【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 可令xyz，依題意有 ，于是 ， ，故 x 只有取0?yx??????07zyx73312?x6 、7 共五個(gè)值。數(shù)學(xué)競(jìng)賽專項(xiàng)訓(xùn)練（9）－16?、?時(shí)， ，則 只取 2，相應(yīng) 取 2，故有 2 種放法；3?x4?zyyz?、?＝4 時(shí)， 3，則 只取 2，相應(yīng) 取 0、 1，故有 2 種放法；?、?＝5 時(shí)， 2，則 只取 1，相應(yīng) 取 0，故有 2 種放法；?、?＝6 時(shí)， 1，則 只取 1，相應(yīng) 取 0，故有 1 種放法；xzyyz?、?＝7 時(shí)， 0，則 只取 0，相應(yīng) 取 0，故有 1 種放法；??　綜上所求，故有 8 種不同放法。解：先把第 999 個(gè)（中間） “－”改為“＋” ，然后，對(duì)乙的每次改動(dòng)，甲做與之中心對(duì)稱的改動(dòng)，視數(shù)字為點(diǎn)，對(duì)應(yīng)在數(shù)軸上，這 1997 個(gè)點(diǎn)正好關(guān)于點(diǎn)（999）對(duì)稱。解：由題意說(shuō)假話的至少有 1 人，但不多于 1 人，所以說(shuō)假話的 1 人，說(shuō)真話的 99人。三、解：1+2+3+……9＝45，故正方形的邊長(zhǎng)最多為 11，而組成的正方形的邊長(zhǎng)至少有兩條線段的和，故邊長(zhǎng)最小為 7。　7＝1+6＝2+5＝3+4　8＝1+7＝2+6＝3+5　9+1＝8+2＝7+3 ＝6+4　9+2＝8+3＝7+4 ＝6+5　9＝1+8＝2+7＝3+6 ＝4+5　故邊長(zhǎng)為 11 的正方形各一個(gè)，共 4 個(gè)。而邊長(zhǎng)為 9 的邊可有 5 種可能能組成 5 種不同的正方形。所以有 9 種不同的方法組成正方形。證明：利用抽屜原理，按植樹(shù)的多少，從 50 至 100 株可以構(gòu)造 51 年抽屜，則問(wèn)題轉(zhuǎn)化為至少有 5 人植樹(shù)的株數(shù)在同一個(gè)抽屜里。 （用反證法）假設(shè)無(wú) 5 人或 5 人以上植樹(shù)的株數(shù)在同一個(gè)抽屜里，那只有 4 人以下植樹(shù)的株數(shù)在同一個(gè)抽屜里，而參加植樹(shù)的人數(shù)為 204 人，每個(gè)抽屜最多有 4 人，故植樹(shù)的總株數(shù)最多有：　4（50＋51＋52＋……＋100）＝4 ＝15300＜15301，得出矛盾。因251)0(??此，至少有 5 人植樹(shù)的株數(shù)相同。解：王華獲勝?！　⊥跞A先取 2 個(gè)彈子，將 2022（是 4 的倍數(shù)）個(gè)彈子留給張偉取，不記張偉取多少個(gè)彈子，設(shè)為 x 個(gè)，王華總跟著取（4－x）個(gè)，這樣總保證將 4 的倍數(shù)個(gè)彈子留給張偉取，如此下去，最后一次是將 4 個(gè)彈子留給張偉取，張偉取后，王華一次取完余下的彈子。解析在研究與某些元素間關(guān)系相關(guān)的存在問(wèn)題時(shí)，常常利用染色造抽屜解題。17 位科學(xué)家看作 17 個(gè)點(diǎn)，每?jī)晌豢茖W(xué)家互相通信看作是兩點(diǎn)的連線段，關(guān)于三個(gè)問(wèn)題通信可看作是用三種顏色染成的線段，如用紅色表示關(guān)于問(wèn)題甲的通信，藍(lán)色表示問(wèn)題數(shù)學(xué)競(jìng)賽專項(xiàng)訓(xùn)練（9）－17乙通信，黃色表示問(wèn)題丙通信。