【文章內(nèi)容簡介】 山東省高唐縣第二實驗中學 韓少忠 省課程專家褚愛華推薦：文章名字好，內(nèi)容也不錯，為幾何直觀定形、定性、定型，列舉了教學中的實例，引導學生觀察生活，學習數(shù)學，欣賞美的數(shù)學！李希昌推薦：韓老師結(jié)合自己豐富的教學實例，從學生的視角，談了自己對幾何直觀教學的認識。意味深厚，值得借鑒交流！指導教師田景振推薦：韓老師結(jié)合豐富的教學實例給幾何直觀定形、定性、定型。該文充分體現(xiàn)了韓老師的教學智慧，這一點尤其值得我們學習！ 新課程標準描述了對幾何直觀的基本要求“要闡述其基本事實“由幾何圖形想象出實物的形狀，進行幾何與三視圖、展開圖之間的轉(zhuǎn)化”。課本上除了第一章豐富的圖形世界和九年級視圖投影外，還有許多值得我們借鑒的例子，我們需要對課程的資源加以開發(fā)，而不拘泥于這兩部分，現(xiàn)結(jié)合學習內(nèi)容及自己教學實踐，粗淺的歸納為三點：一、幾何直觀教學要“定形”我也常對學生這么說“發(fā)揮你的想象力”，因為幾何直觀教學，是對實物的“定形”，找準了“形”，把一個抽象的數(shù)學問題，形象的展示為一個實物模型，空間的觀念才得以生成，例如七年級上冊第四章《射線 線段 直線》的內(nèi)容，僅以射線為例，課本以“手電筒”的照射為例子，我們可以繼續(xù)引發(fā)學生的想象，例如有的學生想到了“流星”，有的想到了“飛機拉線”，還有的學生想到了“打水漂”等等，這使我感嘆不已，贊嘆不絕，是啊,我們都生活在的空間中，學生列舉的這些都是他們身邊鮮活的例子，都是“射線”的實物模型，再熟悉不過了，我們還需去挖空心思想嗎？我們需要指引他們?nèi)ネ诳招乃?，需要“拋磚”(不是去砸人，是“引玉”)，所以幾何直觀教學，就是要培養(yǎng)學生對幾何圖像的直觀認識，學會“定形”便是掌握這種能力的一個重要突破。二 、幾何直觀教學要“定性”幾何直觀教學，最終就是要培養(yǎng)學生，對數(shù)學問題歸納而成為“定性”實物問題，概括出它的實物性質(zhì)，僅以九年級上冊第三章的《平行四邊形》為例，我們很容易想到平行四邊形的變形、不穩(wěn)定性，根據(jù)平行四邊形的這些性質(zhì)，激發(fā)學生的空間觀念，概括平行四邊形的實物模型，很快有人想到了校門口的“自動電門”，有的想到了“升降機”，還有的甚至想到了汽車的“防撞器”，我感覺，學生對于“性”定的很準，而不是僅僅停留于“形”的問題，這就需要我們積極引導和培養(yǎng)空間概括能力，定性分析，這是學生幾何圖形觀念的核心部分。三、幾何直觀教學要“定型”根據(jù)課程標準“通過具體實物認識圖形”的要求，幾何直觀教學，要貼近生活，要學會創(chuàng)新，這才是發(fā)展的動力和源泉，沒有創(chuàng)新，就談不上發(fā)展，就“不能用”，充其量是模仿?，F(xiàn)以九年級下冊《》為例，我拿了一個易拉罐的實物模型（圓柱）,“它的側(cè)面是一個什么圖形？”，學生答到“矩形”，我接著問“真的嗎？誰展示給我們看？”下面的小組議論紛紛（“沒有剪刀，咋剪開??？”“有也剪不開啊，這是鐵的”“……”）,我提示“我們做過立方體的模型啊,把立方體展開了”，一會后，很多小組想出了辦法，我選擇了一個，那個同學，上來后用一張紙把易拉罐圍了一周，多余的去掉，然后展示給大家，又把紙沿一邊展開，再次展示給大家，雖然沒說一句話，但掌聲一片，“定型”是對問題的升華和深化，是對數(shù)學問題的再認識，是借助模型對數(shù)學問題的定型，使之便于學習。雨后，美麗的彩虹出現(xiàn)在天空，學生們大聲喊：“老師，看我在天空畫的弓形，漂亮嗎？”“漂亮啊，你們畫的？”“嗯”，旁邊的男生，不經(jīng)意的把石子投在了校園的魚塘中“老師，快看啊，我在水中畫的同心圓，漂亮嗎？”“漂亮啊，也是你們畫的？”“嗯”，看著水中的天光云影，是啊，是他們畫的呀?！伴]門推開窗前月，投石擊破水中天”，其實幾何直觀教學，就在他們身邊，嘴角，心底。 