 B（ 0，﹣ 4）． （ 1）求拋物線解析式及頂點(diǎn)坐標(biāo)； （ 2）設(shè)點(diǎn) E（ x， y）是拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，且位于第一象限，四邊形 OEAF 是以 OA為對(duì)角線的平行四邊形，求平行四邊形 OEAF 的面積 S 與 x之間的函數(shù)關(guān)系式； （ 3）當(dāng)（ 2）中的平行四邊形 OEAF 的面積為 24 時(shí)，請(qǐng)判斷平行四邊形 OEAF 是否為菱形． 【分析】（ 1）根據(jù)對(duì)稱軸、 A、 B 點(diǎn)的坐標(biāo)，可得方程，根據(jù)解方程，可得答案； （ 2）根據(jù)平行四邊形的面積公式，可得函數(shù)解析式； （ 3）根據(jù)函數(shù)值，可得 E 點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)菱形的判定，可得答案． 【 解答】解：（ 1）設(shè)拋物線的解析式為 y=ax2+bx+c， 將 A、 B 點(diǎn)的坐標(biāo)代入函數(shù)解析式，得 ， 解得 ， 拋物線的解析式為 y=﹣ x2+ x﹣ 4， 配方，得 y=﹣ （ x﹣ ） 2+ ， 頂點(diǎn)坐標(biāo)為（ ， ）； （ 2） E 點(diǎn)坐標(biāo)為（ x，﹣ x2+ x﹣ 4）， S=2 OA?yE=6（﹣ x2+ x﹣ 4） 即 S=﹣ 4x2+28x﹣ 24； （ 3）平行四邊形 OEAF 的面積為 24 時(shí)，平行四邊形 OEAF 可能為菱形，理由如下： 當(dāng)平行四邊形 OEAF 的面積為 24 時(shí)，即 ﹣ 4x2+28x﹣ 24=24， 化簡(jiǎn)，得 x2﹣ 7x+12=0，解得 x=3 或 4， 當(dāng) x=3 時(shí)， EO=EA，平行四邊形 OEAF 為菱形． 當(dāng) x=4 時(shí)， EO≠ EA，平行四邊形 OEAF 不為菱形． ∴ 平行四邊形 OEAF 的面積為 24 時(shí)，平行四邊形 OEAF 可能為菱形． 【點(diǎn)評(píng)】本題考查了二次函數(shù)綜合題，利用待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，配方法求函數(shù)的頂點(diǎn)坐標(biāo)；利用平行四邊形性質(zhì)是解題關(guān)鍵；利用方程的判別式是解題關(guān)鍵． 5．（ 2020?六盤(pán)水）如圖，拋物線 y=ax2+bx+c 的圖象與 x軸交于 A（﹣ ）， B（ 3， 0）兩點(diǎn)，與 y 軸交于點(diǎn) C（ 0，﹣ 3），頂點(diǎn)為 D． （ 1）求 此拋物線的解析式． （ 2）求此拋物線頂點(diǎn) D 的坐標(biāo)和對(duì)稱軸． （ 3）探究對(duì)稱軸上是否存在一點(diǎn) P，使得以點(diǎn) P、 D、 A為頂點(diǎn)的三角形是等腰三角形？若存在，請(qǐng)求出所有符合條件的 P 點(diǎn)的坐標(biāo)，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由． 【分析】（ 1）根據(jù)拋物線 y=ax2+bx+c 的圖象與 x軸交于 A（﹣ ）， B（ 3， 0）兩點(diǎn)，與y 軸交于點(diǎn) C（ 0，﹣ 3），可以求得拋物線的解析式； （ 2）根據(jù)（ 1）中的解析式化為頂點(diǎn)式，即可得到此拋物線頂點(diǎn) D 的坐標(biāo)和對(duì)稱軸； （ 3）首先寫(xiě)出存在，然后運(yùn)用分類討論的數(shù)學(xué)思想分別求出各種情況下點(diǎn) P 的坐標(biāo)即可 ． 