奧林匹克數(shù)學(xué)的解題策略(編輯修改稿)
2024-10-22 14:47 本頁面
【文章內(nèi)容簡介】 值。（全國高考試題2002）分析：直接代入法解，運算量較大，可先探求一般性的結(jié)論，即根據(jù)題目的結(jié)構(gòu)特點試求：的值，則問題應(yīng)刃而解，易知= 1為定值，從而得原式的值為。例9：1985個點分布在一個圓的圓周上，每個點都標(biāo)上+1或1，一個點稱為“好點”，如果從這個點開始依任一方向前進到任何一點時，所經(jīng)過的各數(shù)的和都是正的。證明：如果標(biāo)有1的點數(shù)少于662時，圓周上至少有一個好點。（第26屆IMO，1985）分析：觀察662與1985的關(guān)系（題中要求點數(shù)少于662），注意到，將問題一般化，證明更一般的結(jié)論：“在個點中有個1時，好點一定存在”。證明：（1）時，如圖所示，A，B，C，D標(biāo)上+1，則B，C均為好點。（2）當(dāng)時成立，即3K+2個點中有K個1時，必有好點。對，可任取一個1，并找出兩邊距離它最近的兩個+1，將這三個點一齊去掉，在剩下的個點中有K個1，因而一定有好點，記為P?，F(xiàn)將取出的三個點放回原處，因為P不是離所取出1最近的點。因而從P出發(fā)依圓周兩方前進時，必先遇到添回的+1，然后再遇到添回的1，故P仍是好點，這說明，時命題亦成立。本題是由數(shù)學(xué)歸納法證明了問題的一般性命題成立。取即本例成立。四：分類討論法 所謂分類討論，就是原問題分解成一組相對獨立的“小問題”來處理，綜合對這些小問題的解答，便可以推證出原問題的結(jié)論。法國著名數(shù)學(xué)家笛卡爾在談到他解題的一條重要經(jīng)驗時指出：把考慮的每一個難題，都盡可能地分成細小的部分，直到可以圓滿解決為止。笛卡爾所說的“分成細小的部分”就是分類。 分類討論不僅分化了問題的難度，而且分類標(biāo)準(zhǔn)本身又附加了一個已知的條件，所以，對每一類小問題的解決都大大降低了難度。 例10：證明在任何6個人的聚會上，至少存在三個人相互認(rèn)識，或者相互不認(rèn)識（美國中學(xué)生數(shù)學(xué)競賽，1953） 分析：先從6個人中任意找出一個人，剩下的5個人分成兩類：集合M表示所認(rèn)識，集合N表示所陌生的。 于是，M，N，中有一個集合至少有3個人。（1） 若是M，其中有3人。 互相不認(rèn)識，命題得證。 至少有兩人相互認(rèn)識，不妨設(shè)為，則相互認(rèn)識，命題亦成立。（2） 若是N，其中有3人 相互認(rèn)識，命題得證。中至少有兩人相互不認(rèn)識，不妨設(shè)為，則互相不認(rèn)識，命題亦得證。綜合各類情況可知道命題始終成立。例11：設(shè)S為集合{1，2。n}的具有下列性質(zhì)的子集：S中任意兩個元素之和不被7整除，那么S中元素最多能有多少個？（美國中學(xué)生數(shù)學(xué)競賽，43屆） 分析：將集合劃分成7個子集：其中中每一個元素除以7后的余數(shù)為分析各子集的元素能成為中的元素的情況，即可得到結(jié)論。 解：將集合劃分成7個子集：其中中每一個元素除以7后的余數(shù)為。（1） S中包含的一個元素；（2） 與的元素不能同在S中，S最多含有中的8個元素（）（3） 與的元素不能同在S中，S最多包含有中的7個元素；（4） 與的元素不能同在S中，S最多包含有中的7個元素故S中元素最多可能有個。五：數(shù)學(xué)模型法數(shù)學(xué)模型，是通過對實際問題的數(shù)學(xué)意義進行抽象分析而建立起來的，在許多涉及實際應(yīng)用問題的競賽題目中，如計數(shù)，圖論，邏輯等，有著廣泛的應(yīng)用。在數(shù)學(xué)競賽中，常常通過建立數(shù)值模型（又稱形式化），幾何模型，函數(shù)模型及組合模型等來解決問題。例11：現(xiàn)有男女人，圍成內(nèi)外兩圈跳舞，每圈各人，有男有女，外圈的人面向內(nèi)，內(nèi)圈的人面向外，跳舞規(guī)則如下：每當(dāng)音樂一起，如面對者為一男一女，則男的邀請女的跳舞，如果均為男的或為女的，則鼓掌助興，曲終時，外圈的人均向右走一步。如此繼續(xù)下去，直至外圈的人移動一周。證明：在跳舞的過程中至少有一次跳舞的人不少對。分析：將這一問題數(shù)學(xué)化，將男人記為+1，女人記為1，外圈的個人對應(yīng)的數(shù)為a1,a2,…….，
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