【文章內(nèi)容簡介】 ，即可作應(yīng)變圓 。 作 ?a 、 ? b 和 ? c 三條豎線 ； 五、極值和優(yōu)化問題 利用函數(shù)導(dǎo)數(shù)求極值 結(jié)構(gòu)的優(yōu)化 張量的極值就是其主值 利用極值出現(xiàn)處的性質(zhì)和特點(diǎn)求極值 提示 應(yīng)力、應(yīng)變、慣性矩和慣性積這三類量都是張量。 應(yīng)力的極值問題有三個(gè)層面：（ 1）是桿件中哪個(gè)橫截面上的應(yīng)力 ？（ 2）是該橫截面上哪個(gè)點(diǎn)的應(yīng)力 ？（ 3）是該點(diǎn)處哪個(gè)方位上的應(yīng)力？ 第三個(gè)層面上的極值問題的實(shí)質(zhì)就是主應(yīng)力和主方向。 六、非線性問題 物理非線性 應(yīng)力與應(yīng)變關(guān)系非線性，荷載與變形關(guān)系非線性 提示 注意物理非線性不影響靜定結(jié)構(gòu)的內(nèi)力，僅影響其變形。 物理非線性必定影響超靜定結(jié)構(gòu)的內(nèi)力。 AFN?? 在拉壓、扭轉(zhuǎn)和彎曲等橫截面應(yīng)力公式中，只有拉壓應(yīng)力公式可以直接用于物理非線性問題之中。 PIrT??zIyM??L 45176。 A B C F 例 圖示結(jié)構(gòu)中， AB 材料應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系為 ， AC 為 ， 兩桿橫截面積相同，試求 A 點(diǎn)鉛垂位移。 ?? E?? ?? E?–F ?2 F – 根據(jù)平衡求出各桿內(nèi)力。 各桿線應(yīng)變 2?????? ?? EABAB ??2?????? ?? AEN AB22???????? AEFEAFEANE ACACAC ?????各桿變形量 22)(22ΔAELFLLABABAB ??? ? EAFLLAC ?ΔA A39。 P Q R S RSARv A ?? AQAP ?? 2 ? ????? EAFLAELF )(4 2六、非線性問題 物理非線性 分段線性問題 當(dāng)構(gòu)件某些部位或某些區(qū)段進(jìn)入了塑性，有可能使外荷載與變形量之間呈現(xiàn)出分段線性的形態(tài)。 應(yīng)力與應(yīng)變關(guān)系非線性，荷載與變形關(guān)系非線性 例 在兩端固定的桿件截面 C 上 ， 沿軸線作用的 F 力由零緩慢地增長至桿件完全進(jìn)入塑性。 b a ，桿件的橫截面積為 A ， 材料的彈性模量為 E，屈服極限為 ? S 。根據(jù)理想彈塑性模型，畫出截面 C 的位移 uC 隨 F 力變化的圖像。 b a A C B F 先考慮左右兩段均處于彈性階段的情況。 設(shè)兩段的軸力分別為拉力 FNA 和壓力 FNB ，則有 FFF BA ?? NN0NN ?? EA bFEA aF BANA NB 可得 Fba bF A ??N Fba aF B ??N)(e baEAF a buC ??例 在兩端固定的桿件截面 C 上 ， 沿軸線作用的 F 力由零緩慢地增長至桿件完全進(jìn)入塑性。 b a ，桿件的橫截面積為 A ， 材料的彈性模量為 E，屈服極限為 ? S 。根據(jù)理想彈塑性模型，畫出截面 C 的位移 uC 隨 F 力變化的圖像。 先考慮左右兩段均處于彈性階段的情況。 設(shè)兩段的軸力分別為拉力 FNA 和壓力 FNB ，則有 FFF BA ?? NN0NN ?? EA bFEA aF BA 可得 Fba bF A ??N Fba aF B ??N)(e baEAF a buC ??b a A C B F NA NB b a A C B F NA NB 由于 b a ，故左段先進(jìn)入塑性。 左段剛進(jìn)入塑性時(shí)， AbbaFS????Eau SC???F uC F? uC? 荷載繼續(xù)增加時(shí)， 右段的軸力 AFF B SN ????AF A SN ???