2008xdf高數強化講義03高等數學講義汪誠義第三章★【漢魅huntmine—校內校外學習資源高速下載】(編輯修改稿)
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【文章內容簡介】 A，則f（x）＝lnx－A，兩邊從1到e進行積分，得＝－＝（xlnx－x）－A（e－1）于是A＝e－（e－1）－A（e－1），eA＝1，A＝，則＝例 設f（x）連續(xù)，且，f（1）＝1，求解：變上限積分的被積函數中出現上限變量必須先處理，令u＝2x－t，則－＝2x－（u0）代入條件方程后，兩邊對x求導，得三、遞推方法例設＝（n＝0，1，2，……）（1） 求證當n2時，＝（2） 求解：（1）＝＝－xcosx＋ ＝(n—1) =(n—1) =(n—1) －（n－1） n＝(n—1) ，則＝（n）（2）＝，＝1，當n＝2k 正偶數時，＝＝＝ ＝＝當n＝2k＋1 正奇數時，＝＝＝＝＝例設＝ ，求證＝ 證：令x＝—t, == 則＝ 例設＝ 求證＝解：＝＝＝ 例4：計算（n為正整數）解一：令x＝cost＝＝＝解二：＝ ＝－ ＝－＝… ＝ ＝＝四、 廣義積分例 計算I＝解：I＝＝＝－ ＝－＋＝＋＝＝0＝ ＝＝ln＝ln1－ln＝ln2（這里＝ln1＝0） 于是I＝＋＝ln2例2 計算解：令x＝ ，I＝＝由于＝ I＝== = arctan ==167。 有關變上（下）限積分和積分證明題一、 有關變上（下）限積分例設f（x）= (常數)，求解： ＝＝－ ＝－＝例設f（x）在內可導，f（1）＝，對所有x，t，均有，求f（x）解：把所給方程兩邊求x求導，tf（xt）＝tf（x）＋du把x＝1代入，得 tf（t）＝ 再兩邊對t求導，得f（t）＋t＝于是，則f（t）=lnt + C ,令t=1代入得C=f（1）＝ ，所以f（x）＝（lnx+1）例3 設f（x）為連續(xù)函數，且滿足＋2＝，求f（x）在[0,2]上的最大值與最小值。解：先從方程中求出f（x），為此方程兩邊對x求導＝ =而=因此 兩邊再對x求導，得2f（2x）＝24－12x＝6 f（x）＝3 ＝6x－3，令＝0 得駐點 x＝又在[0,2]上f（x）沒有不可導點，比較f（0）＝0，f（）＝－，f（2）＝6可知f（x）在[0,2]上最大值為f（2）＝6，最小值為f（）＝－例4 設f（x）在上連續(xù)，且f（x）0,證明g（x）＝內單調增加證：當x0時，因為 g（x）在內單調增加二、積分證明題例設f（x）在[0,]上連續(xù)，，求證存在證：令F（x）＝ 則F(0)＝0，F()＝0，又0＝＝＋＝如果F(x)sinx在（0,）內恒為正，恒為負 則也為正或為負，與上面結果矛盾，故存在使，而sin，所以F（）＝0 于是在區(qū)間上分別用羅爾定理，則存在使，存在＝0，其中例設在[0,1]上有連續(xù)的一階導數，且f（0）＝f（1）＝0，試證：，其中M＝證：用拉格朗日中值定理f（x）＝f（x）－f（0）＝，其中f（x）＝f（
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