幾何直觀幫大忙山東濰坊濱海經(jīng)濟開發(fā)區(qū)央子街道中心學校 李靈敏 省課程專家王軍艷推薦：李老師通過教學片斷闡述了幾何直觀在不同知識領(lǐng)域中的運用。讓我們充分感受到幾何直觀不僅具有發(fā)現(xiàn)功能，更能啟迪思路，是理解數(shù)學的有效渠道。值得交流。指導教師徐首軍推薦：借助幾何直觀可以把復雜的數(shù)學問題變得簡明、形象，有助于探索解決復雜問題的思路，預測結(jié)果，李老師的幾何直觀幫大忙值得大家借鑒！幾何直觀是新修訂的課程標準中的十個核心詞之一。課程標準中說：幾何直觀主要是指利用圖形描述和分析問題。借助幾何直觀可以把復雜的數(shù)學問題變得簡明、形象，有助于探索解決問題的思路，預測結(jié)果。幾何直觀幫助學生直觀的理解數(shù)學，在整個數(shù)學學習過程中發(fā)揮著重要的作用。在教學過程中，幾何直觀可幫了我們大忙：1．有了幾何直觀，函數(shù)不再是老大難。函數(shù)公認為是初中學段數(shù)學的難點，學生們也反應函數(shù)不好學。我認為函數(shù)之所以不好學在于它的抽象性，給出函數(shù)關(guān)系式讓我們摸不著頭腦，到底變量x和y表示的一種怎樣的關(guān)系？所以有了函數(shù)圖像就認識深刻多了，不再有那種“只聞其聲不見其人”的感覺，我們真的見到函數(shù)是長什么樣，例如一次函數(shù)就是條直線的樣子，反比例函數(shù)就是雙曲線的樣子，二次函數(shù)就是拋物線的樣子呀。而且，借助于圖像各種函數(shù)的性質(zhì)我們都能輕而易舉的得到。 2．運用幾何直觀，方程中的行程問題容易多了。我記得我上學的時候遇到行程問題老師就會畫線段的簡單示意圖將文字表述的原題，用它淋漓盡致的表示出來，那個時候只覺的這樣理解起來容易多了，形象多了，因此自從會畫簡單示意圖后，行程類的方程應用題對我來說都變得so easy。那個時候不懂到底為什么可以這樣表示，只是覺得挺好用，能輕松幫我解決問題。隨著學習的深入，上了大學我知道這是數(shù)形結(jié)合，這幾天學了課程標準后我知道更確切應該叫幾何直觀。以后我會更加詳細的傳授給我的學生，讓他們受益。3．運用幾何直觀，三角形內(nèi)角和是180度絕對是真理。 在今年春天非常榮幸的聽了濰坊市課堂大賽的幾個老師講了《三角形內(nèi)角和定理》這一節(jié)課。雖然說是同課異構(gòu)，可是都用到了三角形這個道具，而且有些三角形還做的五花八門，老師們和同學們結(jié)合實物——三角形，通過剪、拼、湊等辦法，驗證了內(nèi)角和定理，方法多多。在她們的課堂上每個同學都對三角形有了更深一層的認識，并且還能夠拓展得到多邊形內(nèi)角和定理。4．運用結(jié)合直觀，圓的問題可以“圓滿解決”。小學開始初步見識圓，初中對圓做進一步的研究。圓的內(nèi)容因為與其他圖形部分聯(lián)系不大，而一直被視為難點，可是有了幾何直觀，圓的問題可以“圓滿解決”了。例如，通過折疊發(fā)現(xiàn)圓的對稱性，兩次折疊可以發(fā)現(xiàn)垂徑定理；通過旋轉(zhuǎn)圓再結(jié)合圓的中心對稱性，我們輕松的理解了圓周角弦弧定理；通過展示觀察日出和日落，理解了圓與直線的位置關(guān)系；同桌一起做大小圓各一個，合作探究輕松解決了圓與圓的位置關(guān)系等等。這些僅僅是幾何直觀在初中學段數(shù)學應用中的一角，幾何直觀的好處是使問題簡單，明了，那樣我們的教學也可以輕松，孩子們也會把要我學變成我要學，達到樂學的效果。幾何直觀同時教給我們看世界的方式，處理和解決問題方法。 美麗的“數(shù)學彩虹”——“幾何直觀” 濟南七賢中學石紅菊 省課程專家鄭立平推薦：幾何直觀，就是借助于見到的或想到的幾何圖形的形象關(guān)系產(chǎn)生對數(shù)量關(guān)系的直接感知，它是數(shù)學新課標的核心理念之一，不僅在“圖形與幾何”的學習中發(fā)揮著不可替代的作用，而且貫穿在整個數(shù)學學習過程中。在數(shù)學教學中，教師應該選擇適當?shù)慕虒W內(nèi)容，培養(yǎng)學生幾何直觀的能力。