【文章內容簡介】 B.a 2a 3＝R3r3 C.v 1v 2＝rR D.a 1a 2＝R2r2 [答案 ] AB [ 解析 ] 由于在地球赤道上的觀測站的運動和同步衛(wèi)星的運動具有相同的角速度，根據 a ＝ Rω2可知a 1a 2＝rR， A 正確，再根據近地衛(wèi)星做圓周運動的向心加速度為 a 3 ，由萬有引力定律和牛頓第二定律 F ＝GM mr2＝ ma 可知a 1a 3＝R2r2 ，由a 1a 3＝R2r2 ，a 1a 2＝rR知a 2a 3＝R3r3 ，因此 B 正確． (對應學生用書 P73) 題型一 測量中心天體的質量和密度 如何估算天體的質量 天體的質量估算是指估算中心天體的質量．由萬有引力定律及向心力公式： GMmr2 ＝ ma ＝ mv2r＝ mω2r ＝ m4 π2rT2 ＝ mω v ，可知其中環(huán)繞體的質量 m 均可被消去，故無法估算環(huán)繞體的質量．估算中心天體質量 M時，若已知引力常量 G 和環(huán)繞體的五大物理量 a 、 v 、 ω 、 T 、 r 中的任意兩個，就可通過相關公式計算得到其他三個物理量． 例 1 ( 1 2 分 ) ( 2 0 1 1 安徽卷 ) ( 1 ) 開普勒行星運動第三定律指出，行星繞太陽運動的橢圓軌道的半長軸 a 的三次方與它的公轉周期 T 的二次方成正比，即a3T2 ＝ k ， k 是一個對所有行星都相同的常量．將行星繞太陽的運動按圓周運動處理，請你推導出太陽系中該常量 k 的表達式．已知引力常量為 G ，太陽的質量為 M 太． ( 2 ) 開普勒定律不僅適用于太陽系，它對一切具有中心天體的引力系統 ( 如地月系統 ) 都成立，經測定月地距離為 3 . 8 4 108 m 月球繞地球運動的周期為 2 . 3 6 106 s ，試計算地球的質量 M 地． ( G ＝ 6 . 6 7 10－ 11 N m2/ k g2，結果保留一位有效數字 ) [ 思路誘導 ] 試題提到開普勒定律中的常量，而開普勒定律中有周期的平方，可以用 GMmR 2＝ m4 π 2 RT 2這個公式求解．估算天體質量時，要找兩個物 理量，顯然題中給了圓周運動的半徑和周期． [ 解題樣板 ] ( 1 ) 因行星繞太陽做圓周運動，于是軌道的半長軸 a 即為軌道半徑 r .根據萬有引力定律和牛頓第二定律有 _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ ① (3 分 ) 于是有r3T2 ＝G4 π2 M 太 ② (2 分 ) 即 k ＝G4 π2 M 太 ③ (2 分 ) (2)在地月系統中 ， 設月球繞地球運動的軌道半徑為 R， 周期為 T，由 ② 式可得 ____________④ (3分 ) 解得 M地 ＝ ______________⑤ (2分 ) [ 答案 ] ( 1 ) Gm 行 M 太r 2 ＝ m 行 (2 πT )2 ( 2 ) R3T 2 ＝G4 π 2 M 地 6 1024 k g ( 5 10 24 kg 也算對 ) ( 1 ) 天體質量估算中常有隱含條件，如地球的自轉周期為 2 4 h ，公轉周期為 3 6 5 天等． ( 2 ) 注意黃金代換式 GM ＝ gR2的應用． ( 3 ) 注意密度公式 ρ ＝3 πGT2 的理解和應用． ( 2 0 1 1 福建卷 ) “ 嫦娥二號 ” 是我國月球探測第二期工程的先導星．若測得 “ 嫦娥二號 ” 在月球 ( 可視為密度均勻的球體 ) 表面附近圓形軌道運行的周期 T ，已知引力常量為 G ，則可估算月球的 ( 半徑為 R 的球體體積公式 V ＝43πR3) A ．密度 B ．質量 C ．半徑 D ．自轉周期 [答案 ] A [ 解析 ] 此題考查萬有引力定律、牛頓第二定律、密度和衛(wèi)星運行等知識點． “ 嫦娥二號 ” 在月球 ( 可視為密度均勻的球體 ) 表面附近圓形軌道運行，其軌道半徑可視為月球半徑， 由 GMmR2 ＝ mR (2 πT)2，得月球質量 M ＝4 π2R3GT2 .由于月球半徑 R 未知，不能估算月球質量，也不能由題中信息得到月球自轉周期，選項 B CD 錯誤；由密度公式 ρ ＝ M / V 得月球密度 ρ ＝3 πGT2 ，選項 A 正確． 題型二 衛(wèi)星的穩(wěn)定運行與變軌運動分析 衛(wèi)星繞天體穩(wěn)定運行時，萬有引力提供了衛(wèi)星做勻速圓周運動的向 心力．由 GMmr2 ＝ mv2r，得 v ＝GMr，由此可知軌道半徑 r ( 衛(wèi)星到地心的距離 ) 越大，衛(wèi)星的速度 v 越?。斝l(wèi)星由于某種原因速度 v 突然改變時， F 和 mv2r不再相等，因此就不能再根據 v ＝GMr來確定 r 的大?。?F mv2r，即GM mr2 m v2r時，衛(wèi)星做近心運動；當 F mv2r，即GM mr2m v2r時，衛(wèi)星做離心運動，實現了變軌． 例 2 (2022蘇錫常鎮(zhèn)四市調研 )2022年 10月 26日 21時 27分 ， 北京航天飛行控制中心對 “ 嫦娥二號 ” 衛(wèi)星實施了降軌控制 ， 衛(wèi)星成功由軌道半徑為 a、 周期為 T1的極月圓軌道進入遠月點距離為 a、 周期為 T2的橢圓軌道 ， 為在月球虹灣區(qū)拍攝圖象做好準備 ， 軌道如圖所示 ． 則 “ 嫦娥二號 ” ( ) A． 在極月圓軌道上運行周期 T1小于它在橢圓軌道運行周期 T2 B． 經過極月圓軌道上 B點時的速率大于它經過橢圓軌道上 A點時的速率 C． 在極月圓軌道上經過 B點和在橢圓軌道上經過 A點時的加速度大小相等 D． 在極月圓軌道上經過 B點和在橢圓軌道上經過 A點時的機械能相等 [嘗試解答 ] 由開普勒第三定律可知 ， 從極月圓軌道到橢圓軌道周期變小 ， A錯誤；極月圓軌道上 A點和 B點速率相同 ， 由極月圓軌道 A點變?yōu)闄E圓軌道上 A點時要減速 ， B正確 ， D錯誤；在橢圓軌道上經過 A點和在極月圓軌道上經過 A點時加速度大小相等 ， 所以經過極月圓軌道上的 B點和橢圓軌道上的 A點時加速度大小相等 ， 故 C正確 ． [答案 ] BC ( 2 0 1 1 浙江理綜 ) 為了探測 X 星球，載著登陸艙的探測飛船在以該星球中心為圓心，半徑為 r1的圓軌道上運動，周期為 T1. 總質量為 m1. 隨后登陸艙脫離飛船，變軌到離星球更近的半徑為 r2的圓軌道上運動，此時登陸艙的質量為 m2，則 ( ) A ． X 星球的質量為 M ＝4 π2r31GT21 B ． X 星球表面的重力加速度為 gX