【文章內(nèi)容簡介】 公司財務(wù)管理 》 馬忠編著 第 9 章 期權(quán) 32 可 轉(zhuǎn)換債券的價值通常會高于純粹債務(wù)價值和轉(zhuǎn)化價值，這是因為可轉(zhuǎn)換債券持有者通過等待而得到的期權(quán)是有價值的，實際上， 可轉(zhuǎn)換債券是一個普通債券和一個看漲期權(quán)的組合 ，持有者可以通過等待來觀察純粹債券價值和轉(zhuǎn)換價值的價格差來決定是轉(zhuǎn)換成普通股票還是持有至 到期。 圖：一定利率下可轉(zhuǎn)換債券的價值與股票價值的關(guān)系圖 可轉(zhuǎn)換債券價值純粹債券價值高于 轉(zhuǎn)換價值股票市場價格純粹債券價值低于 轉(zhuǎn)換價值可轉(zhuǎn)換債券價值期權(quán)價值轉(zhuǎn)換價值 期權(quán) 與類似期權(quán)的證券 期權(quán)概述 《 公司財務(wù)管理 》 馬忠編著 第 9 章 期權(quán) 33 ? 當股價趨近于 0時 ，純粹債券價值是有效下限，轉(zhuǎn)換的期權(quán)價值也趨近于 0，可轉(zhuǎn)換債券就像普通債券一樣在市場上 交易 ? 當 股價很高時 ，持有者選擇將債券轉(zhuǎn)換為股票的可能性非常大，債券的價格基本取決于轉(zhuǎn)換價格，轉(zhuǎn)換的期權(quán)價值趨近于 0 ? 而 當股價處于純粹債券和轉(zhuǎn)換價值的交點附近時，持有者的等待最有價值，因此期權(quán)價值也就最大。 因此，期權(quán)價值呈現(xiàn)出先變大后變小的趨勢。 可轉(zhuǎn)換債券價值純粹債券價值高于 轉(zhuǎn)換價值股票市場價格純粹債券價值低于 轉(zhuǎn)換價值可轉(zhuǎn)換債券價值期權(quán)價值轉(zhuǎn)換價值 期權(quán)定價 《 公司財務(wù)管理 》 馬忠編著 第 9 章 期權(quán) 34 期權(quán)定價 期權(quán)概述 實物期權(quán) 期權(quán)定價 《 公司財務(wù)管理 》 馬忠編著 第 9 章 期權(quán) 35 二叉樹 期權(quán)定價 模型 ——二叉樹模型的基本原理 定價模型 ： 二叉樹 模型的基本原理是把期權(quán)的有效期劃分為多個很小的時間間隔 Δt， 并假設(shè)在每一個時間間隔 Δt內(nèi)股價 S只有上升和下降兩種可能。因此二叉樹模型實際上是在用大量離散的小幅度二值運動來模擬連續(xù)的股價運動 。 圖：二叉樹模型的基本框架 在 較大的時間間隔內(nèi)，這種 運動是 不符合實際的，但是當時間間隔足夠小，且每個瞬間股價只有兩個方向變動時 ，假設(shè)是可以接受的。運用二叉樹模型為期權(quán) 定價 的兩種方法（ 1） 通過 普通股與借款構(gòu)造期權(quán) 等價物 （ 2） 風險 中性 定價 期權(quán)定價 《 公司財務(wù)管理 》 馬忠編著 第 9 章 期權(quán) 36 二叉樹 期權(quán)定價 模型 ——單期二叉樹模型 方法一： 單期二叉樹模型 在 計算期權(quán)當期的價值時，可以通過構(gòu)造一個由無風險債券和股票構(gòu)成的復(fù)制組合 來完成，該復(fù)制組合在到期日的收益無論股價上升還是下降， 均與期權(quán)的收益 相同 。 Black 和 Scholes指出，可 通過構(gòu)造無風險債券和股票的組合 ， 復(fù)制期權(quán)的收益 ，而 購買此復(fù)制組合的成本就等于期權(quán)的價值 。 這一觀點為 期權(quán)定價 模型 的提供了基本 思路，使得對期權(quán)價值評估得以實現(xiàn) 。 期權(quán)定價 《 公司財務(wù)管理 》 馬忠編著 第 9 章 期權(quán) 37 二叉樹 期權(quán)定價 模型 ——單期二叉樹模型 【 例 】 假設(shè)當前的股價為 S，在 下一期，股價或者上漲至 Su，或者下跌到 Sd， 且 股價上漲時，期權(quán)的價值為 Cu， 股價下跌時，期權(quán)的價值為 Cd 2Su 3SuSuSdS2SdSud dSu 2 2Sud 3Sd上升 為 原來數(shù)值的倍數(shù) 下降 為原來數(shù)值的倍數(shù) 期權(quán)定價 《 公司財務(wù)管理 》 馬忠編著 第 9 章 期權(quán) 38 二叉樹 期權(quán)定價 模型 ——單期二叉樹模型 【 例 】 假設(shè)期權(quán) 當期價值與復(fù)制組合收益相同，因此要得到期權(quán) 當期價值 ，需要尋找合適的股票數(shù)量 Δ和無風險債券的借貸金額（ B）， 無風險利率為 rf，使下式 成立： u f u d f dS ( 1 r ) B C S ( 1 r ) B C? ? ? ? ? ? ? ?