【解答】解：（ 1） ∵ 拋物線 y=ax2+bx+c 的圖象與 x軸交于 A（﹣ ）， B（ 3， 0）兩點(diǎn)，與 y 軸交于點(diǎn) C（ 0，﹣ 3）， ∴ ， 解得， ， 即此拋物線的解析式是 y=x2﹣ 2x﹣ 3； （ 2） ∵ y=x2﹣ 2x﹣ 3=（ x﹣ 1） 2﹣ 4， ∴ 此拋物線頂點(diǎn) D 的坐標(biāo)是（ 1，﹣ 4），對(duì)稱軸是直線 x=1； （ 3）存在一點(diǎn) P，使得以點(diǎn) P、 D、 A為頂點(diǎn)的三角形是等腰三角形， 設(shè)點(diǎn) P 的坐標(biāo)為（ 1， y）， 當(dāng) PA=PD 時(shí)， = ， 解得， y=﹣ ， 即點(diǎn) P 的坐標(biāo)為（ 1，﹣ ）； 當(dāng) DA=DP 時(shí)， = ， 解得， y=﹣ 4177。 ， 即點(diǎn) P 的坐標(biāo)為（ 1，﹣ 4﹣ 2 ）或（ 1，﹣ 4+ ）； 當(dāng) AD=AP 時(shí)， = ， 解得， y=177。 4， 即點(diǎn) P 的坐標(biāo)是（ 1， 4）或（ 1，﹣ 4）， 當(dāng)點(diǎn) P 為（ 1，﹣ 4）時(shí)與點(diǎn) D 重合，故不符合題意， 由上可得，以點(diǎn) P、 D、 A為頂點(diǎn)的三角形是等腰三角形時(shí)，點(diǎn) P 的坐標(biāo)為（ 1，﹣ ）或（ 1，﹣ 4﹣ 2 ）或（ 1，﹣ 4+ ）或（ 1， 4）． 【點(diǎn)評(píng)】本題考查二次函數(shù)綜合題，解題的關(guān)鍵是明確題意，找出所求問(wèn)題需要的條件，利用分類討論的數(shù)學(xué)思想解答問(wèn)題． 6．（ 2020?大連）如圖，在平面直角坐標(biāo)系 xOy 中，拋物線 y=x2+ 與 y 軸相交于點(diǎn) A，點(diǎn)B 與點(diǎn) O 關(guān)于點(diǎn) A對(duì)稱 （ 1）填空：點(diǎn) B 的坐標(biāo)是 （ 0， ） ； （ 2）過(guò)點(diǎn) B的直線 y=kx+b（其中 k＜ 0）與 x軸相交于點(diǎn) C，過(guò)點(diǎn) C作直線 l平行于 y 軸，P 是直線 l上一點(diǎn)，且 PB=PC，求線段 PB 的長(zhǎng)（用含 k 的式子表示），并判斷點(diǎn) P 是否在拋物線上，說(shuō)明理由； （ 3）在（ 2）的條件下，若點(diǎn) C 關(guān)于直線 BP 的對(duì)稱點(diǎn) C′恰好落在該拋物線的對(duì)稱軸上，求此時(shí)點(diǎn) P 的坐標(biāo)． 【分析】（ 1）由拋物線解析式可求得 A點(diǎn)坐標(biāo)，再利用對(duì)稱可求得 B 點(diǎn)坐標(biāo)； （ 2）可先用 k 表示出 C 點(diǎn)坐標(biāo)，過(guò) B 作 BD⊥ l于點(diǎn) D，條件可知 P 點(diǎn)在 x軸上方，設(shè) P點(diǎn)縱坐標(biāo)為 y，可表示出 PD、 PB的長(zhǎng)，在 Rt△ PBD 中，利用勾股定理可求得 y，則可求出PB的長(zhǎng)，此時(shí)可得出 P 點(diǎn)坐標(biāo)，代入拋物線解析式可判斷 P 點(diǎn)在拋物線上； （ 3）利用平行線和軸對(duì)稱的性質(zhì)可得到 ∠ OBC=∠ CBP=∠ C′BP=60176。