[計(jì)算機(jī)軟件及應(yīng)用]matlab中的向量運(yùn)算(編輯修改稿)
2024-09-14 16:27 本頁面
【文章內(nèi)容簡介】 ns = condest（h）ans = +012可見雖然各條件數(shù)的計(jì)算數(shù)值并不相同，但結(jié)論是一致的，即此矩陣是嚴(yán)重病態(tài)的。4．特征值的條件數(shù)在求解矩陣的特征值時(shí)也會(huì)遇到“病態(tài)”問題，此時(shí)就需要引入特征值的條件數(shù)，其具體求解算法可參見參考資料【3】。在MATLAB中有專門用于求解特征值條件數(shù)的函數(shù)condeig。 其調(diào)用形式為：condeig（A）或[V，D，s] = condeig（A）其中[V，D，s] = condeig（A）等同于[V，D] = eig（A） 和s = condeig（A）。其中V是特征向量組成的矩陣，其列向量是特征向量，D的對(duì)角元素是對(duì)應(yīng)的特征值，s是對(duì)應(yīng)的特征值條件數(shù)。【】 計(jì)算下面矩陣的特征值條件數(shù)。 a=[149 50 154。537 180 546。27 9 25]a= 149 50 154 537 180 546 27 9 25 [V，D，s] = condeig（a）V= D= 0 0 0 0 0 0 s= 5．范數(shù)函數(shù)矩陣（向量）的范數(shù)是矩陣（向量）的一種量度，它可分為1范數(shù)、2范數(shù)、無窮范數(shù)和F范數(shù)等。其中最常用的是2范數(shù)，也即平方和范數(shù)。范數(shù)的計(jì)算可由函數(shù)norm和normest實(shí)現(xiàn)，其中norm的調(diào)用格式為cond（X，P），P的取值可以是inf或fro；而normest只能計(jì)算矩陣2范數(shù)的估計(jì)值。 6．秩函數(shù) 矩陣的秩的求解可由函數(shù)rank實(shí)現(xiàn)。 【例如】e= 1 1 1 5 2 2 2 5 3 3 3 5 rank（e）ans = 27．跡函數(shù)矩陣所有對(duì)角線上元素的和稱為矩陣的跡，在MATLAB中可由trace函數(shù)計(jì)算得出?！尽?求前面例中由M文件建立的矩陣的跡。 exampleexm = 456 468 873 2 579 55 21 687 54 488 8 13 65 4656 88 98 21 5 475 68 4596 654 5 987 5488 10 9 6 33 77 trace（exm）ans = 19188．零空間函數(shù)求一矩陣的零空間矩陣的函數(shù)為null，看下面的例子。A= 1 2 3 1 2 31 2 3 null（A）ans = null（A，39。r39。）ans = 2 3 1 0 0 19．正交空間函數(shù)函數(shù)orth用來求矩陣的一組正交基。下面求前面的exm矩陣的正交矩陣。 orth（exm）ans = 10．偽逆函數(shù)矩陣的偽逆函數(shù)在求解系數(shù)矩陣為嚴(yán)重“病態(tài)”的問題時(shí)可避免“偽解”的產(chǎn)生。矩陣的偽逆由函數(shù)pinv實(shí)現(xiàn)?！纠纭?a=magic（4） %生成4階的魔方陣a= 16 2 3 13 5 11 10 8 9 7 6 12 4 14 15 1 inv（a） %常規(guī)方法求逆Warning: Matrix is close to singular or badly scaled. Results may be inaccurate. RCOND = .ans = +014 * pinv（a） %偽逆ans = ans = 0 8 0 0 pinv（a）*bans = 11．通用函數(shù)形式以上所介紹的針對(duì)矩陣的函數(shù)形式在實(shí)際運(yùn)算中是遠(yuǎn)遠(yuǎn)不夠的，對(duì)常用的其他運(yùn)算，如三角函數(shù)運(yùn)算和雙曲函數(shù)運(yùn)算等，需要一種能夠使用這些通用函數(shù)的形式。在MATLAB中使用通用函數(shù)的格式為funm（A，39。funname39。），其中A為輸入矩陣變量，funname為調(diào)用的函數(shù)名。如funm（b，39。log39。），其作用同于logm（b），而funm（b，39。sqrt39。）同于sqrtm（b）。因此，需要對(duì)常用的函數(shù)有個(gè)全面的了解。 基本函數(shù)表 特殊函數(shù)表 矩陣分解函數(shù)1．特征值分解矩陣的特征值分解也調(diào)用函數(shù)eig，為了分解，還要在調(diào)用時(shí)作一些形式上的變化，如：l [V，D] = eig（X）此函數(shù)得到矩陣X的特征值對(duì)角矩陣D和其列為對(duì)應(yīng)特征值的特征向量矩陣V，于是矩陣的特征值分解為XV = VD。l [V，D] = eig（X，39。nobalance39。）此形式為關(guān)閉平衡算法的求解方法。平衡算法對(duì)于某些問題可以得到更高的準(zhǔn)確度。l [V，D] = eig（A，B）對(duì)矩陣A和B作廣義特征值分解，即AV = BVD【】 矩陣的特征值分解演示。l 單矩陣的特征值分解 a=[149 50 154。537 180 546。27 9 25]； [v，d]=eig（a）v= d= 0 0 0 0 0 0 l 雙矩陣的廣義特征值分解 b=[2 10 2。10 5 8。2 8 11]； [v，d]=eig（a，b）v= d= 0 0 0 0 0 0 2．復(fù)數(shù)特征值對(duì)角陣與實(shí)數(shù)塊特征值對(duì)角陣的轉(zhuǎn)化即使是對(duì)于實(shí)陣，其特征值也可能出現(xiàn)復(fù)數(shù)。而在實(shí)際使用中，常需要把這些共軛復(fù)數(shù)特征值轉(zhuǎn)化為實(shí)數(shù)塊。為此，MATLAB提供了兩個(gè)進(jìn)行此項(xiàng)轉(zhuǎn)化的函數(shù)cdf2rdf和rsf2csf。[V，D] = cdf2rdf（V，D）將復(fù)數(shù)對(duì)角型轉(zhuǎn)化成實(shí)數(shù)塊對(duì)角型。[U，T] = rsf2csf（U，T）將實(shí)數(shù)塊轉(zhuǎn)化成復(fù)數(shù)對(duì)角型。【】 復(fù)實(shí)特征值對(duì)角陣的轉(zhuǎn)化演示。 a=[1 3。2 2/3]。 [v，d]=eig（a）v= + 0 + 0 d= + 0 0 [vs，ds]=cdf2rdf（v，d）vs = 0 ds = vs*ds/vsans = 由此可見此值等于a矩陣。 基本數(shù)組運(yùn)算為了對(duì)比矩陣運(yùn)算和數(shù)組運(yùn)算的不同，本節(jié)完全按照上一節(jié)的順序，讀者可以對(duì)照來看，這樣更能領(lǐng)會(huì)到矩陣運(yùn)算和數(shù)組運(yùn)算的異同。1．?dāng)?shù)組的四則運(yùn)算在舊版本的數(shù)組四則運(yùn)算中，加減運(yùn)算與矩陣運(yùn)算中的幾乎完全相同，同樣要求運(yùn)算雙方維數(shù)相同，所得結(jié)果為對(duì)應(yīng)元素的加減，只不過是數(shù)組運(yùn)算中的運(yùn)算符多了一個(gè)小圓點(diǎn)，即“.+”和“.”，但在MATLAB的新版本中，這兩個(gè)命令
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