包頭職業(yè)技術(shù)學(xué)院教案(編輯修改稿)
2025-08-31 14:06 本頁面
【文章內(nèi)容簡介】 =0例3 求下列函數(shù)的階導(dǎo)數(shù)：（1） （2）（3） 解 （1） …… 以此類推，可得（2） = …… 以此類推，可得 = =（3）= == == ==……以此類推，可得=由例3可知，求函數(shù)的階導(dǎo)數(shù)時，為了使階導(dǎo)數(shù)的表達(dá)形式具有一定的規(guī)律性，在求導(dǎo)過程中應(yīng)注意歸納各階導(dǎo)數(shù)表達(dá)形式的共同規(guī)律． 二階導(dǎo)數(shù)的力學(xué)意義由導(dǎo)數(shù)的物理意義可知，若物體做變速直線運動，其運動方程為，則物體在時刻的瞬時速度為此時，速度仍是時間的函數(shù)，因而我們可以求速度對時間的導(dǎo)數(shù) =這個導(dǎo)數(shù)是速度對時間的變化率，它反映了速度變化的快慢程度。在力學(xué)中，把它叫做運動物體在給定時刻的加速度。因此，物體做變速直線運動的加速度就是路程對時間t的二階導(dǎo)數(shù)，即這就是二階導(dǎo)數(shù)的力學(xué)意義.例４ 已知作直線運動的物體的運動方程為所以則物體在時的速度和加速度，分別為 隱函數(shù)及參數(shù)方程所確定的函數(shù)的求導(dǎo)法 隱函數(shù)及其求導(dǎo)法前面研究的函數(shù)，諸如，等，因變量可以寫成含有自變量的明顯表達(dá)式的函數(shù)叫做顯函數(shù)，如果因變量與自變量的關(guān)系隱藏在某個方程中，那么這種由含和的方程所確定的函數(shù)叫做隱函數(shù)，例如：，等。有的隱函數(shù)可以顯化，有的則不能。在求導(dǎo)過程中，將方程兩端同時對自變量求導(dǎo)，把看成是的函數(shù)，遇到的函數(shù)就看成的復(fù)合函數(shù)，然后從所得的關(guān)系式中解出，即得所求隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)。下面舉例說明隱函數(shù)求導(dǎo)法：例1 求由下列方程所確定的隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)（1）（2）解 （1）將方程兩端同時對求導(dǎo)，把看成的復(fù)合函數(shù)，得： （2）兩端同時對求導(dǎo)，得：， 例2 求由方程所確定的曲線上一點處的切線方程。解 兩端同時對求導(dǎo)，得：，故曲線在點處的切線斜率為切線方程為 形如的函數(shù) 函數(shù)，這里和均為可導(dǎo)函數(shù)，我們稱之為冪指函數(shù)，雖然為顯函數(shù)但直接求它的導(dǎo)數(shù)很困難，求導(dǎo)時可將對數(shù)求導(dǎo)法和隱函數(shù)求導(dǎo)法結(jié)合起來使用。例3 求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)（1）（2）解?。?） 兩邊取對數(shù) 兩端同時對求導(dǎo)，得 （2） 兩邊取對數(shù) 兩端同時對求導(dǎo)，得 有些函數(shù)使用對數(shù)法求導(dǎo)可以使運算更簡便例4 求函數(shù)解 兩邊取對數(shù) 兩端同時對求導(dǎo)，得 由參數(shù)方程所確定的函數(shù)的求導(dǎo)法參數(shù)方程 （*），確定了是的函數(shù)，一般情況下求參數(shù)方程中函數(shù)對的導(dǎo)數(shù)，要想消去參數(shù)往往很困難，因此我們尋求一種直接由參數(shù)方程（*）來計算對的導(dǎo)數(shù)的方法．設(shè)x=和y=分別有導(dǎo)數(shù)，且，那么由導(dǎo)數(shù)的定義，得，另一方面，有等式，由可導(dǎo)與連續(xù)的關(guān)系及函數(shù)連續(xù)定義可知0 . （224）例4 已知擺線的參數(shù)方程為求擺線在t=處的切線方程.解 由參數(shù)方程的求導(dǎo)公式，可知==，則擺線在t=處的切線的斜率為K==cot=.又知當(dāng)t=時，擺線上相應(yīng)的點的坐標(biāo)為x=a()=a(),y=a(1cos)=a(1)=,所以擺線在t=處的切線方程為y=,3x. 