費(fèi)馬最后定理(編輯修改稿)
2024-10-23 01:20 本頁面
【文章內(nèi)容簡介】 那麼對於 n = p，「費(fèi)馬定理」的第 I 情況成立。 ?熱爾曼 初步完成了 n = 5 的證明。 熱爾曼 Sophie Germain (1776 1831) 新的方向 n = 5 的證明 勒讓德 Legendre (1752 1833) 狄利克雷 Dirichlet (1805 1859) ? 法國 人 ? 1823 年，證明了 n = 5。 ? 德國 人 ? 1828 年，獨(dú)立地證明了 n = 5。 ? 1832 年，解決了 n = 14 的情況。 n = 7 的證明 拉梅 Gabriel Lam233。 (1795 1870) ? 法國 人 ? 1839 年，證明了 n = 7。 ? 1847 年，發(fā)生了一件令 拉梅 非常尷尬的事件。 1847 年發(fā)生的事件 3 月 1 日， 拉梅 宣布他已證明了「費(fèi)馬最後定理」。 拉梅 將 x n + y n 分解成 (x + y)(x + ? y)(x + ?2y)…( x + ?n1y)，其中 ? = cos(2?/n) + i sin(2?/n)，即方程 r n = 1 的複數(shù)根。 如果 x n + y n = z n， 那麼 拉梅 認(rèn)為每一個(gè) (x + ?k y) 都會(huì)是 n 次冪乘以一個(gè)單位，從而可導(dǎo)出矛盾。 但， 拉梅 的好友 劉維爾 （ Liouville）指出， 拉梅 的證明中有很大的漏洞。 拉梅 忽略了 「唯一分解定理」 的考慮。 1847 年發(fā)生的事件 同時(shí)， 柯西 （ Cauchy）亦宣布他早於 1846 年的 10 月，已取得「費(fèi)馬最後定理」的初步證明。 3 月 22 日，兩人同時(shí)向 巴黎科學(xué)院 提出自己的證明。 不過，對於「唯一分解定理」的問題，二人都未能成功地解決。 5 月 24 日， 德國 數(shù)學(xué)家 庫麥爾 發(fā)表了一封信，指出「唯一分解定理」的必要性，亦清楚地顯示， 拉梅 和 柯西 的方法是行不通的 ，從而平息了二人的爭論。 甚麼是「唯一分解定理」？ ?在一般的整數(shù)中，每一個(gè)合成數(shù)都祇可能被分解成一種 「質(zhì)因數(shù)連乘式」 。 ?但在某些「複整數(shù)」中，情況未必相同。 ?例如： 6 = 2 ? 3 = (1 + ?5) ? (1 ?5) 而在 a + b?5 的複整數(shù)中， (1 + ?5) 和 (1 ?5) 為 互不相同的質(zhì)數(shù) 。 ?換句話說，形如 a + b?5 的複整數(shù)， 並不符合「唯一分解定理」 。 未能滿足「唯一分解定理」又如何？ ?如果能滿足「唯一分解定理」，那麼當(dāng) z n = ab 並且 HCF(a , b) = 1 時(shí)， 我們就確信可以找到 u 和 v， 使到 a = u n 而 b = v n 了 。 ?如果未能滿足「唯一分解定理」，以上推論就不成立。 ?例如： 6 2 = 2 ? 3 ? (1 + ?5) ? (1 ?5)，但右方的四個(gè)數(shù)， 都並非是一個(gè)平方數(shù)！ ?因此，當(dāng) 6 2 = ab 時(shí)，即使 HCF(a , b) = 1，我們亦不能肯定 a 和 b 是不是平方數(shù)了！ 理想數(shù)的誕生 庫麥爾 Ernst Edward Kummer (1810 1893) ?德國 人 ?1845 至 1847 年間，提出了「理想數(shù)」 的概念。 ?又提出 「正規(guī)質(zhì)數(shù)」 的概念，並證明 當(dāng) n 為正規(guī)質(zhì)數(shù)時(shí)，「費(fèi)馬最後定理」成立。 分圓整數(shù)及理想數(shù) ? 已知 n 為一質(zhì)數(shù)。 假設(shè) ? = cos(2?/n) + i sin(2?/n)，即方程 r n = 1 的複數(shù)根，則稱下面的「數(shù)」為 「分圓整數(shù)」 ： a0 + a1 ? + a2 ? 2 + …… + an1 ? n1，其中 ai 為整數(shù)。 ? 並非每一個(gè)分圓整數(shù)集合都滿足「唯一分解定理」， 但如果能夠加入一個(gè)額外的「數(shù)」，使到該分圓整數(shù)集合滿足「唯一分解定理」，則稱該數(shù)為 「理想數(shù)」 。 ? 庫麥爾 發(fā)現(xiàn)，當(dāng) n 為一些特殊的質(zhì)數(shù)時(shí)，（他稱之為 「正規(guī)質(zhì)數(shù)」 ，） 就可利用「理想數(shù)」來證明「費(fèi)馬定理」。 ? 庫麥爾 證明 當(dāng) n 100 時(shí)，「費(fèi)馬最後定理」成立。 ? 1857 年， 庫麥爾 獲 巴黎科學(xué)院 頒發(fā)獎(jiǎng)金三千法郎。 懸紅十萬馬克 沃爾夫斯凱爾 Paul Friedrich Wolfskehl (1856 1908) ?德國 商人。 ?曾學(xué)習(xí)醫(yī)學(xué)。 1883 年跟 庫麥爾 學(xué)習(xí)。 ?訂立遺囑， 懸紅十萬馬克， 獎(jiǎng)賞在他死後一百年內(nèi)能證明「費(fèi)馬最後定理」的人。 ?1909 至 1934 年間，收到無數(shù)的「證明」， 但無一成立。 ?經(jīng)過兩次大戰(zhàn)後，該筆獎(jiǎng)金已大幅貶值，以 1977 年的價(jià)值計(jì)算，祇約值一萬馬克或四千美元。 無數(shù)英雄盡折腰 ?1941年， 雷麥 證明當(dāng) n 253747887 時(shí) ，「費(fèi)馬最後定理」第 I 情況成立。 ?1977 年， 瓦格斯塔夫 證明當(dāng) n 125000 時(shí)，「費(fèi)馬最後定理」成立。 ?1983 年， 德國 數(shù)學(xué)家 伐爾廷斯 證明了「莫德爾
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