《級(jí)數(shù)競(jìng)賽講義》word版-預(yù)覽頁(yè)
【正文】 由比較判別法極限形式知收斂。證明：（1）該數(shù)列為正值單增列，所以（），有，對(duì)也成立。分析：（級(jí)數(shù)的柯西收斂準(zhǔn)則）收斂利用條件對(duì)估值。8. 若正項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂，且單調(diào)減少，證明：收斂。（1），(注這里2可以換成3，4等)此時(shí) 表明發(fā)散。只需利用微分中值公式， 即得 ，仿上得證。（2），因級(jí)數(shù)收斂11. 判別級(jí)數(shù)的斂散性。12. 判別下列級(jí)數(shù)的斂散性。（3）若，通項(xiàng)，原級(jí)數(shù)發(fā)散；若， ，取滿(mǎn)足 ，記，=，所以收斂，原級(jí)數(shù)收斂。14. 討論下列級(jí)數(shù)的斂散性。當(dāng)不為整數(shù)時(shí)，級(jí)數(shù)發(fā)散。16. 設(shè)，試證明當(dāng)時(shí)級(jí)數(shù)收斂，當(dāng)時(shí)級(jí)數(shù)發(fā)散。如取，這也是題中時(shí)斂散不定情形。18. 設(shè)正項(xiàng)數(shù)列單調(diào)減少，若級(jí)數(shù)發(fā)散，證明級(jí)數(shù)收斂。解 級(jí)數(shù)的通項(xiàng)當(dāng)時(shí)，即時(shí)級(jí)數(shù)收斂。22. 設(shè)，定義，其中，證明發(fā)散。證明 由條件得，且，所以。證明 記通項(xiàng)為，則==，故級(jí)數(shù)收斂。28. 已知，求級(jí)數(shù)的和。分析：，通項(xiàng)為和為32. (BJ13）設(shè)為正整數(shù)，是中的系數(shù)，求。35. 令，求級(jí)數(shù)的和。解 （1），（2）與 。40. 設(shè)偶函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù)在的鄰域內(nèi)連續(xù)，且，證明絕對(duì)收斂。前者發(fā)散，后者收斂，故原級(jí)數(shù)發(fā)散。試證明（1），（2）。45. 設(shè)為正項(xiàng)數(shù)列。分析 利用歐拉公式，考慮 和分別為： 與47. 證明當(dāng)時(shí)級(jí)數(shù)與收斂并求其和。解 （i）若收斂于S，則由比較法極限形式，顯然收斂。解 （1），記，則。解 令，記則,所以原級(jí)數(shù)的和函數(shù)為55. (BJ7）已知為： 。(4) 通項(xiàng)變形為,因?yàn)?，?jí)數(shù)的和為157. 令，證明：級(jí)數(shù)收斂，并求和。解 級(jí)數(shù)變?yōu)? （）62. 已知某級(jí)數(shù)的部分和為，其中。解 （1）令左式為，則 利用，所以。（2）記分子為S, 分母為T(mén), 則所以原式。記，用分部積分法計(jì)算，得證。證明當(dāng)時(shí)冪級(jí)數(shù)收斂，并求其和函
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