動(dòng)態(tài)規(guī)劃在經(jīng)濟(jì)中的應(yīng)用學(xué)士學(xué)位論文(編輯修改稿)
2025-08-30 01:05 本頁(yè)面
【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 ，動(dòng)態(tài)規(guī)劃也有其缺點(diǎn)。 動(dòng)態(tài)規(guī)劃的優(yōu)缺點(diǎn)動(dòng)態(tài)規(guī)劃的方法有兩個(gè)明顯的優(yōu)點(diǎn)，與窮舉法相比:(1)計(jì)算量得到大大減少(2)計(jì)算結(jié)果得到豐富在一定條件下找到一種途徑，在對(duì)各階段的效益經(jīng)過(guò)按問(wèn)題具體性質(zhì)所確定的運(yùn)算以后，使得全過(guò)程的總效益達(dá)到最優(yōu)，這就是動(dòng)態(tài)規(guī)劃最優(yōu)化。 要注意階段的劃分是應(yīng)用動(dòng)態(tài)規(guī)劃的關(guān)鍵，必須根據(jù)題意分析，尋求合理的劃分階段(子問(wèn)題)方法。而每個(gè)子問(wèn)題是一個(gè)比原問(wèn)題簡(jiǎn)單得多的優(yōu)化問(wèn)題。而且每個(gè)子問(wèn)題的求解中，均利用到它的一個(gè)后部子問(wèn)題的最優(yōu)化結(jié)果，直到最后一個(gè)子問(wèn)題所得到的最優(yōu)解，它就是原問(wèn)題的最優(yōu)解。當(dāng)然動(dòng)態(tài)規(guī)劃方法也有不足之處：到目前為止，還沒(méi)有一個(gè)統(tǒng)一的標(biāo)準(zhǔn)模型可以應(yīng)用到所有問(wèn)題。由于實(shí)際問(wèn)題復(fù)雜和不同，其動(dòng)態(tài)規(guī)劃模型就有差異，雖然理論上說(shuō)可以把某些靜態(tài)規(guī)劃的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為動(dòng)態(tài)規(guī)劃模型來(lái)求解，但這種轉(zhuǎn)化優(yōu)勢(shì)變得非常困難，需要豐富的想象力和靈活的技巧性。還有應(yīng)用的局限性。由于構(gòu)造靜態(tài)規(guī)劃模型時(shí)，狀態(tài)變量必須滿足“無(wú)后效性”條件，這條件不僅依賴于狀態(tài)轉(zhuǎn)移規(guī)律，還依賴于允許決策集合和指標(biāo)函數(shù)的結(jié)構(gòu)是一個(gè)相當(dāng)強(qiáng)的條件。不少實(shí)際問(wèn)題在取其自然特征作為狀態(tài)變量往往不能滿足這條件，這就降低了動(dòng)態(tài)規(guī)劃的通用性。還有在求解數(shù)值時(shí)，存在“維數(shù)障礙”，在內(nèi)存限制下，超過(guò)三維的動(dòng)態(tài)規(guī)劃通常在現(xiàn)在是不可取的。對(duì)一個(gè)實(shí)際問(wèn)題建立動(dòng)態(tài)規(guī)劃模型時(shí)，必須做到下面五點(diǎn)：（一）根據(jù)實(shí)際情況將問(wèn)題過(guò)程化成適當(dāng)?shù)碾A段；（二）正確選擇變量，使他既能描述過(guò)程的演變，又要滿足無(wú)后效性；（三）正確確定決策變量及每階段的允許決策集合；（四）正確寫出狀態(tài)轉(zhuǎn)移方程；（五）正確寫出指標(biāo)函數(shù)的關(guān)系，它應(yīng)滿足下面三個(gè)性質(zhì)：①是定義在全過(guò)程和所有后部子過(guò)程上的數(shù)量函數(shù)；②要具有可分離性，并滿足遞推關(guān)系，即③函數(shù)對(duì)于變量要嚴(yán)格單調(diào)。以上五點(diǎn)是正確寫出動(dòng)態(tài)規(guī)劃基本方程的基本要素，是構(gòu)造動(dòng)態(tài)規(guī)劃模型的基礎(chǔ)。 下面介紹動(dòng)態(tài)規(guī)劃的最優(yōu)性原理和其無(wú)后效性。3 動(dòng)態(tài)規(guī)劃的最優(yōu)性原理和無(wú)后效性動(dòng)態(tài)規(guī)劃的最優(yōu)性原理可簡(jiǎn)單的描述為：作為整個(gè)過(guò)程的最優(yōu)策略具有這樣的性質(zhì):無(wú)論過(guò)去的狀態(tài)和決策如何,對(duì)前面的決策所形成的狀態(tài)而言,一個(gè)最優(yōu)策略的子策略總是最優(yōu)的。最優(yōu)性原理：設(shè)階段數(shù)為n的多階段決策過(guò)程，其階段編號(hào)為。允許策略是最優(yōu)策略的充要條件,對(duì)任何一個(gè)k，0kn1和∈有式中，它是由給定的初始狀態(tài)和子策略所確定的k段狀態(tài)。