第五章-分析力學(xué)(編輯修改稿)
2025-09-03 14:40 本頁(yè)面
【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 中 V不顯含 ，為有勢(shì)力系），稱為拉氏函數(shù)或拉格朗日函數(shù)（ Lagrange function）。 有勢(shì)力系的拉格朗日方程 14 4. 拉格朗日方程與牛頓運(yùn)動(dòng)方程等價(jià) 取笛卡兒坐標(biāo)系 : iix = q? 2iii1L = T V = m q V2???????iiiiα ii? L= m x? x? L ? L ? V= = = F? q ? x ? x第五章 分析力學(xué) iim x = F , (i = 1, 2, . . . , 3n)得： 代入拉氏方程 15 拉氏方程的優(yōu)越性 ： ① L＝ T－ V 為系統(tǒng)量 ， V為系統(tǒng)勢(shì)能 ，不必具體區(qū)分受力質(zhì)點(diǎn) ② 為標(biāo)量 ,vi為速率 ③ 避免了約束力 ? 2iii1T = m v2第五章 分析力學(xué) 16 （ 1） Lagrange方程由 Newton第二定律導(dǎo)出，用于 1個(gè) 質(zhì)點(diǎn)的體系，得到的就是最基本情形下的運(yùn)動(dòng)方程： .iim x F=Lagrange方程和 Newton第二定律原理上是等價(jià)的，只是形式不同。用于同一個(gè)物理問(wèn)題，得到的結(jié)論自然是相同的。 Lagrange方程的說(shuō)明 第五章 分析力學(xué) 17 第五章 分析力學(xué) （ 2）在力學(xué)領(lǐng)域內(nèi)，廣義力形式拉氏方程更具有 普遍性，但其中仍包含力： .A ii xQF qaa?=?勢(shì)形式的拉氏方程中只含有拉氏量和廣義坐標(biāo)，因此便于推廣到其它領(lǐng)域。從這個(gè)意義上講，勢(shì)形式的拉氏方程是更具有普遍性的形式。 （ 3） Lagrange量和初始條件已知 ， 一個(gè)力學(xué)體系 的運(yùn)動(dòng)就完全清楚了。 18 第五章 分析力學(xué) （ 4）在自然界，最基本的拉氏量只有很少幾個(gè)， 如電磁、引力、強(qiáng)、弱作用等。 （ 5）拉氏量不是一個(gè)可觀測(cè)量，我們只要求它 能給出正確的運(yùn)動(dòng)方程。 象勢(shì)能 V， L＝ T－ V 的形式不是唯一的， L’＝ T－ V＋ V0 一定能給出相同的運(yùn)動(dòng)方程。 事實(shí)上，把 L’＝ L＋ du(q,t)/dt 代入拉氏方程， 給出的運(yùn)動(dòng)方程一定與 L 的相同。 u(q,t)是廣義坐標(biāo)和時(shí)間的可 2次微商的任意函數(shù)。 19 解題思路： 1 確定自由度 2 廣義坐標(biāo) 3 求動(dòng)能，勢(shì)能，拉氏量 4 列出 Lagrange 方程 5 解方程，分析 20 廣義力： 3. 有勢(shì)系統(tǒng) A iixQFqa a?=?wQqdd=VQqa add=?21 第五章 分析力學(xué) (1) 可遺坐標(biāo)（循環(huán)坐標(biāo)）：如果在 L函數(shù)中，只含有某一廣義坐標(biāo)的微商，而不顯含該廣義坐標(biāo)本身，則此廣義坐標(biāo)稱為可遺坐標(biāo)。 ?? αL =0q(2) 廣義動(dòng)量：體系的拉氏量或動(dòng)能對(duì)廣義坐標(biāo)微商的偏導(dǎo)數(shù)。 Taa??=??αLP=qq22 第五章 分析力學(xué) aa????d L L( ) ( )
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