【文章內(nèi)容簡介】 由 φ(0,y) =0 → f(0) g( y) =B2 g(y)=0 ∵ g(y) ≠0∴ B2= 0 由 φ(a,y) =0 → f(a) g( y) =B1sh(ka)g(y)=0 ∵ sh(ka)g(y) ≠0∴ B1= 0 b、 代入法： 假設式 (a) [u(t) = A1+A2t]是 f(x)的解，則： 由 φ(0,y) =0 → f(0) g( y) =A1 g(y)=0 ∵ g(y) ≠0∴ A1= 0 由 φ(a,y) =0 → f(a) g( y) =A2 a g(y)=0 ∵ ag(y) ≠0∴ A2= 0 ∵ A1= A2= 0 ∴ 式 (a)不 是 f(x)的解 假設式 (c)[u(t) = A1cos kx t +A2sin kx t]是 f(x)的解，則： 由 φ(0,y) =0 → f(0) g( y) =A1 g(y)=0 ∵ g(y) ≠0∴ A1= 0 由 φ(a,y) =0 → f(a) g( y) =A2 sin kxa g(y)=0 ∵ 當 kxa =nπ 時 ： sin kxa=0 ∴ A2≠ 0 (n=0,1,2,3, …) ∵ B1= B2= 0 ∴ 式 (b)不 是 f(x)的解 ∵ A2≠ 0 ∴ 式 (c)是 f(x)的解 → f(x) =A2sin kx x 由式 ⑺ ： → kx= ky= 實數(shù) ∴ g(y) =B1 sh (kyy) +B2ch (kyy) 由 : φ(x,0) =0 → f(x) g(0) = f(x) B2 =0 ∵ f(x) ≠0∴ B2= 0 故： φ(x,y) = A2sin kx x B1 sh (kyy) = Csin kx x sh (kyy) ⑻ ③ 應用 付里葉級數(shù) 由前可知： kx= ky= nπ/a → 式 ⑻ ,則 式 ⑻ 中的 φ(x,y) → φ n(x,y) 即： φ n(x,y) = Cn sin (nπ/a )x sh (nπ/a) y (n=0,1,2,3, …) 故： φ(x,y)=∑ Cn sin (nπ/a )x sh (nπ/a) y u(t)= ao+∑(ancos nωt+ bnsin nωt) bn =(2/T)∫ u(t) sin nωt dt T o ω= 2π/T ∞ n=1 顯然上式是一正弦付里葉級數(shù)，是一奇函數(shù)， 因此： ao=an=0 。 ω= π/a = 2π/T → T= 2a ∞ n=o 由： φ(x,b) =U →φ( x,b)=∑ Cn sin (nπ/a )x sh (nπ/a) b =U ∞ n=o bn = Cn sh (nπ b/a) =(4/2a) ∫ U sin (nπ/a )xdx = 2U(1cos nπ)/nπ a o ∴ Cn= 2U(1cos nπ)/nπ sh (nπ b/a) = 4U/[nπ sh (nπ b/a)] 故： φ(x,y)=∑ [4U/ nπ sh ( nπ b/a)] sin (nπ/a )x sh (nπ/a) y ∞ n=1,3 (n=1,3,5 …) 解畢 Ⅰ 、 建方程： ∵ 導體槽在 Z向為無限長 ∴ φ為 x,y的函數(shù)，即： φ= φ(x,y) ∵ 導體槽內(nèi)為無源區(qū) ∴ ▽ 2φ = 0 → ?2φ/?x2 ＋ ?2φ/?y2=0 0 0 ( 0 )x yb? ? ? ? ?0 ( 0 )xa yb? ? ? ? ?0 0 (0 )y xa? ? ? ? ?( 0 )yb U x a? ? ? ? ? 如圖所示無限長金屬導體槽， 其頂面電位為 u，其余三面接地， 求導體槽內(nèi)電位分布 φ。 xyabu? ?中國地質(zhì)大學 例 2： Ⅱ 、寫邊值： 由題意可得 分離變量、 Ⅲ 、解方程： 利用二階一元齊次 方程 及其 解、 應用 付里葉級數(shù) φ(0,y) =0 φ(a,y) =0 φ(x,0) =0 φ(x,b) =U 解 中國地質(zhì)大學 二、柱坐標分離變量法 分離變量： 由定義： ⑵ 代到 ⑴ ： f″(ρ)gh + f′(ρ)gh/ρ + g″(φ)fh/ρ2 + h″(z)f g = 0 ⑶ ∵ φ為 ρ,φ,z的函數(shù) , 則可令 : φ = f(ρ) g(φ) h(z) ⑵ ⑴ ⑶ / ⑵ : f″(ρ)/ f(ρ) + f′(ρ)/ρf(ρ) + g″(φ)/ρ2 g(φ) + h″(z)/ h(z) = 0 ⑷ ∵ f(ρ),g(φ),h(z)分別獨立 ∴ 式 ⑷ 若成立，則 h″(z)/ h(z)必為常數(shù) 即有： h″ (z) / h(z) = k2z → h″(z)－ k2z h(z) = 0 ⑸ ?2φ ?2φ ?2φ ?