級(jí)數(shù)競賽講義word版(編輯修改稿)
2025-09-13 06:54 本頁面
【文章內(nèi)容簡介】 級(jí)數(shù)，單調(diào)減少，試證明級(jí)數(shù)收斂的充分必要條件是級(jí)數(shù)收斂。 證明 記 ，則另一方面24. 數(shù)列由公式，（，）確定，證明級(jí)數(shù)收斂的充分必要條件是數(shù)列收斂。證明 由條件得，且，所以。關(guān)鍵式為 25. 判斷級(jí)數(shù)的斂散性，已知其一般項(xiàng)與部分和有如下關(guān)系 ,.解 由，有，解得，可求得。故級(jí)數(shù)收斂。26. 設(shè)，求證級(jí)數(shù)收斂。證明 記通項(xiàng)為，則==，故級(jí)數(shù)收斂。27. 討論級(jí)數(shù)的斂散性與參數(shù)的關(guān)系。分析 充分大時(shí)，級(jí)數(shù)為正項(xiàng)級(jí)數(shù)。變形通項(xiàng) ，這里而，取，求得即知。28. 已知，求級(jí)數(shù)的和。解 29. 求下列級(jí)數(shù)的和（1），（2）。解（1）原式（2）30. 求下列級(jí)數(shù)的和（1）,（2），（3）。分析 解 級(jí)數(shù)的和分別為（1），（2），（3）31. 設(shè)（定數(shù)），試證級(jí)數(shù)收斂，其中為正整數(shù)并求其和。分析：，通項(xiàng)為和為32. (BJ13）設(shè)為正整數(shù)，是中的系數(shù)，求。 解 ，33. 設(shè)為正整數(shù)，且，求的和。解 34. 設(shè)，判別級(jí)數(shù)的斂散性。解 ，所以，當(dāng)時(shí)，級(jí)數(shù)收斂；當(dāng)時(shí)，令（利用不等式 所以級(jí)數(shù)發(fā)散。35. 令，求級(jí)數(shù)的和。解 通項(xiàng)變形 =+ =注：這里已知36. 求下列級(jí)數(shù)的和（1）；（2）解 （1）記，則級(jí)數(shù)部分和為 （2）級(jí)數(shù)部分和為= 注意：這里運(yùn)算不能寫成，因?yàn)橄鄿p的兩級(jí)數(shù)是發(fā)散的。37. (BJ13）（1）構(gòu)造一正項(xiàng)級(jí)數(shù)，可用根值法審斂而不能用比值法審斂。（2）構(gòu)造和，使得，但二級(jí)數(shù)斂散性不同。解 （1），（2）與 。38. 兩個(gè)正項(xiàng)級(jí)數(shù)，滿足，討論兩個(gè)級(jí)數(shù)斂散性之間的關(guān)系。分析： 是單調(diào)遞減有下界的數(shù)列必有極限，用比較法即得。39. (B J12)設(shè)在的鄰域內(nèi)有一階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，且，證明條件收斂。40. 設(shè)偶函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù)在的鄰域
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