級數(shù)競賽講義word版(編輯修改稿)
2024-09-13 06:54 本頁面
【文章內容簡介】 級數(shù)，單調減少，試證明級數(shù)收斂的充分必要條件是級數(shù)收斂。 證明 記 ，則另一方面24. 數(shù)列由公式，（，）確定，證明級數(shù)收斂的充分必要條件是數(shù)列收斂。證明 由條件得，且，所以。關鍵式為 25. 判斷級數(shù)的斂散性，已知其一般項與部分和有如下關系 ,.解 由，有，解得，可求得。故級數(shù)收斂。26. 設，求證級數(shù)收斂。證明 記通項為，則==，故級數(shù)收斂。27. 討論級數(shù)的斂散性與參數(shù)的關系。分析 充分大時，級數(shù)為正項級數(shù)。變形通項 ，這里而，取，求得即知。28. 已知，求級數(shù)的和。解 29. 求下列級數(shù)的和（1），（2）。解（1）原式（2）30. 求下列級數(shù)的和（1）,（2），（3）。分析 解 級數(shù)的和分別為（1），（2），（3）31. 設（定數(shù)），試證級數(shù)收斂，其中為正整數(shù)并求其和。分析：，通項為和為32. (BJ13）設為正整數(shù)，是中的系數(shù)，求。 解 ，33. 設為正整數(shù)，且，求的和。解 34. 設，判別級數(shù)的斂散性。解 ，所以，當時，級數(shù)收斂；當時，令（利用不等式 所以級數(shù)發(fā)散。35. 令，求級數(shù)的和。解 通項變形 =+ =注：這里已知36. 求下列級數(shù)的和（1）；（2）解 （1）記，則級數(shù)部分和為 （2）級數(shù)部分和為= 注意：這里運算不能寫成，因為相減的兩級數(shù)是發(fā)散的。37. (BJ13）（1）構造一正項級數(shù)，可用根值法審斂而不能用比值法審斂。（2）構造和，使得，但二級數(shù)斂散性不同。解 （1），（2）與 。38. 兩個正項級數(shù)，滿足，討論兩個級數(shù)斂散性之間的關系。分析： 是單調遞減有下界的數(shù)列必有極限，用比較法即得。39. (B J12)設在的鄰域內有一階連續(xù)導數(shù)，且，證明條件收斂。40. 設偶函數(shù)的二階導數(shù)在的鄰域
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