，則可求得 OC 的長(zhǎng)，代入拋物線解析式可求得 P 點(diǎn)坐標(biāo)． 【解答】解： （ 1） ∵ 拋物線 y=x2+ 與 y 軸相交于點(diǎn) A， ∴ A（ 0， ）， ∵ 點(diǎn) B 與點(diǎn) O 關(guān)于點(diǎn) A對(duì)稱， ∴ BA=OA= ， ∴ OB= ，即 B 點(diǎn)坐標(biāo)為（ 0， ）， 故答案為：（ 0， ）； （ 2） ∵ B 點(diǎn)坐標(biāo)為（ 0， ）， ∴ 直線解析式為 y=kx+ ，令 y=0 可得 kx+ =0，解得 x=﹣ ， ∴ OC=﹣ ， ∵ PB=PC， ∴ 點(diǎn) P 只能在 x軸上方， 如圖 1，過(guò) B 作 BD⊥ l于點(diǎn) D，設(shè) PB=PC=m， 則 BD=OC=﹣ ， CD=OB= ， ∴ PD=PC﹣ CD=m﹣ ， 在 Rt△ PBD 中，由勾股定理可得 PB2=PD2+BD2， 即 m2=（ m﹣ ） 2+（﹣ ） 2，解得 m= + ， ∴ PB + ， ∴ P 點(diǎn)坐標(biāo)為（﹣ ， + ）， 當(dāng) x=﹣ 時(shí)，代入拋物線解析式可得 y= + ， ∴ 點(diǎn) P 在拋物線上； （ 3）如圖 2，連接 CC′， ∵ l∥ y 軸， ∴∠ OBC=∠ PCB， 又 PB=PC， ∴∠ PCB=∠ PBC， ∴∠ PBC=∠ OBC， 又 C、 C′關(guān)于 BP 對(duì)稱，且 C′在拋物線的對(duì)稱軸上，即在 y 軸上， ∴∠ PBC=∠ PBC′， ∴∠ OBC=∠ CBP=∠ C′BP=60176。， 在 Rt△ OBC 中， OB= ，則 BC=1 ∴ OC= ，即 P 點(diǎn)的橫坐標(biāo)為 ，代入拋物線解析式可得 y=（ ） 2+ =1， ∴ P 點(diǎn)坐標(biāo)為（ ， 1）． 【點(diǎn)評(píng)】本題為二次函數(shù)的綜合應(yīng)用，涉及知識(shí)點(diǎn)有軸對(duì)稱的性質(zhì)、平行線的性質(zhì)、勾股定理、等腰三角形的性質(zhì)、二次函數(shù)的性質(zhì)等．在（ 2）中構(gòu)造直角三角形，利用勾股定理得到關(guān)于 PC的長(zhǎng)的方程是解題的關(guān)鍵，在（ 3）中求得 ∠ OBC=∠ CBP=∠ C′BP=60176。是解題的關(guān)鍵．本題考查知識(shí)點(diǎn)較多，綜合性較強(qiáng)，難度適中． 7．（ 2020?河池）在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線 y=﹣ x2﹣ 2x+3 與 x軸交于 A， B 兩點(diǎn)（ A在 B 的左側(cè)），與 y 軸交于點(diǎn) C，頂點(diǎn)為 D． （ 1）請(qǐng)直接寫(xiě)出點(diǎn) A， C， D 的坐標(biāo)； （ 2）如圖（ 1），在 x軸上找一點(diǎn) E，使得 △ CDE 的周長(zhǎng)最小，求點(diǎn) E 的坐標(biāo)； （ 3）如圖（ 2）， F為直線 AC 上的動(dòng)點(diǎn)，在拋物線上是否存在點(diǎn) P，使得 △ AFP 為等腰直角三角形？若存在，求出點(diǎn) P 的坐標(biāo)，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由． 【分析】（ 1）令拋物線解析式中 y=0，解關(guān)于 x的一元二次方程即可得出點(diǎn) A、 B 的坐標(biāo)，再令拋物線解析式中 x=0 求出