左段的軸力 ?S A EAbAFuC)( Se????C 截面的位移取決于右段 Fba bF A ??N Fba aF B ??N)(e baEAF a buC ??F uC F? uC? 由于 b a ，故左段先進(jìn)入塑性。 左段剛進(jìn)入塑性時(shí)， AbbaFS????Eau SC???荷載繼續(xù)增加時(shí)， 右段的軸力 AFF B SN ????AF A SN ???左段的軸力 EAbAFuC)( Se????C 截面的位移取決于右段 b a A C B F NA NB ?S A Fba bF A ??N Fba aF B ??N)(e baEAF a buC ??F uC F? uC? b a A C B F ?S A NB AFF B SN ????AF A SN ??? EA bAFu C )( Se ????當(dāng) 時(shí)， AAFF B SSN ?? ????AF S2???? Ebu C S????uC?? F?? 分析和討論 如果不卸載，加載曲線將如何進(jìn)一步發(fā)展？ Fba bF A ??N Fba aF B ??N)(e baEAF a buC ???S A ?? F uC F? uC? uC?? F?? 提示 在某些超靜定結(jié)構(gòu)中，即使本構(gòu)關(guān)系是線性的，荷載位移關(guān)系也會(huì)呈現(xiàn)出分段線性的情況。 分析和討論 圖示結(jié)構(gòu)中，荷載 F 和 C 點(diǎn)位移的關(guān)系會(huì)是 分段線性的嗎？ F ? EI EI C 荷載 F 和 C 點(diǎn)位移的關(guān)系圖線具有什么趨勢 ？ 例 如果在右段剛進(jìn)入塑性時(shí)即開始卸載，直到外荷載為零。求殘余應(yīng)力和 C 截面殘余位移。 卸載可認(rèn)為是附加上反向荷載 F?? 。 AF S2???? Ebu C S????彈性階段 Fba bF A ??N Fba aF B ??NF uC F? uC? uC?? F?? 右梁剛進(jìn)入塑性 )(e baEAF a buC ?? 反向荷載 F?? 相應(yīng)的變形滿足 Hooke 定律。 b a A C B ?S A ?S A F?? NA NB NB F?? F uC F? uC? uC?? F?? 卸載可認(rèn)為是附加上反向荷載 F?? 。 AF S2???? Ebu C S????彈性階段 Fba bF A ??N Fba aF B ??N)(e baEAF a buC ?? 反向荷載 F?? 相應(yīng)的變形滿足 Hooke 定律。 例 如果在右段剛進(jìn)入塑性時(shí)即開始卸載，直到外荷載為零。求殘余應(yīng)力和 C 截面殘余位移。 右梁剛進(jìn)入塑性 b a A C B F?? NA NB F?? b a A C B F?? NA NB F?? Fba aF ??NBEbuCS????左段附加壓力 Fba bF ???????NA ba Ab?? S2 ?右段附加拉力 Fba aF ???????NB ba Aa?? S2 ?C 截面的附加位移 )( baEAabFuC ???????)(2 SbaEab???左段殘余應(yīng)力 SNSr ??? ababAF AAB ?????????右段殘余應(yīng)力 SNSr ??? ababAF BBC ??????????C 截面的 殘余 位移 ababEbuuuCC ??????????? Sr?Fba bF ??NA)(e baEAF a buC ?? AF S2????例 半徑為 R 的剛性圓盤在圓周上由六 根等距排列且完全一樣的立柱支撐。 豎向集中力 F 可在圓盤上自由平行移動(dòng)。立柱柔度很小，但其屈服極限 ? S 為 F / 4 。 如果要使每一根立柱都不進(jìn)入塑性， F 應(yīng)該限制在什么區(qū)域內(nèi)？如果要使圓盤不致于傾翻， F 應(yīng)該限制在什么區(qū)域內(nèi)？ A B C D E F O 與失穩(wěn)分析類似，若要 每一根立柱都不進(jìn)入塑性， F 應(yīng)該限制在圖示藍(lán)色區(qū)域內(nèi)。