這樣等價(jià)于：有 17 個(gè)點(diǎn)，任三點(diǎn)不共線，每?jī)牲c(diǎn)連成一條線段，把每條線段染成紅色、藍(lán)色和黃色，且每條線段只染一種顏色，證明一定存在一個(gè)三角形三邊同色的三角形?！∽C明：從 17 個(gè)點(diǎn)中的一點(diǎn)，比如點(diǎn) A 處作引 16 條線段，共三種顏色，由抽屜原理至少有 6 條線段同色，設(shè)為 AB、AC、AD、AE 、AF、 AG 且均為紅色。　若 B、C 、D 、E、F、G 這六個(gè)點(diǎn)中有兩點(diǎn)連線為紅線，設(shè)這兩點(diǎn)為 B、C ，則△ABC是一個(gè)三邊同為紅色的三角形?！∪?B、C 、D 、E、F、G 這六點(diǎn)中任兩點(diǎn)的連線不是紅色，則考慮 5 條線段BC、BD、BE、BF 、BG 的顏色只能是兩種，必有 3 條線段同色，設(shè)為BC、BD、BE 均為黃色，再研究△CDE 的三邊的顏色，要么同為藍(lán)色，則△CDE 是一個(gè)三邊同色的三角形，要么至少有一邊為黃色，設(shè)這邊為 CD，則△CDE 是一個(gè)三邊同為黃色的三角形。初中數(shù)學(xué)競(jìng)賽專項(xiàng)訓(xùn)練（8）（命題及三角形邊角不等關(guān)系）　一、選擇題：如圖 81，已知 AB＝10， P 是線段 AB 上任意一點(diǎn)，在 AB 的同側(cè)分別以 AP 和 PB為邊作兩個(gè)等邊三角形 APC 和 BPD，則線段 CD 的長(zhǎng)度的最小值是 （　?。. 4 B. 5 C. 6 D. )15(?如圖 82，四邊形 ABCD 中∠A ＝60176。，∠B＝∠D ＝90176。，AD ＝8，AB＝7，　　　　　　則 BC＋CD 等于 （ 　 　 ）　A. B. 5 C. 4 D. 33633如圖 83，在梯形 ABCD 中，AD∥BC ，AD＝3，BC ＝9，AB＝6，CD＝4，若EF∥BC，且梯形 AEFD 與梯形 EBCF 的周長(zhǎng)相等，則 EF 的長(zhǎng)為 （　　）　A. B. C. D. 74555215已知△ABC 的三個(gè)內(nèi)角為 A、B 、C 且 α＝A+B，β＝C+A，γ＝C+B ，則60176。A BCDA BCDP圖 81 圖 82A DCBE F圖 83數(shù)學(xué)競(jìng)賽專項(xiàng)訓(xùn)練（9）－18α、β、γ 中，銳角的個(gè)數(shù)最多為 （　?。. 1 B. 2 C. 3 D. 0如圖 84，矩形 ABCD 的長(zhǎng) AD＝9cm ，寬 AB＝3cm，將其折疊，使點(diǎn) D 與點(diǎn) B 重合，那么折疊后 DE 的長(zhǎng)和折痕 EF 的長(zhǎng)分別為 （　?。. 4cm B. 5cm cm0cm10 C. 4cm D. 5cm 3232一個(gè)三角形的三邊長(zhǎng)分別為 a，a，b，另一個(gè)三角形的三邊長(zhǎng)分別為 a，b，b，其中ab，若兩個(gè)三角形的最小內(nèi)角相等，則 的值等于 （　?。. B. C. D. 213?215?23?25?在凸 10 邊形的所有內(nèi)角中，銳角的個(gè)數(shù)最多是 （　?。. 0 B. 1 C. 3 D. 5若函數(shù) 與函數(shù) 的圖象相交于 A，C 兩點(diǎn)，AB 垂直 x 軸于 B，)0(??kxyxy?則△ABC 的面積為 （　　）　A. 1 B. 2 C. k D. k2二、填空題若四邊形的一組對(duì)邊中點(diǎn)的連線的長(zhǎng)為 d，另一組對(duì)邊的長(zhǎng)分別為 a，b，則 d 與的大小關(guān)系是＿＿＿＿＿＿＿2ba?