石老師在《平行四邊形的判別》中，通過設(shè)計豐富多彩的活動，讓學生充分經(jīng)歷了觀察、猜想、折疊、展示、爭論等知識形成的過程，既符合學生的認知規(guī)律，又達成了最近發(fā)展區(qū)的升華。正如有專家說，知識是什么，是思考的結(jié)果、經(jīng)驗的結(jié)果。確實，作為一個數(shù)學教師，我們必須明白：僅僅結(jié)果的教育是不能教智慧的，智慧往往表現(xiàn)在過程中，有關(guān)過程的東西只有通過過程來教。這篇文章無疑帶給我們很多啟發(fā)和思考。 指導教師吳志城推薦：石老師的設(shè)計相當精美，圖文并茂，并看到了您的實踐作法，給學生一個美妙的數(shù)學世界，好遺憾啊，剛看到您的精品，很吸引我和大家，借鑒學習了。晶瑩的雨絲，承載著浪漫，輕輕拂過。暮雨,如絲如煙，飄于滿天彩虹的山巒。在這多夢的季節(jié)輕舞纏柔?！俺喑赛S綠青藍紫，誰持彩練當空舞。雨后復斜陽，關(guān)山陣陣蒼……毛澤東曾于1933年夏所作《菩薩蠻大柏地》一詞描繪了彩虹的色彩。我們知道，顏色可以由七個基色組成：紅、澄、黃、綠、青、藍、紫”，由不同成分的七個基色組成一種顏色，這樣，“由七基色組成顏色”就是理解“七維空間”的“可以看到的源”，“紅、澄、黃、綠、青、藍、紫”七個數(shù)就可以決定一個顏色。但是，我們看不到“七維空間”，當然，在顏色中，不能取負值，顏色空間不是七維空間，它僅僅是幫助我們聯(lián)想的“實物”和基礎(chǔ)。在數(shù)學中，需要依托“一、二、三維空間”去想象和思考“高維空間”的問題，這就是幾何直觀或幾何直觀能力。有些數(shù)學研究的對象是可以“看到的”，可以“觸摸的”，而很多數(shù)學研究對象是“看不見，摸不著”的，是抽象的，這是數(shù)學的一個基本特點。但是，數(shù)學中那些抽象的對象絕不是無根之木、無源之水，它的“根和源”一定是具體的。幾何直觀利用圖形描述分析數(shù)學問題，將數(shù)學問題轉(zhuǎn)化成直觀的圖，能具體生動的理解問題，符合中學生思維特點。直觀是否只停留在直觀、具體上？如何溝通幾何直觀與數(shù)學本質(zhì)的聯(lián)系？幾何直觀在研究、學習數(shù)學中是非常重要的，它也可以看作最基本的能力，希望數(shù)學教師重視它，在日常教學中幫助學生不斷提升這種能力。一、幾何直觀之我見 1．幾何直觀含義： 一是幾何，在這里幾何是指圖形. 空間形式最主要的表現(xiàn)就是“圖形”，除了美術(shù)，只有數(shù)學把圖形作為基本、主要研究對象。在數(shù)學研究、學習、講授中，不僅需要關(guān)注如何研究圖形的方法、研究圖形的結(jié)果，還需要感悟圖形給我們帶來的好處。幾何直觀就是在數(shù)學—幾何—圖形這樣一個關(guān)系鏈中讓我們體會到它所帶來的最大好處。（1）圖形可以幫助我們發(fā)現(xiàn)、描述研究的問題；（2）可以幫助我們尋求解決問題的思路；（3）可以幫助我們理解和記憶得到的結(jié)果。幾何直觀在研究、學習數(shù)學中的價值由此可見一般。 二是直觀，在本質(zhì)上是一種通過圖形所展開的想象能力。這里的直觀不僅僅是指直接看到的東西（直接看到的是一個層次），更重要的是依托現(xiàn)在看到的東西、以前看到的東西進行思考、想象，綜合起來幾何直觀就是依托、利用圖形進行數(shù)學的思考、想象。2．幾何直觀的重要性 （1）與數(shù)學的內(nèi)容緊密相聯(lián)——數(shù)形結(jié)合，生動形象 很多重要的數(shù)學內(nèi)容、概念，例如，數(shù)，度量，函數(shù)，以至于高中的解析幾何，向量，等等，都具有“雙重性”，既有“數(shù)的特征”，也有“形的特征”，只有從兩個方面認識它們，才能很好地理解它們，掌握它們的本質(zhì)意義。也只有這樣，才能讓這些內(nèi)容、概念變得形象、生動起來，變得更容易使學生接受并運用他們?nèi)ニ伎紗栴}，形成幾何直觀能力，這也就是經(jīng)常說的“數(shù)形結(jié)合”。