要使圓盤不致于傾翻， F 應(yīng)該限制在橙色區(qū)域內(nèi)。 L F R x y A L F R C D E x y O F A B A 分析和討論 如果荷載進(jìn)入如圖的橙色區(qū)域后再返回藍(lán)色區(qū)域，已進(jìn)入塑性的桿件能完全回復(fù)到彈性狀態(tài)嗎？ 荷載從原點(diǎn)出發(fā)，沿不同路徑進(jìn)入橙色區(qū)域再返回原點(diǎn)，剛性板的豎向位移相同嗎？ L F R C D E x y O F A B A 例 各桿抗拉剛度均為 EA，屈服極限均為 ? S = F / 4 ?，F(xiàn)荷載由 O 點(diǎn)緩慢移動(dòng)到 K 點(diǎn)后再返回到 O 點(diǎn)， A 桿處的豎向位移是如何變化的？ K 顯見，剛在 O 點(diǎn)加上荷載時(shí) A 點(diǎn)的豎向位移為 ? ??? EAFLv A 60荷載在 K 點(diǎn)時(shí) A 桿處的位移 此時(shí) A、 B、 F 桿 進(jìn)入塑性，它們對圓盤的支承力將保持為 F / 4 ， 但不會(huì)對圓盤的位移形成約束。 F F 例 各桿抗拉剛度均為 EA，屈服極限均為 ? S = F / 4 ?，F(xiàn)荷載由 O 點(diǎn)緩慢移動(dòng)到 K 點(diǎn)后再返回到 O 點(diǎn)， A 桿處的豎向位移是如何變化的？ 顯見，剛在 O 點(diǎn)加上荷載時(shí) A 點(diǎn)的豎向位移為 ? ??? EAFLv A 60荷載在 K 點(diǎn)時(shí) A 桿處的位移 此時(shí) A、 B、 F 桿 進(jìn)入塑性，它們對圓盤的支承力將保持為 F / 4 ， 但不會(huì)對圓盤的位移形成約束。 L F R C D E x y O F A B A K C D E x y O F A B A K FR yRxN C ?????? ??? 3 341 FRxN D ?????? ??? 243FR yRxN E ?????? ??? 3 341C、 D、 E 桿的軸力分別為： FNN EC 4111 ??? FN D 411 ?（壓） （拉） L F R C 、 D 處的豎向位移為： ? ??? EAFLL D 4Δ 1? ??? EAFLL C 4Δ 1A 處的豎向位移為： ? ??? EAFLL A 47Δ 1 ? ??? EAFLv A 471即 R / 2 R / 2 R C D E x y O F A B A K L F R FR yRxN C ?????? ??? 3 341 FRxN D ?????? ??? 243FR yRxN E ?????? ??? 3 341C、 D、 E 桿的軸力分別為： FNN EC 4111 ??? FN D 411 ?（壓） （拉） C 、 D 處的豎向位移為： ? ??? EAFLL D 4Δ 1? ??? EAFLL C 4Δ 1A 處的豎向位移為： ? ??? EAFLL A 47Δ 1 ? ??? EAFLv A 471即 C D E x y O F A B A K L F R 荷載由 K 點(diǎn)返回到 O 點(diǎn)，相當(dāng)于原有荷載疊加上如圖的反方向荷載。 F F EAFLvA 471 ?反方向加載各桿相應(yīng)的軸力 FFRxN A 61361 ??????? ??FFR yRxNN FB 616 3661 ??????? ????FFRxN D 61361 ??????? ??FFR yRxNN EC 616 3661 ??????? ????F61?F121?F121??F61??L F R F EAFLvA 471 ?C D E x y O F A B A K 反方向加載各桿相應(yīng)的軸力 FFRxN A 61361 ??????? ??FFR yRxNN FB 616 3661 ??????? ????FFRxN D 61361 ??????? ??FFR yRxNN EC 616 3661 ??????? ????F61?F121?F121??F61?? 荷載由 K 點(diǎn)返回到 O 點(diǎn)，相當(dāng)于原有荷載