山東大學(xué)管理學(xué)院線性代數(shù)42相似矩陣(編輯修改稿)
2025-01-28 15:26 本頁(yè)面
【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 110120P有 P－ 1AP＝ Λ 0)4()2(3－1－2－1301－12－＝－ 2 ????? ?????? AI因此特征值 λ1＝ 2 λ2＝ 4 當(dāng) λ＝ 2時(shí)方程組 (λI－ A)X＝ 0為 ???????????????020000321321321xxxxxxxxx例 : 矩陣 ?????????????312130112A判定定理 A與對(duì)角矩陣相似的充要條件是對(duì)于每一個(gè) ni重特征值 λ i有 n個(gè)線性無(wú)關(guān)的特征向量。 （即（ λ iI－ A） X＝ 0的基礎(chǔ)解系有 ni個(gè)） 其基礎(chǔ)解系為 : ????????????1111v所以矩陣 A不與對(duì)角矩陣相似 . 例 . 已知 能對(duì)角化 , 求 An(n?1). 解 : 先求 A的特征方程 由此可見 A有三個(gè)特征值 , λ 1=0, λ 2=λ 3=1. 因?yàn)?A能夠?qū)腔?, 必須對(duì)應(yīng)于重根 λ 2=λ 3=1有兩個(gè)線性無(wú)關(guān)的特征向量 , 對(duì)于特征值 λ = 1時(shí)（ λΙ － A） Y＝ 0為 對(duì)其系數(shù)矩陣作行初等變換 , 可以看出如果此齊次方程要有兩個(gè)線性無(wú)關(guān)的基礎(chǔ)解系 , 就必須有兩個(gè)自由變量 , y3已經(jīng)是一個(gè)自由變量 , 因此需要 y2也是自由變量 , 這就要求上面矩陣的第二行全為零 , 即 x+2=0,得 x=2 此時(shí) 這時(shí)候 , A能對(duì)角化 , 所以存在方陣 T 使 上式兩邊同時(shí)左乘 T 及右乘 T1 可得 又 ∴ 例 2 設(shè)有矩陣 (1) 問(wèn)矩陣 A 是否可對(duì)角化 , 若能 , 試求可逆 矩陣 P 和對(duì)角矩陣 ? , 使 P1AP = ? . (2) 使 P1AP = ? 成立的 P 、 ? 是否唯一， 舉例說(shuō)明 . 解 單擊這里求特征多項(xiàng)式和特征值 （ 1） 矩陣 A 的特征多項(xiàng)式為 當(dāng) 時(shí) , 解方程組 即 所以 A 的三個(gè)特征值分別為 : 單擊這里開始求解 解之得基礎(chǔ)解系為 所以 是對(duì)應(yīng)于 的特征向量 . 當(dāng) 時(shí) , 解方程組 即 解之得基礎(chǔ)解系為 所以 是對(duì)應(yīng)于 的特征向量 . 單擊這里開始求解 當(dāng) 時(shí) , 解方程組 即 所以 是對(duì)應(yīng)于 的特征向量 . 解之得基礎(chǔ)解系為 單擊這里開始求解 因?yàn)? 線性無(wú)關(guān) 即三階矩陣 A 有三個(gè)線性無(wú)關(guān)的特征向量 , 所以 令 則 單擊這里求逆 矩陣 A 可對(duì)角化 . 此時(shí) 且有 P1AP = ? . （ 2） 使 P1AP = ? 成立的 P、 ? 不唯一 . 如 若取 則 此時(shí) 亦有 P1AP = ? . 單擊這里求逆 例 3 判定下列矩陣是否相似于對(duì)角矩陣 , 若相似 , 則求出可逆矩陣 P , 使 P1AP 是對(duì)角矩陣 . 矩陣 A 是個(gè)對(duì)角線上的元素相同的上 三角矩陣 , 注意任何對(duì)角矩陣、上下三角矩陣的特征 值都是其對(duì)角線上的元素 , 所以此題 A 的特征值為 使 A = P1 ? P, 但是 P1 ?P = P1EP = E 就應(yīng)有 A = E, 這顯然不對(duì) , 所以說(shuō) A 不相似于對(duì) 則 A 不相似于對(duì)角矩陣 , 因?yàn)槿绻? A 相似于對(duì)角 矩陣 ? , 則 ? 就是單位矩陣 , 且應(yīng)有可逆矩陣 P ,
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