【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 =0例3　求下列函數(shù)的階導(dǎo)數(shù)：（1） （2）（3） 解 （1） …… 以此類推，可得（2） = …… 以此類推，可得 = =（3）= == == ==……以此類推，可得=由例3可知，求函數(shù)的階導(dǎo)數(shù)時(shí)，為了使階導(dǎo)數(shù)的表達(dá)形式具有一定的規(guī)律性，在求導(dǎo)過(guò)程中應(yīng)注意歸納各階導(dǎo)數(shù)表達(dá)形式的共同規(guī)律． 二階導(dǎo)數(shù)的力學(xué)意義由導(dǎo)數(shù)的物理意義可知，若物體做變速直線運(yùn)動(dòng)，其運(yùn)動(dòng)方程為，則物體在時(shí)刻的瞬時(shí)速度為此時(shí)，速度仍是時(shí)間的函數(shù)，因而我們可以求速度對(duì)時(shí)間的導(dǎo)數(shù) =這個(gè)導(dǎo)數(shù)是速度對(duì)時(shí)間的變化率，它反映了速度變化的快慢程度。在力學(xué)中，把它叫做運(yùn)動(dòng)物體在給定時(shí)刻的加速度。因此，物體做變速直線運(yùn)動(dòng)的加速度就是路程對(duì)時(shí)間t的二階導(dǎo)數(shù)，即這就是二階導(dǎo)數(shù)的力學(xué)意義.例４　已知作直線運(yùn)動(dòng)的物體的運(yùn)動(dòng)方程為所以則物體在時(shí)的速度和加速度，分別為 隱函數(shù)及參數(shù)方程所確定的函數(shù)的求導(dǎo)法 隱函數(shù)及其求導(dǎo)法前面研究的函數(shù)，諸如，等，因變量可以寫成含有自變量的明顯表達(dá)式的函數(shù)叫做顯函數(shù)，如果因變量與自變量的關(guān)系隱藏在某個(gè)方程中，那么這種由含和的方程所確定的函數(shù)叫做隱函數(shù)，例如：，等。有的隱函數(shù)可以顯化，有的則不能。在求導(dǎo)過(guò)程中，將方程兩端同時(shí)對(duì)自變量求導(dǎo)，把看成是的函數(shù)，遇到的函數(shù)就看成的復(fù)合函數(shù)，然后從所得的關(guān)系式中解出，即得所求隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)。下面舉例說(shuō)明隱函數(shù)求導(dǎo)法：例1 求由下列方程所確定的隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)（1）（2）解 （1）將方程兩端同時(shí)對(duì)求導(dǎo)，把看成的復(fù)合函數(shù)，得： （2）兩端同時(shí)對(duì)求導(dǎo)，得：， 例2　求由方程所確定的曲線上一點(diǎn)處的切線方程。解　兩端同時(shí)對(duì)求導(dǎo)，得：，故曲線在點(diǎn)處的切線斜率為切線方程為 形如的函數(shù) 函數(shù)，這里和均為可導(dǎo)函數(shù)，我們稱之為冪指函數(shù)，雖然為顯函數(shù)但直接求它的導(dǎo)數(shù)很困難，求導(dǎo)時(shí)可將對(duì)數(shù)求導(dǎo)法和隱函數(shù)求導(dǎo)法結(jié)合起來(lái)使用。例3 求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)（1）（2）解?。?） 兩邊取對(duì)數(shù) 兩端同時(shí)對(duì)求導(dǎo)，得 （2） 兩邊取對(duì)數(shù) 兩端同時(shí)對(duì)求導(dǎo)，得 有些函數(shù)使用對(duì)數(shù)法求導(dǎo)可以使運(yùn)算更簡(jiǎn)便例4　求函數(shù)解　兩邊取對(duì)數(shù) 兩端同時(shí)對(duì)求導(dǎo)，得 由參數(shù)方程所確定的函數(shù)的求導(dǎo)法參數(shù)方程 （*），確定了是的函數(shù)，一般情況下求參數(shù)方程中函數(shù)對(duì)的導(dǎo)數(shù)，要想消去參數(shù)往往很困難，因此我們尋求一種直接由參數(shù)方程（*）來(lái)計(jì)算對(duì)的導(dǎo)數(shù)的方法．設(shè)x=和y=分別有導(dǎo)數(shù)，且，那么由導(dǎo)數(shù)的定義，得，另一方面，有等式，由可導(dǎo)與連續(xù)的關(guān)系及函數(shù)連續(xù)定義可知0 　　　 . 　　　　　 （224）例4　已知擺線的參數(shù)方程為求擺線在t=處的切線方程.解　由參數(shù)方程的求導(dǎo)公式，可知==，則擺線在t=處的切線的斜率為K==cot=.又知當(dāng)t=時(shí)，擺線上相應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)為x=a()=a(),y=a(1cos)=a(1)=,所以擺線在t=處的切線方程為y=,3x. 