且于是有： ??可 能 的 期 權(quán) 價 格 變 化 幅 度 （ ）可 能 的 股 票 價 格 變 化 幅 度 也 稱 套 期 保 值 率ududC C==S S( ) ( )u u d dffC S C SB1 r 1 r? ? ? ????? 由于 復(fù)制組合的到期日收益與期權(quán)相同，因此，期權(quán)目前的價值必與復(fù)制組合的成本相等，其表達式為： ? ? ?C S B 期權(quán)定價 《 公司財務(wù)管理 》 馬忠編著 第 9 章 期權(quán) 39 二叉樹 期權(quán)定價 模型 ——單期二叉樹模型 假設(shè) 有一份 6個月期的 執(zhí)行價格 為 70元的 A公司股票歐式看漲期權(quán)，若 A公司股票 當前價格 為 70元，期權(quán)到期日，股票價格將上升到 85元或下跌至 60元，且 6個月的無風險利率為 3%。那么， 應(yīng)當構(gòu)造的復(fù)制組合是 ：購入 A公司股票并從銀行借入 。 6個月末，看漲期權(quán)與復(fù)制組合的收益狀況如下： 期初投資策略 6個月末收益狀況 股價為 85元 股價為 60元 看漲期權(quán) （執(zhí)行價格為 70元） 15 0 復(fù)制組合 購 入 股票 51（ *85） 36（ *60） 以 3%利率借入 36（ 1551） 36（ 0 36） 合計 15 0 表 ： 到期日看漲期權(quán)與復(fù)制組合收益狀況 【 例 】 期權(quán)定價 《 公司財務(wù)管理 》 馬忠編著 第 9 章 期權(quán) 40 二叉樹 期權(quán)定價 模型 ——單期二叉樹模型 對 股票按照復(fù)制組合進行杠桿投資將獲得與看漲期權(quán)完全相同的收益 ，因此，兩種投資策略在期初必有相同的投資成本。所以， 6個月期的執(zhí)行價格為 70元的 A公司股票歐式看漲期權(quán)的價格為： 【 例 】 5 ? ? ? ? ? ? ?C S B期 權(quán) 價 值元ududC C 15 0= = = S S 85 60 ? u u d dffC S C S 15 85 15 51B = = =( 1 r ) ( 1 r ) 1+ 3% 1+ 3% 5? ? ? ? ? ? ???? ?? （ ） （ ） 期權(quán)定價 《 公司財務(wù)管理 》 馬忠編著 第 9 章 期權(quán) 41 期權(quán)定價 模型 ——二叉樹 兩期模型 單 期二叉樹模型存在的問題是 ， 對股票價格僅僅假定有兩種可能價格，往往是不符合實際的 。 解決這一問題的途徑是，將時間間隔劃分的越來越細，而在每段時間間隔內(nèi)股票價格仍只呈現(xiàn)兩種可能的變化 。 【 例 】 6個月期的 執(zhí)行價格 為 70元的 A公司股票歐式看漲期權(quán)，且 A公司股票當前價格為 70元 。 但是 股票價格的變化情況變化為：每 3個月 上漲 15%或下降 %。3個月無風險利率為 %。請計算期權(quán)價值。 期權(quán)定價 《 公司財務(wù)管理 》 馬忠編著 第 9 章 期權(quán) 42 期權(quán)定價 模型 ——二叉樹兩期 模型 70052 . 9370 . 0092 . 5880 . 53 個月后 6 個月后60 . 87圖：股價變動的兩期二叉樹 股價為 ，期權(quán)的有效期為 3個月、執(zhí)行價格為 70元，未來 3個月股價上升至 70元。所以看漲期權(quán)的到期日價值為 0元。 應(yīng)當 構(gòu)造的復(fù)制組合是 ：購入 1股 A公司股票并從銀行借入 。這種 情況下， 3個月末期權(quán)的價值為 。 ? ududC C 8 0= = = S S 8 70 111 （ ） （ ）? ? ? ? ? ? ? ?? ????u u d dffC S C S 8 8 1 0 70 1B = = =( r ) ( r ) 1+ 3% 1+ 3% 6C S +B 1 6 4? ? ? ? ? ?三 個 月 時 點 的 期 權(quán) 價 值元① 期權(quán)定價 《 公司財務(wù)管理 》 馬忠編著 第 9 章 期權(quán) 43 期權(quán)定價 模型 ——二叉樹兩期模型 70052 . 9370 . 