02-謂詞邏輯(編輯修改稿)
2024-09-12 00:52 本頁(yè)面
【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 ?Q(x,y)。 后兩種更改都使公式中量詞的約束范圍有所變動(dòng)。 31 對(duì)于公式中的自由變?cè)苍试S更改，這種更改叫做 代入 。自由變?cè)拇胱袷匾欢ǖ囊?guī)則， 該規(guī)則叫做 自由變?cè)拇?規(guī)則： 代入規(guī)則 ?對(duì)于謂詞公式中的自由變?cè)?，可以作代入，代入時(shí)需 對(duì)公式中出現(xiàn)該自由變?cè)拿恳惶庍M(jìn)行。 ?用作 代入的變?cè)c原公式中所有變?cè)拿Q不能相同 。 32 例： 對(duì) (?x)(P(y)?R(x,y))代入。 解 : 對(duì) y施行代入，經(jīng)代入后公式為 (?x)(P(z)?R(x,z)) 但 (?x)(P(x)?R(x,x))與 (?x)(P(z)?R(x,y)) 這兩種代入都是與規(guī)則不符的。 示 例 33 ?量詞作用域中的約束變?cè)?，?dāng)論域的元素是有限時(shí)，客體變?cè)乃锌赡艿娜〈强擅杜e的。 例： 設(shè)論域元素為 a1， a2 ， … ， an 則 (?x)A(x)?A(a1)?A(a2)?… ?A(an) (?x)A(x)?A(a1)?A(a2)?… ?A(an) ?量詞對(duì)變?cè)募s束，往往與量詞的次序有關(guān)。當(dāng)命題中有多個(gè)量詞，約定 從左到右 的次序讀出。需要注意的是 量詞次序不能顛倒 ，否則將與原命題意義不符。 說 明 34 作業(yè) ?P59 1(a)~(e)， 2(a)~(e) ?P62 1(a)~(e)， 3， 5， 7 ?P65 1， 2(a)(c)， 4， 5 35 25 謂詞演算的等價(jià)式與蘊(yùn)含式 定義 給定任何兩個(gè)謂詞公式 wff A和wff B，設(shè)它們有共同的個(gè)體域 E，若對(duì) A和 B的任一組變?cè)M(jìn)行賦值，所得命題的真值相同，則稱謂詞公式 A和 B在 E上是 等價(jià) 的，并記作：A?B 。 定義 給定任意謂詞公式 wff A,其個(gè)體域?yàn)?E，對(duì)于 A的所有賦值， wff A都為真，則稱wff A在 E上是 有效的 （或 永真的 ）。 36 定義 一個(gè)謂詞公式 wff A，如果在所有賦值下都為假，則稱該 wff A為不可滿足的。 定義 一個(gè)謂詞公式 wff A，如果至少在一種賦值下為真，則稱該 wff A為可滿足的。 37 在命題演算中，任一永真公式，其中同一命題變?cè)猛还饺〈鷷r(shí)，其結(jié)果也是永真公式，可以把這個(gè)情況推廣到謂詞公式之中，當(dāng)謂詞演算中的公式代替命題演算中永真公式的變?cè)獣r(shí)，所得的謂詞公式即為有效公式，故命題演算中的等價(jià)公式表和蘊(yùn)含式表都可以推廣到謂詞演算中使用。 例： (?x)(P(x)→ Q(x))?(?x)(?P(x)?Q(x)) (?x)P(x)?(?y)R(x,y)??(?(?x)P(x)? ?(?y)R(x,y)) (?x)H(x,y)??(?x)H(x,y)?F 命題公式的推廣 38 例： 設(shè) P(x)表示 x今天來校上課，則 ? P(x)表示 x今天沒有來校上課。 故 “ 不是所有人今天來上課 ” 與 “ 存在一些人今天沒有來上課 ” 在意義上相同 ， 即 ?(?x)P(x)?(?x) ?P(x) 又 ， “ 不是存在一些人今天來上課 ” 與“ 所有的人今天都沒有來上課 ” 在意義上相同 ， 即 ?(?x)P(x)?(?x)?P(x) 量詞與聯(lián)結(jié)詞 ?之間的關(guān)系。 39 于是得到公式： ?(?x)P(x)?(?x) ?P(x) ?(?x)P(x)?(?x)?P(x) ?這里約定 ， 出現(xiàn)在量詞之前的否定 ， 不是否定該量詞 ， 而是否定被量化了的整個(gè)命題 。 ?將量詞前面的 ?移到量詞的后面 去時(shí) ， 存在量詞改為全稱量詞 ， 全稱量詞改為存在量詞 ； 反之 ， 如將量詞后面的 ?移到量詞前面去時(shí) ， 也要 作相應(yīng)的改變 。 這種量詞域 ?的關(guān)系時(shí)普遍成立的 。 40 量詞的作用域中 ， 常有合取或析取項(xiàng) ， 如果其中為一個(gè)命題 ， 則可將該命題移至量詞作用域之外 。 如： (?x)(A(x)?B)?((?x)A(x)?B) (?x)(A(x)?B)?((?x)A(x)?B) (?x)(A(x)?B)?((?x)A(x)?B) (?x)(A(x)?B)?((?x)A(x)?B) 量詞作用域的擴(kuò)張與收縮 41 從上述幾個(gè)式子 ， 還可推得如下幾個(gè)式子 。 ((?x) A(x)→B)?(?x)(A(x)→B) ((?x) A(x)→B)?(?x)(A(x)→B) (B→(?x)A(x))?(?x)(B→A(x)) (B→(?x)A(x))?(?x)(B→A(x)) 42 證明： ((?x) A(x)→B)?(?x)(A(x)→B) 證明： ((?x) A(x)→B)? ?(?x) A(x) ? B ?(?x)(?A(x)) ? B ? (?x)(?A(x) ? B) ? (?x)(A(x)→B) 注： 當(dāng)謂詞的變?cè)c量詞的指導(dǎo)變?cè)煌瑫r(shí) ， 也能有類似于上述的公式 。 例如： (?x)(A(x) ? B(y)) ?((?x)A(x) ? B(y)) 示 例 43 (?x)(A(x)?B(x))?(?x)A(x)?(?x)B(x) 根據(jù)上式亦有： (?x)(?A(x)??B(x))?(?x)(?A(x))?(?x)(?B(x)) 故 ?(?x)(A(x)?B(x))??((?x)A(x)?(?x)B(x)) 即 (?x)(A(x)?B(x))?(?x)A(x)?(?x)B(x) 從本質(zhì)上說， ?x為合取的形式， ?x為析取的 形式。 44 全稱量詞對(duì)析取的分配只滿足蘊(yùn)含關(guān)系 ， 即 (?x)A(x)?(?x)B(x)?(?x)(A(x)?B(x)) 由上式可得 (?x)(?A(x))?(?x)(?B(x))?(?x)(?A(x)??B(x)) 即 ?((?x)A(x)?(?x)B(x))
職業(yè)教育相關(guān)推薦
鄂ICP備17016276號(hào)-1