φ ?ρ2 ρ2?φ2 ?z2 ρ?ρ ▽2φ = ——— + ——— ? ——— + ——— ⑸ → ⑷ ρ2 : ρ2 f″(ρ)/f(ρ) +ρf′(ρ)/f(ρ) + g″(φ)/g(φ) + ρ2k2z = 0 ⑹ 與上同理，式 ⑹ 若成立，則 g″(φ)/g(φ)項必為常數(shù) 即有： g″(φ)/g(φ) = m2 → g″(φ)+ m2 g(φ) = 0 ⑺ ⑺ → ⑹ f(ρ) ： ρ2 f″(ρ) +ρf′(ρ) + (ρ2k2z m2 ) f(ρ) = 0 ⑻ 顯然，分離的過程已實現(xiàn) 中國地質(zhì)大學 二、柱坐標分離變量法 對式 ⑸、 ⑺、 ⑻ 的分析： 證明： [ g″(φ)+ m2 g(φ) = 0 ⑺ ] 式 ⑸、 ⑺ 一元二階常系數(shù)齊次方程，而式 ⑻ 是 貝塞爾方程 ★ ∵ φ的取值為 (0, 2π) ， 且由唯一性定理可知，當 ρ 一定： g(φ) = g(φ+ 2π) ← 稱自然周期條件 ∴ 式 ⑺ 的可能解為式 (a),(c)。 ★ ∵ z的取值為 (∞, ∞) ∴ 式 ⑸ 的可能解為式 (a),(b),(c)。 ① 若 m = 0， 則解為 ： g(φ)=A1+A2 φ 再 由 g(φ) = g(φ+ 2π) 則有： A1+A2 φ =A1+A2 φ +A22π ， ∵ 2π≠0∴ A2 =0 ② 若 m2 ＜ 0， 則解為 ： g(φ)= B1 sh(mφ) +B2ch(mφ) 再 由 g(φ) = g(φ+ 2π), 且令： φ = 0 則有： g(0) = B2 ； g(2π)=B1 sh(2πm) +B2ch(2πm) 顯然： g(0) ≠g(2π) ， 即式 (b)不滿足 自然周期條件 這說明 m2 ＜ 0時， 式 (b) 不是 ⑺ 式的解。 這說明 m = 0時， g(φ)=A1是 ⑺ 式的解。 中國地質(zhì)大學 二、柱坐標分離變量法 ③ 若 m2 ＞ 0， 則解為 ： g(φ)= A1 cos(mφ) +A2sin(mφ) Ⅰ 、若討論空間為滿空間，即： φ (0～ 2π) 則： g(φ+ 2π) = A1 cos(mφ)cos 2πm –A1sin(mφ)sin 2πm + A2 sin(mφ) cos 2πm +A2 cos(mφ) sin 2πm, 顯然： 若要滿足自然周期條件，則必有 m=1,2,3… 整數(shù) 這說明 m2 ＞ 0時，式 (c) 是 ⑺ 式的解。 Ⅱ 、若討論空間為角空間，即： φ (0～ a) 為討論方便，且又不失一般性，可設邊值為齊次解， 即： g(0)= g(a)= 0 則： g(0)= A1 = 0 → 解： g(φ) = A2sin(mφ) g(a) = A2sin(ma) = 0 → ma = n π 顯然，此時 m的取值為 分數(shù) ∵ 角空間 ∴ 不 必滿足自然周期條件 a 0 0 中國地質(zhì)大學 二、柱坐標分離變量法 貝塞爾方程及其解： 貝塞爾方程： ρ2 f″(ρ) +ρf′(ρ) + (ρ2k2z m2 ) f(ρ) = 0 ⑻ ① 若 k2z＞ 0 則 → 解 ： f(ρ) = A1 Jm (kz ,ρ ) + A2Nm (kz ,ρ) Jm (kz ,ρ ) —— 第一類 貝塞爾函數(shù) Nm (kz ,ρ) —— 第二類 貝塞爾函數(shù) ② 若 k2z＜ 0 則 → 解 ： f(ρ) = A1 Km (kz ,ρ ) + A2Im (kz ,ρ) Km (kz ,ρ ) ， Im (kz ,ρ) —— 修正 貝塞爾函數(shù) 貝塞爾函數(shù)的求解采用的是查表或曲線的方法 中國地質(zhì)大學 二、柱坐標分離變量法 歐拉方程及其解： 若 kz = 0 則： ρ2 f″(ρ) +ρf′(ρ) m2 f(ρ) = 0 ← 歐拉方程 其解 ,m ≠0 : f(ρ) = Am ρm + Bm ρm m = 0 : f(ρ) = Ao + Bo ln ρ kz = 0 實質(zhì)上是將三維空間 → 二維空間 (即極坐標 ) 綜合以上所有的分析和討論，可得 極坐標下的通解： φ(ρ, φ ) = Ao+ Bo ln ρ +∑ (Am ρm + Bm ρm)(A1m cos(mφ) +A2msin(mφ) ) ∞ m=o Ⅰ 、 建方程： ∵ 導體槽在 Z向為無限長 ∴ φ為 x,y的函數(shù)，即： φ= φ(x,y) ∵ 導體槽內(nèi)為無源區(qū) ∴ ▽ 2φ = 0 → ?2φ/?x2 ＋ ?2φ/?y2=0 0 0 ( 0 )x yb? ? ? ? ?0 ( 0 )xa yb? ? ? ?