-高中數(shù)學-132極大值與極小值課件-蘇教版選修2-(編輯修改稿)
2024-09-01 19:27 本頁面
【文章內容簡介】 ＋ x)， 令 f′(x)＝ 0， 得 x＝ 0或 x＝－ 2， 當 x變化時， f′(x)， f(x)的變化情況如下表： 由上表可以看出 ， 當 x＝－ 2時 ， 函數(shù)有極大值為 f(－ 2)＝ 4e－ 2. 當 x＝ 0時 ， 函數(shù)有極小值為 f(0)＝ 0. x (－ ∞ ，－ 2) － 2 (－ 2,0) 0 (0，＋ ∞ ) f′ (x) ＋ 0 － 0 ＋ f(x) ↗ 4e－ 2 ↘ 0 ↗ 題型二 已知極值求參數(shù)值 【 例 2】 設函數(shù) f(x)＝ 2x3－ 3(a＋ 1)x2＋ 6ax＋ 8， (1)若 f(x)在 x＝ 3處取得極值 ， 求實數(shù) a的值； (2)若 f(x)在 (－ ∞， 0)上為增函數(shù) ， 求實數(shù) a的取值范圍 ． [思路探索 ] (1)函數(shù)在 x＝ x0取得極值 ， 也就說明 x＝ x0是方程 f′(x)＝ 0的根 ， 要注意把所求參數(shù)的值代入檢驗是否符合題意 ． (2)在未確定兩根大小關系時 ， 要進行分類討論 ． 解 (1)f′(x)＝ 6x2－ 6(a＋ 1)x＋ 6a， f(x)在 x＝ 3處取得極值 ， 則f′(3)＝ 0， 解得 a＝ 3， 經檢驗知當 a＝ 3時 ， x＝ 3為 f(x)的極值點 ． (2)令 f′(x)＝ 0， 解得 x1＝ a或 x2＝ 1. 當 a1時 ， 若 x∈ (－ ∞， a)∪ (1， ＋ ∞)， 則 f′(x)0， 所以 f(x)在(－ ∞， a)和 (1， ＋ ∞)上為增函數(shù) ， 故當 0≤a1時 ， f(x)在 (－ ∞，0)上為增函數(shù) ． 當 a≥1時 ， 若 x∈ (－ ∞， 1)∪ (a， ＋ ∞)， 則 f′(x)0， 所以 f(x)在(－ ∞， 1)和 (a， ＋ ∞)上為增函數(shù) ， 所以 f(x)在 (－ ∞， 0)上也為增函數(shù) ． 綜上所述 ， 當 a∈ [0， ＋ ∞)時 ， f(x)在 (－ ∞， 0)上為增函數(shù) ． 已知函數(shù)極值的情況 ， 逆向應用確定函數(shù)的解析式 ， 需注意兩點： (1)常根據(jù)極值點處導數(shù)為 0和極值兩個條件列方程組 ， 利用待定系數(shù)法求解 ． (2)因為導數(shù)值等于零不是此點為極值點的充要條件 ， 所以利用待定系數(shù)法求解后必須驗證根的合理性 ． 【 變式 2】 如圖所示 ， 三次函數(shù) f(x)＝ x3＋ ax2＋ x在區(qū)間 (－ 1,1)上有極大值和極小值 ． 求常數(shù) a的取值范圍 ． 解 ∵ f′(x)＝ 3x2＋ 2ax＋ 1， f(x)在 (－1,1)上有極大值與極小值 ， 即 f′(x)＝ 0在區(qū)間 (－ 1,1)上有兩個相異的實根 ， ∴ 方程 3x2＋ 2ax＋ 1＝ 0在區(qū)間 (－ 1,1)上有兩個相異的實根 ， 則??????? Δ ＝ 4 a2－ 4 3 ＞ 0 ，－ 1 ＜－a3＜ 1 ，f ′ ? 1 ? ＝ 2 a ＋ 4 ＞ 0 ，f ′ ? － 1 ? ＝－ 2 a ＋ 4 ＞ 0 ，?????? a ＜－ 3 或 a ＞ 3 ，－ 3 ＜ a ＜ 3 ，－ 2 ＜ a ＜ 2. ∴ a ∈ ( － 2 ，－ 3 ) ∪ ( 3 ， 2) ． 題型三 極值的綜合應用
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