如圖 85，AA′、BB′分別是∠EAB、∠DBC 的平分線，若 AA′＝BB ′＝AB，則∠BAC 的度數(shù)為＿＿＿已知五條線段長(zhǎng)度分別是 11，將其中不同的三個(gè)數(shù)組成三數(shù)組，比如（7） 、 （11）……問(wèn)有多少組中的三個(gè)數(shù)恰好構(gòu)成一個(gè)三角形的三條邊的長(zhǎng)＿＿＿＿＿如圖 86，P 是矩形 ABCD 內(nèi)一點(diǎn)，若PA＝3，PB＝4，PC＝5，則 PD＝＿＿＿＿＿＿＿ 圖 86ABDCP圖 84AB CD A DCFC’BEABB′DC圖 85EA′數(shù)學(xué)競(jìng)賽專項(xiàng)訓(xùn)練（9）－19如圖 87，甲樓樓高 16 米，乙樓座落在甲樓的正北面，已知當(dāng)?shù)囟林形?12 時(shí)太陽(yáng)光線與水平面的夾角為 30176。，此時(shí)求①如果兩樓相距 20 米，那么甲樓的影子落在乙樓上有多高？＿＿＿＿＿＿②如果甲樓的影子剛好不落在乙樓上，那么兩樓的距離應(yīng)當(dāng)是＿＿＿＿＿＿米。如圖 88，在△ABC 中，∠ABC＝60176。，點(diǎn) P 是△ABC 內(nèi)的一點(diǎn)，使得∠APB＝∠BPC＝∠CPA，且 PA＝8，PC ＝6，則 PB＝＿＿16米 20米ABCD甲 乙圖 87圖 88BACP數(shù)學(xué)競(jìng)賽專項(xiàng)訓(xùn)練（9）－20三、解答題如圖 89，AD 是△ABC 中 BC 邊上的中線，　　　　　求證：AD＜ （AB+AC）21已知一個(gè)三角形的周長(zhǎng)為 P，問(wèn)這個(gè)三角形的最大邊長(zhǎng)度在哪個(gè)范圍內(nèi)變化？如圖 810，在 Rt△ABC 中，∠ACB ＝90176。，CD是角平分線，DE∥BC 交 AC 于點(diǎn) E，DF∥AC 交BC 于點(diǎn) F。求證：①四邊形 CEDF 是正方形。②CD 2＝2AEBF從 4……、2022 中任選 k 個(gè)數(shù)，使所選的 k 個(gè)數(shù)中一定可以找到能構(gòu)成三角形邊長(zhǎng)的三個(gè)數(shù)（這里要求三角形三邊長(zhǎng)互不相等） ，試問(wèn)滿足條件的 k 的最小值是多少？數(shù)學(xué)競(jìng)賽專項(xiàng)訓(xùn)練（8）參考答案一、選擇題如圖過(guò) C 作 CE⊥AD 于 E，過(guò) D 作 DF⊥PB 于 F，過(guò) D 作DG⊥CE 于 G。 顯然 DG＝EF＝ AB＝5， CD≥DG，當(dāng) P 為 AB 中點(diǎn)時(shí)，有21CD＝DG＝ 5，所以 CD 長(zhǎng)度的最小值是 5。如圖延長(zhǎng) AB、DC 相交于 E，在 Rt△ADE 中，可求得AE＝16 ，DE＝8 ，于是 BE＝AE－AB＝9，在 Rt△BEC 中，3可求得 BC＝3 ，CE＝ 6 ，于是 CD＝DE－CE ＝ 2 　3BC＋CD＝5 。由已知 AD+AE+EF+FD＝EF+EB+BC+CF　　　∴AD+AE+FD＝EB+BC+CF＝ 1)(21??CDBAAB D C圖 89ACFBDE圖 810A BCDPE FG60176。A BCDEA DCBE FHG數(shù)學(xué)競(jìng)賽專項(xiàng)訓(xùn)練（9）－21　　∵EF∥BC ，∴EF∥AD， FCDEBA?　　設(shè) ，kFCDEBA? 1416???kCDk，　　AD+AE+FD＝3+ 　∴ 　　解得 k＝43146?　　作 AH∥CD，AH 交 BC 于 H，交 EF 于 G，則 GF＝HC ＝AD ＝3，BH＝ BC－CH＝93 ＝6∵ ，∴ 　∴5?ABHG524?BE 5392??FE假設(shè) α、β、γ 三個(gè)角都是銳角，即 α＜90176。，β＜90176。，γ＜90176。，也就是A+B＜90176。，B+C ＜90176。，C+A ＜90176?！?（A+B+C）＜270176。，A＋B ＋ C＜135 176。