2008xdf高數(shù)強(qiáng)化講義03高等數(shù)學(xué)講義汪誠(chéng)義第三章★【漢魅huntmine—校內(nèi)校外學(xué)習(xí)資源高速下載】(編輯修改稿)
2024-09-16 21:55 本頁(yè)面
【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 A，則f（x）＝lnx－A，兩邊從1到e進(jìn)行積分，得＝－＝（xlnx－x）－A（e－1）于是A＝e－（e－1）－A（e－1），eA＝1，A＝，則＝例 設(shè)f（x）連續(xù)，且，f（1）＝1，求解：變上限積分的被積函數(shù)中出現(xiàn)上限變量必須先處理，令u＝2x－t，則－＝2x－（u0）代入條件方程后，兩邊對(duì)x求導(dǎo)，得三、遞推方法例設(shè)＝（n＝0，1，2，……）（1） 求證當(dāng)n2時(shí)，＝（2） 求解：（1）＝＝－xcosx＋ ＝(n—1) =(n—1) =(n—1) －（n－1） n＝(n—1) ，則＝（n）（2）＝，＝1，當(dāng)n＝2k 正偶數(shù)時(shí)，＝＝＝ ＝＝當(dāng)n＝2k＋1 正奇數(shù)時(shí)，＝＝＝＝＝例設(shè)＝ ，求證＝ 證：令x＝—t, == 則＝ 例設(shè)＝ 求證＝解：＝＝＝ 例4：計(jì)算（n為正整數(shù)）解一：令x＝cost＝＝＝解二：＝ ＝－ ＝－＝… ＝ ＝＝四、 廣義積分例 計(jì)算I＝解：I＝＝＝－ ＝－＋＝＋＝＝0＝ ＝＝ln＝ln1－ln＝ln2（這里＝ln1＝0） 于是I＝＋＝ln2例2 計(jì)算解：令x＝ ，I＝＝由于＝ I＝== = arctan ==167。 有關(guān)變上（下）限積分和積分證明題一、 有關(guān)變上（下）限積分例設(shè)f（x）= (常數(shù))，求解： ＝＝－ ＝－＝例設(shè)f（x）在內(nèi)可導(dǎo)，f（1）＝，對(duì)所有x，t，均有，求f（x）解：把所給方程兩邊求x求導(dǎo)，tf（xt）＝tf（x）＋du把x＝1代入，得 tf（t）＝ 再兩邊對(duì)t求導(dǎo)，得f（t）＋t＝于是，則f（t）=lnt + C ,令t=1代入得C=f（1）＝ ，所以f（x）＝（lnx+1）例3 設(shè)f（x）為連續(xù)函數(shù)，且滿(mǎn)足＋2＝，求f（x）在[0,2]上的最大值與最小值。解：先從方程中求出f（x），為此方程兩邊對(duì)x求導(dǎo)＝ =而=因此 兩邊再對(duì)x求導(dǎo)，得2f（2x）＝24－12x＝6 f（x）＝3 ＝6x－3，令＝0 得駐點(diǎn) x＝又在[0,2]上f（x）沒(méi)有不可導(dǎo)點(diǎn)，比較f（0）＝0，f（）＝－，f（2）＝6可知f（x）在[0,2]上最大值為f（2）＝6，最小值為f（）＝－例4 設(shè)f（x）在上連續(xù)，且f（x）0,證明g（x）＝內(nèi)單調(diào)增加證：當(dāng)x0時(shí)，因?yàn)?g（x）在內(nèi)單調(diào)增加二、積分證明題例設(shè)f（x）在[0,]上連續(xù)，，求證存在證：令F（x）＝ 則F(0)＝0，F(xiàn)()＝0，又0＝＝＋＝如果F(x)sinx在（0,）內(nèi)恒為正，恒為負(fù) 則也為正或?yàn)樨?fù)，與上面結(jié)果矛盾，故存在使，而sin，所以F（）＝0 于是在區(qū)間上分別用羅爾定理，則存在使，存在＝0，其中例設(shè)在[0,1]上有連續(xù)的一階導(dǎo)數(shù)，且f（0）＝f（1）＝0，試證：，其中M＝證：用拉格朗日中值定理f（x）＝f（x）－f（0）＝，其中f（x）＝f（
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