復(fù)數(shù)具有代數(shù)形式(編輯修改稿)
2024-10-22 15:22 本頁面
【文章內(nèi)容簡介】 令（1） 設(shè)（2） 任取 ； ； ?！?，故Z=P，故集合C有144個不同元素。4. 復(fù)數(shù)綜合知識例8 考慮復(fù)平面上的正方形，它的四個頂點對應(yīng)的復(fù)數(shù)恰好是某個整系數(shù)一元四次方程的四個根。求這種正方形面積的最小值。（西部奧林匹克。2002）解： 設(shè)正方形的中心對應(yīng)的復(fù)數(shù)為，則將復(fù)平面上的原點平移到后，該正方形的頂點均勻分布在一個圓周上，即它們是方程的解，這里是某個復(fù)數(shù)，于是對比各次項系數(shù)，可知為有理數(shù)，再結(jié)合為整數(shù)，可得為整數(shù)。這樣利用為整數(shù)，可知是整數(shù)。上述討論表明：該正方形頂點是整系數(shù)方程的根，于是其外接圓半徑不小于1，所以此正方形的面積不小于。而方程的四個根在復(fù)平面上對應(yīng)于一個正方形的頂點。因此所求正方形的面積的最小值為2。注： 利用上述方法可以證明：若一個正邊形的頂點對應(yīng)的復(fù)數(shù)是某個整系數(shù)方程的個復(fù)根，則該正邊形的面積的最小值為（參見167。）例9 給定實數(shù)已知復(fù)數(shù)滿足求的值。（高中聯(lián)賽，1999）解1 設(shè)，，則，且，于是,及構(gòu)成一個菱形,或者兩個退化的菱形。無論哪種情況,在中只存在一個,則，故；同理，若或者，則的值為或。 解2 因為，所以 （*），即，又，所以帶入（*）得到，整理得，分解因式得到 故或者或者，若，代入得到，這時，類似的若有，若。解3 由復(fù)數(shù)為實數(shù)的充要條件和得（* *），因為，所以，代入（* *）得到，即，（* * *）又（* * * *），由和（* * *）、（* * * *）知復(fù)數(shù)為方程的三個根，解得，以
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