第二講極限word版(編輯修改稿)
2025-09-13 06:02 本頁面
【文章內容簡介】 由單調有界原理知數(shù)列收斂。證法4（利用確界原理）先證不等式事實上，由均值不等式，.固定不等式中的一個，表明數(shù)列有上界，由確界定理，有上確界于是，故由迫斂性證法5（用初等方法）將展開逐項比較，可證得數(shù)列單調有界。例2證明數(shù)列收斂，其中思路：分三種情形討論。例3設，數(shù)列滿足，證明例4設，證明數(shù)列的極限存在，并求極限。說明：對于數(shù)列，如果滿足，則必有，此時稱滿足這個條件的數(shù)列為壓縮變差數(shù)列。例5（作業(yè)）設數(shù)列滿足，證明數(shù)列收斂，并求該極限。例6設，證明數(shù)列收斂。（第二屆全國大學生數(shù)學競賽第1題部分）例7（作業(yè)）若，證明數(shù)列都存在，且它們相等。例8數(shù)列收斂其子列都收斂于同一極限?；仡櫍簲?shù)列與子列的關系（1） 數(shù)列收斂任一子列都收斂（一定收斂于同一個數(shù)）。（2） 數(shù)列有界，必有收斂的子列。（致密性定理）例9設，證明數(shù)列收斂，并求極限。思路：用例8的結論。例10證明不存在。法1：思路，用例8反證法2：用苛西準則的否定形式證明。例11（作業(yè)）設證明：（1）； （2）； （3）例11（作業(yè)）用單調有界原理證明數(shù)列收斂，并求其極限。例12（作業(yè)）對每個自然數(shù)，方程在閉區(qū)間中有唯一根（怎么證明？），求例13證明函數(shù)在處不收斂。證法1：思路，歸結原理證法2：思路，苛西收斂準則例14設為有限數(shù)，的充分必要條件是對每個嚴格增加的正無窮大數(shù)列，都有例15（類似于單調有界原理）證明：在區(qū)間上單調有界函數(shù)一定存在極限證法1：思路，用單調有界原理與例14；證法2：確界原理作業(yè)：證明求提示：求設，求證明：Dirichlet函數(shù)四、極限的一些方法極限的存在性與求極限的方法是不能完全分開的。求極限的方法，從本質上講，也是在從某種角度去探討極限的存在性，只不過這里的極限的存在是直接用計算的方法找得出來的。在構造主義學派里，這種“存在”才是“實實在在”的存在，他們不承認其他的存在。因此，我們將這部分單獨列出來。一般方法：定義，性質，迫斂性，單調有界原理，歸結原理，利用函數(shù)的連續(xù)性，重要極限，苛西準則，羅必達法則，等價無窮小例1求極限例2求極限（高等
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