當(dāng)V是效益函數(shù)時(shí)，opt取max。當(dāng)V是損失函數(shù)時(shí)，opt取min。推論：若允許策略是最優(yōu)策略，則對(duì)任意的k,0kn1,它的子策略對(duì)于為起點(diǎn)的k到n1子過(guò)程來(lái)說(shuō)必是最優(yōu)策略（注意：k段狀態(tài)是由和確定的）。上述定理是動(dòng)態(tài)規(guī)劃的理論基礎(chǔ)[5]。 動(dòng)態(tài)規(guī)劃的無(wú)后效性原則所謂無(wú)后效性原則，指的是這樣一種性質(zhì)：某階段的狀態(tài)一旦確定，則此后過(guò)程的演變不再受此前各狀態(tài)及決策的影響。也就是說(shuō)，“未來(lái)與過(guò)去無(wú)關(guān)”，當(dāng)前的狀態(tài)是此前歷史的一個(gè)完整總結(jié)，此前的歷史只能通過(guò)當(dāng)前的狀態(tài)去影響過(guò)程未來(lái)的演變。具體地說(shuō)，如果一個(gè)問(wèn)題被劃分各個(gè)階段之后，階段 I 中的狀態(tài)只能由階段 I+1 中的狀態(tài)通過(guò)狀態(tài)轉(zhuǎn)移方程得來(lái)，與其他狀態(tài)沒(méi)有關(guān)系，特別是與未發(fā)生的狀態(tài)沒(méi)有關(guān)系，這就是無(wú)后效性[7]。 下面簡(jiǎn)單列舉關(guān)于應(yīng)用動(dòng)態(tài)規(guī)劃的兩個(gè)例子，簡(jiǎn)單介紹其在經(jīng)濟(jì)中尤其工業(yè)中的作用。4 動(dòng)態(tài)規(guī)劃在經(jīng)濟(jì)尤其工業(yè)中的應(yīng)用 生產(chǎn)計(jì)劃問(wèn)題對(duì)于生產(chǎn)計(jì)劃一類問(wèn)題，階段按計(jì)劃時(shí)間自然劃分，狀態(tài)定義為每階段開(kāi)始時(shí)的儲(chǔ)存量，決策為每階段的產(chǎn)量，即每個(gè)階段的需求量（已知量）為，則狀態(tài)轉(zhuǎn)移方程為，設(shè)每階段開(kāi)工的固定成本費(fèi)為a，生產(chǎn)單位數(shù)量產(chǎn)品的成本費(fèi)為b，每階段單位數(shù)量產(chǎn)品的儲(chǔ)存費(fèi)為c，階段指標(biāo)為階段成本和儲(chǔ)存費(fèi)之和，即 ①指標(biāo)函數(shù)為之和。最優(yōu)值函數(shù)為從第k段的狀態(tài)出發(fā)到過(guò)程終結(jié)的最小費(fèi)用，滿足 ②其中允許決策集合由每階段的最大生產(chǎn)能力決定。若設(shè)過(guò)程終結(jié)時(shí)允許儲(chǔ)存量為，則終端條件是 ③①②③構(gòu)成該問(wèn)題的動(dòng)態(tài)規(guī)劃模型。例1：某公司與一客戶訂立合同，在4個(gè)月內(nèi)售出一定數(shù)量的某種產(chǎn)品。由于各種原因，每月至多生產(chǎn)100單位，產(chǎn)量限于10的倍數(shù)。產(chǎn)品可以貯存，貯存費(fèi)用每單位2元。生產(chǎn)成本及每月銷售額如表11給出。要求確定一個(gè)生產(chǎn)過(guò)程，使能滿足合同要求，在生產(chǎn)能力以內(nèi)使生產(chǎn)成本最小。解： 階段變量表示月份。狀態(tài)變量表示k月初已有產(chǎn)品數(shù)。決策變量表示決定k月的生產(chǎn)數(shù)量，滿足約束狀態(tài)轉(zhuǎn)移，階段指標(biāo) 。表11月份單位生產(chǎn)成本合同銷售額170602727038012047660k=4（表12）時(shí)，由于13月份最大生產(chǎn)量為300單位，合同銷售總額為250單位，所以4月份最大貯存量為50單位，即可能取值為0、50。求解，得 ，則有。表120456060103820502030804030234030401600205086010k=3（表13）時(shí)，第一，第二月最大生產(chǎn)量為200單位，銷售合同額為60+70=130，所以3月份初最大貯存量為70單位。由和得。所以可能的取值為50、60、70單位。求解 表135060708090100201260012600100301182011880118209040110401110011160110408050102601032010380104401026070609480954096009660972094806070870087608820888089409000870050k=2(表14)時(shí)，1月份最大生產(chǎn)量為100單位，合同銷售量為60，則2月份最大貯存量為10060=40，即可能取值0、40。 求解
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