0092 . 5880 . 53 個月后 6 個月后60 . 87圖：股價變動的兩期二叉樹 股價為 ，期權(quán)的有效期為 3個月、執(zhí)行價格為 70元，未來 3個月股價上升至 70元或下降至 ，看漲期權(quán)的到期日價值均為 0。所以這種情況下， 3個月末期權(quán)的價值為 0元。 ② 期權(quán)定價 《 公司財務(wù)管理 》 馬忠編著 第 9 章 期權(quán) 44 期權(quán)定價 模型 ——二叉樹兩期模型 70052 . 9370 . 0092 . 5880 . 53 個月后 6 個月后60 . 87圖：股價變動的兩期二叉樹 已 知了 3個月后 期權(quán)的價值，便可利用單期二叉樹模型計算出 期初 看漲期權(quán)的價值 。此時，股價上漲為 ，看漲期權(quán)的價值為 ； 股價 下降為 ，看漲期權(quán)的價值為 0元 。 應(yīng)當 構(gòu)造的復(fù)制組合是 ：購入 A公司股票并從銀行借入 。最終可求得期權(quán)的價值為 。 ? ududC C 4 0 4= = = = S S 7 311? ? ? ? ? ? ?? ? ???u u d dffC S C S 4 8B = = = 4( r ) ( r ) 1+ 3% 1+ 3%（ ） （ ）70C S +B 4 ? ? ? ? ? ?現(xiàn) 在 時 點 的 期 權(quán) 價 值元③ 期權(quán)定價 《 公司財務(wù)管理 》 馬忠編著 第 9 章 期權(quán) 45 二叉樹 期權(quán)定價 模型 ——二叉樹兩期模型 通過 不斷縮短每一時期的時間間隔，增加股價二叉樹的時期數(shù)，可以構(gòu)造出更為現(xiàn)實的股價變動模型。然而，隨著二叉樹時期數(shù)的增加， 每一期標的資產(chǎn)上升與下降時價值如何標定成為使用二叉樹模型進行期權(quán)定價過程中的主要問題之一 。期數(shù)增加后，要調(diào)整價值變化的升降幅度，以保證資產(chǎn)收益率的標準差保持不變。每期資產(chǎn)價值設(shè)定的一種標準方法是，假設(shè)每一期的資產(chǎn)收益率為 于是有： ?t? tu = 1 + = e ?上 升 乘 數(shù) 上 升 百 分 比 d = 1 = 1 / u下 降 乘 數(shù) 下 降 百 分 比以年表示的時期長度 標的資產(chǎn)收益率的標準差 期權(quán)定價 《 公司財務(wù)管理 》 馬忠編著 第 9 章 期權(quán) 46 期權(quán)定價 模型 ——風險中性評估 方法二： 風險中性評估 分析 二叉樹模型的假設(shè)條件，可以發(fā)現(xiàn)多期二叉樹模型的計算中， 并沒有用到股價變化的概率 。即假設(shè)當有套利機會出現(xiàn)時，投資者將毫不猶豫地利用它，期權(quán)價格 并不取決于 投資者對價格的態(tài)度， 所以上述分析隱含了風險中立的 觀點 ， 那么 資產(chǎn)的預(yù)期收益率都應(yīng)當是無風險利率 。 由此，可依據(jù)標的資產(chǎn)可能的未來價值，計算出可能價值相對應(yīng)的 概率。 期權(quán)定價 《 公司財務(wù)管理 》 馬忠編著 第 9 章 期權(quán) 47 期權(quán)定價 模型 ——風險中性評估 ? ?上 升 概 率 上 升 收期 望 收 益 率 = + 益 率 下 降 概 率 下 降 收 益 率 上升 概率、下降概率稱做風險中性概率（ riskneutral probabilities）。需要注意的是，據(jù)此得到的上升概率與下降概率 并非是 資產(chǎn)價值上升、下降的實際概率。 期權(quán)定價 《 公司財務(wù)管理 》 馬忠編著 第 9 章 期權(quán) 48 二叉樹 期權(quán)定價 模型 ——風險中性評估 【 例 】 6個月期的執(zhí)行價格為 70元的 A公司股票歐式看漲期權(quán)， A公司股票當前價格為 70元，期權(quán)到期日，股票價格將上升到 85元或下跌至 60元， 且 6個月的無風險利率為 3%，計算期權(quán)當前 價值。 答案： 步驟一 ：可計算出， 股票 上漲時的上升收益率為 %，下跌時的 下降收益率 為 %。 步驟二 ：依據(jù)風險中性公式： 3 21 43 14 290 484 0 516% . % . %..? ? ?? ?期 望 收 益 率 = + 上 升 概 率 + （ 1 上 升 概 率 ）上 升 概 下 降 概 率 下 降 收 益 率（ ）上 升