與 A＋B＋C ＝180176。矛盾。故 α、β、γ 不可能都是銳角，假設(shè)α、β、γ 中有兩個(gè)銳角，不妨設(shè) α、β 是銳角，那么有 A＋B＜90176。，C＋A＜ 90176。，∴A ＋(A ＋B ＋ C)180176。，即 A+180176。＜180176。，A＜0176。這也不可能，所以 α、β、γ 中至多只有一個(gè)銳角，如 A＝20176。，B＝30176。，C＝130176。，α＝50176。，選 A。折疊后，DE＝BE，設(shè) DE＝x，則 AE＝9－x，在 Rt△ ABC 中，AB 2＋AE 2＝BE 2，即，解得 x＝5，連結(jié) BD 交 EF 于 O，則 EO＝FO，BO＝DO22)9(3x???　　∵ 　∴DO＝103BD1023　　在 Rt△DOE 中，EO＝ 　∴EF ＝ 。210)(52 ???DE10選 B。設(shè)△ABC 中，AB ＝AC＝a，BC＝b，如圖 D 是 AB 上一點(diǎn)，有 AD＝b，因 ab，故∠A 是△ABC 的最小角，設(shè) ∠A＝Q，則以 b,b,a 為三邊之三角形的最小角亦為 Q，從而它與△ABC 全等，所以DC＝b， ∠ACD ＝Q ，因有公共底角∠B，所以有等腰△ADC∽等腰△CBD，從而得 ，即 ，令 ，C?ba?ax?即得方程 ，解得 。選 B。012?x215?xC。由于任意凸多邊形的所有外角之和都是 360176。，故外角中鈍角的個(gè)數(shù)不能超過(guò) 3個(gè)，又因?yàn)閮?nèi)角與外角互補(bǔ)，因此，內(nèi)角中銳角最多不能超過(guò) 3 個(gè)，實(shí)際上，容易構(gòu)造出內(nèi)角中有三個(gè)銳角的凸 10 邊形。QAB CD數(shù)學(xué)競(jìng)賽專項(xiàng)訓(xùn)練（9）－22A。設(shè)點(diǎn) A 的坐標(biāo)為（ ） ，則 ，故△ABO 的面積為 ，又因?yàn)椤鱵x， 1?21?xyABO 與 △CBO 同底等高，因此△ABC 的面積＝2△ABO 的面積＝1。二、填空題如圖設(shè)四邊形 ABCD 的一組對(duì)邊 AB 和 CD 的中點(diǎn)分別為 M、 N，MN ＝d，另一組對(duì)邊是 AD 和 BC，其長(zhǎng)度分別為 a、b，連結(jié) BD，設(shè) P 是 BD 的中點(diǎn)，連結(jié)MP、PN，則 MP＝ ，NP＝ ，顯然恒有 ，2ab2bad??當(dāng) AD∥BC，由平行線等分線段定理知 M、N、P 三點(diǎn)共線，此時(shí)有 ，所以 與 的大小關(guān)系是 。d?? )2(dba??或12176。設(shè)∠BAC 的度數(shù)為 x，∵AB＝BB′ ∴∠B′BD＝2x，∠CBD＝4x　　∵AB＝AA′　∴∠AA′B＝∠AB A′＝∠CBD＝4x　∵∠A′AB＝ )180(x??　　∴ ，于是可解出 x＝12176。?????1804)180(x以 3，5，7，9，11 構(gòu)成的三數(shù)組不難列舉出共有 10 組，它們是（3，5，7） 、（3，5，9） 、 （3，5，11） 、 （3，7，9） 、 （3，7，11） 、 （3，9，11） 、 （5，7，9） 、（5，7，11） 、 （5，9，11） 、 （7，9，11） 。由 3+5＜9，3+5＜11，3+7＜11 可以判定（3，5，9） 、 （3，5，11） 、 （3，7，11）這三組不能構(gòu)成三角形的邊長(zhǎng)，因此共有7 個(gè)數(shù)組構(gòu)成三角形三邊長(zhǎng)。過(guò) P 作 AB 的平行線分別交 DA、BC 于 E、F，過(guò) P 作 BC的平行線分別交 AB、CD 于 G、H?！　≡O(shè)AG＝DH＝a ， BG＝CH＝b，AE＝BF＝c，DE＝CF＝ d，則 2222DPadcB