[理學]第十一章無窮級數(編輯修改稿)
2025-09-13 02:49 本頁面
【文章內容簡介】 n (x)=s(x)sn(x). 在收斂域上有. 例1 求下列函數項級數的收斂域：（1） （2） 二、冪級數及其收斂性 冪級數: 函數項級數中簡單而常見的一類級數就是各項都冪函數的函數項級數, 這種形式的級數稱為冪級數, 它的形式是 a0+a1x+a2x2+ +anxn+ , 其中常數a0, a1, a2, , an , 叫做冪級數的系數. 注: 冪級數的一般形式是 a0+a1(xx0)+a2(xx0)2+ +an(xx0)n+ , 經變換t=xx0就得a0+a1t+a2t2+ +antn+ .教 學 內 容批注 定理1 (阿貝爾定理) 如果級數∑anxn當x=x0 (x0185。0)時收斂, 則適合不等式|x||x0|的一切x使這冪級數絕對收斂. 反之, 如果級數∑anxn當x=x0時發(fā)散, 則適合不等式|x||x0|的一切x使這冪級數發(fā)散. 提示: ∑anxn是的簡記形式. 證 先設x0是冪級數的收斂點, 即級數收斂. 根據級數收斂的必要條件, 有, 于是存在一個常數M, 使| anx0n |163。M(n=0, 1, 2, ). 這樣級數的的一般項的絕對值.因為當|x||x0|時, 等比級數收斂, 所以級數收斂,也就是級數∑anxn絕對收斂.定理的第二部分可用反證法證明. 倘若冪級數當x=x0時發(fā)散而有一點x1適合|x1||x0|使級數收斂, 則根據本定理的第一部分, 級數當x=x0時應收斂, 這與所設矛盾. 定理得證. 推論 如果級數不是僅在點x=0一點收斂, 也不是在整個數軸上都收斂, 則必有一個完全確定的正數R存在, 使得 當|x|R時, 冪級數絕對收斂。 當|x|R時, 冪級數發(fā)散。 當x=R與x=R時, 冪級數可能收斂也可能發(fā)散. 教 學 內 容批注收斂半徑與收斂區(qū)間: 正數通常叫做冪級數的收斂半徑. 開區(qū)間(R, R)叫做冪級數的收斂區(qū)間. 再由冪級數在x=177。R處的收斂性就可以決定它的收斂域. 冪級數的收斂域是(R, R)(或[R, R)、(R, R]、[R, R]之一. 規(guī)定: 若冪級數只在x=0收斂, 則規(guī)定收斂半徑R=0 , 若冪級數對一切x都收斂, 則規(guī)定收斂半徑R=+165。, 這時收斂域為(165。, +165。). 定理2 設冪級數系數…，如果, 則這冪級數的收斂半徑 簡要證明: . (1)如果0r+165。, 則只當r|x|1時冪級數收斂, 故. (2)如果r=0, 則冪級數總是收斂的, 故R=+165。. (3)如果r=+165。, 則只當x=0時冪級數收斂, 故R=0. 教 學 內 容批注例1 求冪級數的收斂半徑與收斂域. 解 因為所以收斂半徑為. 當x=1時, 冪級數成為, 是收斂的。 當x=1時, 冪級數成為, 是發(fā)散的. 因此, 收斂域為(1, 1]. 例2 求冪級數的收斂域. 解 因為, 所以收斂半徑為R=+165。, 從而收斂域為(165。, +165。). 例3 求冪級數的收斂半徑. 解 因為 , 所以收斂半徑為R=0, 即級數僅在x=0處收斂. 教 學 內 容批注 例4 求冪級數的收斂半徑. 解 級數缺少奇次冪的項, 定理2不能應用. 可根據比值審斂法來求收斂半徑: 冪級數的一般項記為.因為 當4|x|21即時級數收斂。 當4|x|21即時級數發(fā)散, 所以收斂半徑為.提示: 例5 求冪級數的收斂域. 解 令t=x1, 上述級數變?yōu)? 因為 , 所以收斂半徑R=2. 教 學 內 容批注當t=2時, 級數成為, 此級數發(fā)散。 當t=2時, 級數成為, 此級數收斂. 因此級數的收斂域為2163。t2. 因為2163。x12, 即1163。x3, 所以原級數的收斂域為[1, 3). 三、冪級數的運算 設冪級數及分別在區(qū)間(R, R)及(R162。, R162。)內收斂, 則在(R, R)與(R162。, R162。)中較小的區(qū)間內有加法: , 減法: , 乘法: =a0b0+(a0b1+a1b0)x+(a0b2+a1b1+a2b0)x2+(a0bn+a1bn1+ +anb0)xn+ 性質1 冪級數的和函數s(x)在其收斂域I上連續(xù). 如果冪級數在x=R (或x=R)也收斂, 則和函數s(x)在(R, R](或[R, R))連續(xù). 教 學 內 容批注性質2 冪級數的和函數s(x)在其收斂域I上可積, 并且有逐項積分公式 (x206。I ), 逐項積分后所得到的冪級數和原級數有相同的收斂半徑. 性質3 冪級數的和函數s(x)在其收斂區(qū)間(R, R)內可導, 并且有逐項求導公式 (|x|R), 逐項求導后所得到的冪級數和原級數有相同的收斂半徑. 例6 求冪級數的和函數. 解 求得冪級數的收斂域為[1, 1). 設和函數為s(x), 即, x206。[1, 1). 顯然s(0)=1. 在的兩邊求導得 對上式從0到x積分
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鄂ICP備17016276號-1