圖24 例5　以初速度v,發(fā)射角a發(fā)射炮彈（如圖24所示），其運(yùn)動(dòng)方程為 求炮彈在任何時(shí)刻的運(yùn)動(dòng)速度的大小和方向.解　先求沿軸、軸方向的分速度和,即== =,則炮彈運(yùn)動(dòng)的速度（即合速度）的大小為 ==.炮彈運(yùn)動(dòng)的速度的方向，就是彈道切線的方向。設(shè)為切線的傾斜角，則由導(dǎo)數(shù)的幾何意義可知tan 函數(shù)的微分 微分與導(dǎo)數(shù)有著密切的聯(lián)系。X▽圖25x▽0x 微分的概念在實(shí)際問(wèn)題中，常常要考慮當(dāng)自變量有一微小改變量時(shí)，： 一塊正方形金屬薄片，當(dāng)受冷熱影響時(shí)，其邊長(zhǎng)由變到（見(jiàn)圖25），問(wèn)此薄片的面積改變了多少？若用表示面積，表示邊長(zhǎng)，則。正方型金屬薄片受冷熱影響所改變的面積，可以看成是當(dāng)自變量在有增量時(shí)，函數(shù)相應(yīng)的增量，從上式可以看出，由兩項(xiàng)組成，當(dāng)時(shí)，第一項(xiàng)與是同階的無(wú)窮小，當(dāng)很小時(shí)，第一項(xiàng)是的主要部分，第二項(xiàng)是的次要部分，若略去這個(gè)次要部分，就得到的近似表達(dá)式，此時(shí)，所產(chǎn)生的誤差為，它是一個(gè)當(dāng)時(shí)，較高階的無(wú)窮小，顯然越小，的近似程度就越好.由圖26所示可知，面積的增量本來(lái)是圖中有陰影部分的面積，現(xiàn)在用帶有斜線的兩塊矩形面積來(lái)代替面積的增量，所略去的僅僅是一塊較小的正方形面積.由于則下面說(shuō)明，這種表示函數(shù)增量的簡(jiǎn)單關(guān)系對(duì)于一般函數(shù)也是成立的.設(shè)函數(shù)在點(diǎn)處可導(dǎo)，則根據(jù)函數(shù)、極限與無(wú)窮小的關(guān)系，得其中是時(shí)的無(wú)窮小，于是 ， 　　　　　　 （225）（226）式表明，函數(shù)的增量是由和兩項(xiàng)組成，當(dāng)時(shí)，由知與是同階的無(wú)窮小，又由可知是較高階的無(wú)窮小.因此，在函數(shù)的增量中，起著主要作用的是，是的主要部分，又由于是的線性函數(shù)，所以通常把叫做的線性主部．由以上討論可知，當(dāng)很小時(shí)，可用函數(shù)增量的線性主部來(lái)近似代替函數(shù)的增量，即定義1　設(shè)函數(shù)在點(diǎn)處可導(dǎo)，則稱為函數(shù)在點(diǎn)的微分，記作或，即， 　　　　　　　　 （226）并且說(shuō)函數(shù)在點(diǎn)可微.一般地，函數(shù)在任意點(diǎn)處的微分叫做函數(shù)的微分，記作或，即.因?yàn)楹瘮?shù)的微分，所以有這說(shuō)明，函數(shù)的微分又可寫成 （227）從上式還可看出來(lái)，導(dǎo)數(shù)又稱為微商.例1 求函數(shù)處的微分和增量.解 先求函數(shù)在任意點(diǎn)處的微分，即則函數(shù)在的微分為,增量為 由上例及前面的討論可知，當(dāng)很小時(shí)，函數(shù)在點(diǎn)處的增量可用函數(shù)的微分來(lái)代替，即 （228）由（228）式得 （229）上式中令，則（229）也可寫成 在實(shí)際應(yīng)用中，常用公式（228）來(lái)計(jì)算函數(shù)增量的近似值，用公式（229）來(lái)計(jì)算函數(shù)在點(diǎn)附近的近似值.例2 計(jì)算的近似值解：設(shè)，取，因?yàn)椋?所以由公式可得 =例3 求下列各函數(shù)的微分： （1） （2）解 （1） （2） 當(dāng)函數(shù)在點(diǎn)處有微分時(shí)，，一個(gè)可微函數(shù)一定可導(dǎo)，可導(dǎo)也一定可微. 微分的幾何意義函數(shù)的圖像如圖27所示，過(guò)曲線上點(diǎn)它的傾斜角為，則由導(dǎo)數(shù)的幾何意義可知，切線的斜率當(dāng)自變量有一微小增量時(shí)，相應(yīng)地，曲線上的點(diǎn)的縱坐標(biāo)就有一增量此時(shí)曲線在點(diǎn)的切線的縱坐標(biāo)也得到相應(yīng)的增量且由此可知，函數(shù)的微分，就是曲線在點(diǎn)處的切線的縱坐標(biāo)對(duì)應(yīng)于的增量，這就是微分的幾何意義.函數(shù)的微分，可能小于函數(shù)的增量，如圖26所示；也可能大于函數(shù)的增量，如圖27所示.圖26圖27根據(jù)函數(shù)微分的定義可知，從導(dǎo)數(shù)的基本公式和法則就可以直接推出微分的基本公式和法則.1．微分的基本公式（1）（2）（3）（4）（5） （6） （7）（8） （9）（10）（11）（12）（13）（14）（15）（16）2. 函數(shù)的和、差、積、商的微分法則設(shè)和都是的可微函數(shù)，為常數(shù)，則（1） （2