（2）幾何變換不僅是內(nèi)容上的變化，也是設(shè)計幾何課程指導思想上變化。讓圖形“動起來”，在“運動或變換”中研究、揭示、學習圖形的性質(zhì)，這樣，一方面加深了對圖形性質(zhì)的本質(zhì)認識，另一方面對幾何直觀能力也是一種提升。由此也可以看到，在義務教育階段培養(yǎng)學生的幾何直觀是很重要的。（3）幾何直觀與“邏輯”、“推理”密不可分——合情推理，發(fā)散思維幾何直觀常常是靠邏輯支撐的。它不僅是看到了什么？而是通過看到的圖形思考到了什么？想象到了什么？這是數(shù)學非常重要而有價值的思維方式。幾何直觀會把看到的與以前學到的結(jié)合起來，通過思考、想象，猜想出一些可能的結(jié)論和論證思路，這也就是合情推理，它為嚴格證明結(jié)論奠定了基礎(chǔ)。二、幾何直觀的培養(yǎng) （1）將空間知識和現(xiàn)實生活聯(lián)系起來，創(chuàng)設(shè)一定的數(shù)學生活情境引導學生感知、理解實物,引導學生在摸一摸、量一量、議一議的過程中探索圖形的特征,使學生在頭腦中建立一個個的模型。（2）教會學生識圖，培養(yǎng)圖感，不時的讓學生畫圖，在教學中多小結(jié)基本圖形，如平行線間加角平分線得等腰三角形。初一學生尤其要這樣做。（3）以被動聽講和練習為主的學習方式是難以形成空間觀念，培養(yǎng)空間觀念需要大量的實踐活動。 2. 培養(yǎng)圖感。（1）使學生逐步養(yǎng)成畫圖習慣 在日常教學中，在指導學生學習數(shù)學過程中，幫助學生養(yǎng)成畫圖的習慣是非常重要的?？梢酝ㄟ^多種途徑和方式使學生真正體會到畫圖對理解概念、尋求解題思路上帶來的便利。在教學中應有這樣的導向：能畫圖時盡量畫，其實質(zhì)是將相對抽象的思考對象“圖形化”，盡量把問題、計算、證明等數(shù)學的過程變得直觀，直觀了就容易展開形象思維，無論計算還是證明，邏輯的、形式的結(jié)論都是在形象思維的基礎(chǔ)上產(chǎn)生的。（2）重視變換——讓圖形動起來在數(shù)學中，我們接觸的最基本的圖形都是“對稱”圖形，例如，球、圓錐、圓臺、正多面體、圓、正多邊形、長方體、長方形、菱形、平行四邊形等，都是“不同程度對稱圖形”；另一方面，在認識、學習、研究“不對稱圖形”時，又往往是運用這些“對稱圖形”為工具的。變換又可以看作運動，讓圖形動起來是指再認識這些圖形時，在頭腦中讓圖形動起來，例如，平行四邊形是一個中心對稱圖形，可以把它看作一個剛體，通過圍繞中心（兩條對角線的交點）旋轉(zhuǎn)180度，去認識、理解、記憶平行四邊形的其他性質(zhì)。充分地利用變換去認識、理解幾何圖形是建立幾何直觀的好辦法。（3）學會從“數(shù)”與“形”兩個角度認識數(shù)學在前面的論述中，多次反復強調(diào)了這一點，數(shù)形結(jié)合首先是對知識、技能的貫通式認識和理解。以后逐漸發(fā)展成一種對數(shù)與形之間的化歸與轉(zhuǎn)化的意識，這種對數(shù)學的認識和運用的能力，應該是形成正確的數(shù)學態(tài)度所必需要求的。（4）掌握、運用一些基本圖形解決問題把讓學生掌握一些重要的圖形作為教學任務，貫穿在義務教育階段數(shù)學教學、學習的始終。例如，除了上面指出的圖形，還有數(shù)軸，方格紙，直角坐標系等等。在教學中要有意識地強化對基本圖形的運用，不斷地運用這些基本圖形去發(fā)現(xiàn)、描述問題，理解、記憶結(jié)果，這應該成為教學中關(guān)注的目標。先對幾何問題的結(jié)果進行一定的推測，可能用什么知識來解決。審題時注意結(jié)論和條件的關(guān)系。如給直角這個條件，你會想到什么有關(guān)的知識。4. 多用分析法分析問題。多讓學生參與題目解答的設(shè)計多給學生思路分析的時間讓學生學會分析。如一題多解及解法優(yōu)化。如經(jīng)常學生碰到可以用等腰三角形的三線合一來證明的但他們用三角形全等來證明，可以用中垂線性質(zhì)解題的用三角形全等來證明。這些都是學生的幾何直觀能力欠缺。