圖24 例5 以初速度v,發(fā)射角a發(fā)射炮彈（如圖24所示），其運動方程為 求炮彈在任何時刻的運動速度的大小和方向.解 先求沿軸、軸方向的分速度和,即== =,則炮彈運動的速度（即合速度）的大小為 ==.炮彈運動的速度的方向，就是彈道切線的方向。設(shè)為切線的傾斜角，則由導(dǎo)數(shù)的幾何意義可知tan 函數(shù)的微分 微分與導(dǎo)數(shù)有著密切的聯(lián)系。X▽圖25x▽0x 微分的概念在實際問題中，常常要考慮當(dāng)自變量有一微小改變量時，： 一塊正方形金屬薄片，當(dāng)受冷熱影響時，其邊長由變到（見圖25），問此薄片的面積改變了多少？若用表示面積，表示邊長，則。正方型金屬薄片受冷熱影響所改變的面積，可以看成是當(dāng)自變量在有增量時，函數(shù)相應(yīng)的增量，從上式可以看出，由兩項組成，當(dāng)時，第一項與是同階的無窮小，當(dāng)很小時，第一項是的主要部分，第二項是的次要部分，若略去這個次要部分，就得到的近似表達(dá)式，此時，所產(chǎn)生的誤差為，它是一個當(dāng)時，較高階的無窮小，顯然越小，的近似程度就越好.由圖26所示可知，面積的增量本來是圖中有陰影部分的面積，現(xiàn)在用帶有斜線的兩塊矩形面積來代替面積的增量，所略去的僅僅是一塊較小的正方形面積.由于則下面說明，這種表示函數(shù)增量的簡單關(guān)系對于一般函數(shù)也是成立的.設(shè)函數(shù)在點處可導(dǎo)，則根據(jù)函數(shù)、極限與無窮小的關(guān)系，得其中是時的無窮小，于是 ， （225）（226）式表明，函數(shù)的增量是由和兩項組成，當(dāng)時，由知與是同階的無窮小，又由可知是較高階的無窮小.因此，在函數(shù)的增量中，起著主要作用的是，是的主要部分，又由于是的線性函數(shù)，所以通常把叫做的線性主部．由以上討論可知，當(dāng)很小時，可用函數(shù)增量的線性主部來近似代替函數(shù)的增量，即定義1 設(shè)函數(shù)在點處可導(dǎo)，則稱為函數(shù)在點的微分，記作或，即， （226）并且說函數(shù)在點可微.一般地，函數(shù)在任意點處的微分叫做函數(shù)的微分，記作或，即.因為函數(shù)的微分，所以有這說明，函數(shù)的微分又可寫成 （227）從上式還可看出來，導(dǎo)數(shù)又稱為微商.例1 求函數(shù)處的微分和增量.解 先求函數(shù)在任意點處的微分，即則函數(shù)在的微分為,增量為 由上例及前面的討論可知，當(dāng)很小時，函數(shù)在點處的增量可用函數(shù)的微分來代替，即 （228）由（228）式得 （229）上式中令，則（229）也可寫成 在實際應(yīng)用中，常用公式（228）來計算函數(shù)增量的近似值，用公式（229）來計算函數(shù)在點附近的近似值.例2 計算的近似值解：設(shè)，取，因為，=所以由公式可得 =例3 求下列各函數(shù)的微分： （1） （2）解 （1） （2） 當(dāng)函數(shù)在點處有微分時，，一個可微函數(shù)一定可導(dǎo)，可導(dǎo)也一定可微. 微分的幾何意義函數(shù)的圖像如圖27所示，過曲線上點它的傾斜角為，則由導(dǎo)數(shù)的幾何意義可知，切線的斜率當(dāng)自變量有一微小增量時，相應(yīng)地，曲線上的點的縱坐標(biāo)就有一增量此時曲線在點的切線的縱坐標(biāo)也得到相應(yīng)的增量且由此可知，函數(shù)的微分，就是曲線在點處的切線的縱坐標(biāo)對應(yīng)于的增量，這就是微分的幾何意義.函數(shù)的微分，可能小于函數(shù)的增量，如圖26所示；也可能大于函數(shù)的增量，如圖27所示.圖26圖27根據(jù)函數(shù)微分的定義可知，從導(dǎo)數(shù)的基本公式和法則就可以直接推出微分的基本公式和法則.1．微分的基本公式（1）（2）（3）（4）（5） （6） （7）（8） （9）（10）（11）（12）（13）（14）（15）（16）2. 函數(shù)的和、差、積、商的微分法則設(shè)和都是的可微函數(shù)，為常數(shù)，則（1） （2
范文總結(jié)相關(guān)推薦
鄂ICP備17016276號-1