奧林匹克數(shù)學(xué)的解題策略(編輯修改稿)
2024-10-22 14:47 本頁(yè)面
【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 值。（全國(guó)高考試題2002）分析：直接代入法解，運(yùn)算量較大，可先探求一般性的結(jié)論，即根據(jù)題目的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)試求：的值，則問(wèn)題應(yīng)刃而解，易知= 1為定值，從而得原式的值為。例9：1985個(gè)點(diǎn)分布在一個(gè)圓的圓周上，每個(gè)點(diǎn)都標(biāo)上+1或1，一個(gè)點(diǎn)稱為“好點(diǎn)”，如果從這個(gè)點(diǎn)開(kāi)始依任一方向前進(jìn)到任何一點(diǎn)時(shí)，所經(jīng)過(guò)的各數(shù)的和都是正的。證明：如果標(biāo)有1的點(diǎn)數(shù)少于662時(shí)，圓周上至少有一個(gè)好點(diǎn)。（第26屆IMO，1985）分析：觀察662與1985的關(guān)系（題中要求點(diǎn)數(shù)少于662），注意到，將問(wèn)題一般化，證明更一般的結(jié)論：“在個(gè)點(diǎn)中有個(gè)1時(shí)，好點(diǎn)一定存在”。證明：（1）時(shí)，如圖所示，A，B，C，D標(biāo)上+1，則B，C均為好點(diǎn)。（2）當(dāng)時(shí)成立，即3K+2個(gè)點(diǎn)中有K個(gè)1時(shí)，必有好點(diǎn)。對(duì)，可任取一個(gè)1，并找出兩邊距離它最近的兩個(gè)+1，將這三個(gè)點(diǎn)一齊去掉，在剩下的個(gè)點(diǎn)中有K個(gè)1，因而一定有好點(diǎn)，記為P。現(xiàn)將取出的三個(gè)點(diǎn)放回原處，因?yàn)镻不是離所取出1最近的點(diǎn)。因而從P出發(fā)依圓周兩方前進(jìn)時(shí)，必先遇到添回的+1，然后再遇到添回的1，故P仍是好點(diǎn)，這說(shuō)明，時(shí)命題亦成立。本題是由數(shù)學(xué)歸納法證明了問(wèn)題的一般性命題成立。取即本例成立。四：分類討論法 所謂分類討論，就是原問(wèn)題分解成一組相對(duì)獨(dú)立的“小問(wèn)題”來(lái)處理，綜合對(duì)這些小問(wèn)題的解答，便可以推證出原問(wèn)題的結(jié)論。法國(guó)著名數(shù)學(xué)家笛卡爾在談到他解題的一條重要經(jīng)驗(yàn)時(shí)指出：把考慮的每一個(gè)難題，都盡可能地分成細(xì)小的部分，直到可以圓滿解決為止。笛卡爾所說(shuō)的“分成細(xì)小的部分”就是分類。 分類討論不僅分化了問(wèn)題的難度，而且分類標(biāo)準(zhǔn)本身又附加了一個(gè)已知的條件，所以，對(duì)每一類小問(wèn)題的解決都大大降低了難度。 例10：證明在任何6個(gè)人的聚會(huì)上，至少存在三個(gè)人相互認(rèn)識(shí)，或者相互不認(rèn)識(shí)（美國(guó)中學(xué)生數(shù)學(xué)競(jìng)賽，1953） 分析：先從6個(gè)人中任意找出一個(gè)人，剩下的5個(gè)人分成兩類：集合M表示所認(rèn)識(shí)，集合N表示所陌生的。 于是，M，N，中有一個(gè)集合至少有3個(gè)人。（1） 若是M，其中有3人。 互相不認(rèn)識(shí)，命題得證。 至少有兩人相互認(rèn)識(shí)，不妨設(shè)為，則相互認(rèn)識(shí)，命題亦成立。（2） 若是N，其中有3人 相互認(rèn)識(shí)，命題得證。中至少有兩人相互不認(rèn)識(shí)，不妨設(shè)為，則互相不認(rèn)識(shí)，命題亦得證。綜合各類情況可知道命題始終成立。例11：設(shè)S為集合{1，2。n}的具有下列性質(zhì)的子集：S中任意兩個(gè)元素之和不被7整除，那么S中元素最多能有多少個(gè)？（美國(guó)中學(xué)生數(shù)學(xué)競(jìng)賽，43屆） 分析：將集合劃分成7個(gè)子集：其中中每一個(gè)元素除以7后的余數(shù)為分析各子集的元素能成為中的元素的情況，即可得到結(jié)論。 解：將集合劃分成7個(gè)子集：其中中每一個(gè)元素除以7后的余數(shù)為。（1） S中包含的一個(gè)元素；（2） 與的元素不能同在S中，S最多含有中的8個(gè)元素（）（3） 與的元素不能同在S中，S最多包含有中的7個(gè)元素；（4） 與的元素不能同在S中，S最多包含有中的7個(gè)元素故S中元素最多可能有個(gè)。五：數(shù)學(xué)模型法數(shù)學(xué)模型，是通過(guò)對(duì)實(shí)際問(wèn)題的數(shù)學(xué)意義進(jìn)行抽象分析而建立起來(lái)的，在許多涉及實(shí)際應(yīng)用問(wèn)題的競(jìng)賽題目中，如計(jì)數(shù)，圖論，邏輯等，有著廣泛的應(yīng)用。在數(shù)學(xué)競(jìng)賽中，常常通過(guò)建立數(shù)值模型（又稱形式化），幾何模型，函數(shù)模型及組合模型等來(lái)解決問(wèn)題。例11：現(xiàn)有男女人，圍成內(nèi)外兩圈跳舞，每圈各人，有男有女，外圈的人面向內(nèi)，內(nèi)圈的人面向外，跳舞規(guī)則如下：每當(dāng)音樂(lè)一起，如面對(duì)者為一男一女，則男的邀請(qǐng)女的跳舞，如果均為男的或?yàn)榕?，則鼓掌助興，曲終時(shí)，外圈的人均向右走一步。如此繼續(xù)下去，直至外圈的人移動(dòng)一周。證明：在跳舞的過(guò)程中至少有一次跳舞的人不少對(duì)。分析：將這一問(wèn)題數(shù)學(xué)化，將男人記為+1，女人記為1，外圈的個(gè)人對(duì)應(yīng)的數(shù)為a1,a2,…….，
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