【文章內容簡介】 x x y y r?d? ?d??r ?????????? ??? zr zzryx ,20,0 ,sin,cos ?? ???????????20,0,0cos,sinsin,cossin??????????rrzryrx?d 第二節(jié) 運動方程式 一、用應力表示的運動方程式 將 Newton 第二運動定律應用于運動著的流體，有： 采用 Lagrange 法，對質量固定而且運動的流體，可表示為： 對邊長 dx、 dy、 dz 的流體微元，慣性力： 在各方向的分量為： ?duMdF )( ?? ??DuDMF ?? ??? DuDdxdydzFdFdi??????? DDudxdyd zdFdF xixx ?? ?? DDudxdydzdFdF yiyy ?? ?? DDudxdyd zdFdF zizz ?? 式中的 dFx 、 dFy 、 dFz 為外力作用在流體微元上的合力在 x、 y、 z方向上的分量，每一個分量都由兩種類型的力組成。 質量力 （體積力）：作用在流體 整體上的非接觸力 ，其大小與流體的體積成正比。以 FB表示， X、 Y、 Z表示 單位質量力 在 x、 y、 z方向上的分量，作用在流體微元上的體積力： dFxB =Xρdxdydz dFyB =Yρdxdydz dFzB =Zρdxdydz 表面力 ：作用在流體 表面上的接觸力 ，其大小與流體的表面積成正比，以 FS表示，包括壓力和摩擦力。因只考慮作用在流體表面上的摩擦力，作用在流體單位表面積上的表面力稱為 表面應力 τ。表面應力可分解為三個平行于 x、 y、z軸的表面應力分量，如以垂直于 x軸的平面說明（注意 τ的第一個下標 表示作用面與軸的垂直方向 ， 第二個下標 表示表面應力的作用方向 ）。 τxy y y y τxx x τxz x x z z z 作用在垂直于 x、 y、 z軸的 6個平面上共有 18個表面應力分量，但由于對應兩面受力為同一類型，因此用 9個表面應力分量即可表示，它們是： 其中具有相同下標的，和作用面垂 直，稱為 法向應力 ；具有不同 下標的，和作用面平行，稱為 切向應力 。 以應力表示的運動微分方程式 對運動著的流體微元，作用在 x方向上 y 的體積力： dFxB = Xρdxdydz 作用在 x方向上的凈的表面力： dFxS = dydz－ dydz + dxdz－ dxdz + dxdy－ dxdy x z zxyxxx???zyyyxy???zzyzxz???)( dxxxxxx ??? ??xx?)dyyyxyx ?? )( dzzzxzx ??? ?zx?yxxx?)( dxxxxxx ??? ?? )( dyyyxyx ??? ??yx )( dzzzxzx ?? ??zx? 因此： 而： ∴ 同理： 二、切向應力的表達式 對通過流體微團中心且平行于 z軸的 軸線取力矩： ∑J=Dfdl=dMR2a ，即： dxdydzzyxdF zxyxxxxS )( ????????? ????? DDudxdydzdFdFdF xxSxBix ??? zyxXDDu zxyxxxx?????????? ?????? zyxYDDu zyyyxyy????????? ?????? zyxZDDu zzyzxzz?????????? ?????? 2)(2 dxdydzdxxdxdydz xyxyxy ?????? ???2)(2dydxdzdyydydxdz yxyxyx ??????? ???aRdxdydz ??? 2?xy? dxxxy??? ?? dyyyxyx ??? ??yx?2dx2dy 當流體微團邊長 dx、 dy、 dz趨近于零，即 R趨近于零時，得： 以及： 切向應力分量的表達式： y 對一維流動 x 即： 速度梯度為角變形速率 yxxy ?? ? yzzy ?? ? zxxz ?? ? dydu xyx ?? ????? ddydudyduddydyduutgdd xxxx?????)(dydudd x???????ddyx ??ddydyduu xx ? ?dyddydu xxu 對二維流動進行分析：正方形的流體微團 經過 dθ時間后變化為菱形，變化角度： y x 21 ??? ddd ??)( 21 ? ????? d ddyxxy ??? ???? dyudydydyutgdd xx??????? 11 ???? dxudxdxdxutgd yy??????? 22 )(xuyu yxyxxy ??????? ??? ?dydyux?? ?dxdxu y??1?d 2?d )( xuzu zxzxxz ??????? ??? )(xuyu yxyxxy ?????? ??? 三、法向應力的表達式 法向應力由兩部分組成：一部分由流體靜壓力產生，其結果使流體微元承受壓縮應力，發(fā)生 體積變形 ；另一部分由流體流動時的粘性應力的作用產生，其結果是使流體微元在法線方向上承受拉伸或壓縮應力，發(fā)生 線性形變 。 各法向應力與壓力、形變速率之間的關系如下： 當流體靜止（或雖流動但無剪應力作用）時： 即靜止流體中的法向應力就是壓強（ 各向同性 ）。 流體運動時，粘性的作用使法向應力在各方向不等，但總壓力相同 （ 各向不同性 ） 。 )(32)(2 zuyuxuxup zyxxxx ?????????????? ??? )(32)(2zuyuxuyup zyxyyy ?????????????? ???)(32)(2 zuyuxuzup zyxzzz ?????????????? ??? pzzyyxx ???? ??? )(31zzyyxxp ??? ???? 四、粘性流體的運動微分方程式 （ Navier— Stokes eq） 對 x方向 ： 即： 對 不可壓縮流體 的穩(wěn)定流動過程，連續(xù)性方程式： 所以： zyxXDDu zxyxxxx?????????? ?????? )(32)(2zuyuxuxup zyxxxx ?????????????? ??? )(xuyu yxxy ?????? ?? )(xuzu zxxz ?????? ?? )(3)( 222222zuyuxuxzuyuxuxpXDDu zyxxxxx???????????????????????? ????? 0?????????zuyuxu zyx )(1222222zuyuxuxpXDDu xxxx?????????