【文章內(nèi)容簡介】 求下列函數(shù)的定義域． ( 1 ) y ＝11 ＋1x； ( 2 ) y ＝? x ＋ 1 ?0| x |－ x； ( 3 ) y ＝ 3 － | x － 2| ＋ lg ( 3 x ＋ 7)2； ( 4 ) y ＝ 4 － x2＋1| x |－ 1. 解析 ( 1 ) 自變量 x 需滿足????? x ≠ 0 ，1 ＋1x≠ 0. 解得 x ≠ 0 ， x ≠ － 1. ∴ 函數(shù)的定義域?yàn)?{ x | x ∈ R ，且 x ≠ 0 ， x ≠ － 1} ． ( 2 ) 自變量 x 需滿足????? x ＋ 1 ≠ 0| x |－ x ＞ 0.解得????? x ≠ － 1 ，x ＜ 0. ∴ 函數(shù)的定義域?yàn)?( － ∞ ，－ 1) ∪ ( － 1 , 0 ) ． ( 3 ) 自變量 x 需滿足????? 3 － | x － 2| ≥ 0 ， ①3 x ＋ 7 ≠ 0. ② 不等式 ① 知 | x － 2| ≤ 3 ，即－ 3 ≤ x － 2 ≤ 3 ， ∴ － 1 ≤ x ≤ 5. ② 即 x ≠ －73， ∴ 函數(shù)的定義域?yàn)?[ － 1 , 5 ] ． ( 4 ) 要使函數(shù)有意義，需有????? 4 － x2≥ 0 ，| x |－ 1 ≠ 0 ， 有????? － 2 ≤ x ≤ 2 ，x ≠ 177。 1 . 不等式組的解集為 [ － 2 ，－ 1) ∪ ( － 1 , 1 ) ∪ ( 1 , 2 ] ． ∴ 函數(shù) y ＝ 4 － x2＋1| x |－ 1的定義域?yàn)?[ － 2 ，－ 1) ∪ ( －1 , 1 ) ∪ ( 1 , 2 ] . 題型三 復(fù)合函數(shù)的定義域問題 例 3 ( 1 ) 已知函數(shù) f ( x ) 的定義域?yàn)?( 0 , 1 ) ，求 f ( x2) 的定義域； ( 2 ) 已知函數(shù) f (2 x ＋ 1) 的定義域?yàn)?( 0 , 1 ) ，求 f ( x ) 的定義域； ( 3 ) 已知函數(shù) f ( x ＋ 1) 的定義域?yàn)?[ － 2 , 0 ] ，若 k ∈ ( 0 , 1 ) ，求 F ( x ) ＝f ( x － k ) ＋ f ( x ＋ k ) 的定義域． 解析 ( 1 ) ∵ f ( x ) 的定義域?yàn)?( 0 , 1 ) ． ∴ 要使 f ( x2) 有意義，需使 0 ＜ x2＜ 1 ， 即－ 1 ＜ x ＜ 0 或 0 ＜ x ＜ 1 ， ∴ 函數(shù) f ( x2) 的定義域?yàn)?{ x |－ 1 ＜ x ＜ 0 或 0 ＜ x ＜ 1} ． ( 2 ) ∵ f (2 x ＋ 1) 的定義域?yàn)?( 0 , 1 ) ，即其中的自變量 x 的取值范圍是0 ＜ x ＜ 1 ， 令 t＝ 2 x ＋ 1 ，則 1 ＜ t＜ 3 ， ∴ f ( t ) 的定義域?yàn)?{ t |1 ＜ t＜ 3} ， ∴ 函數(shù) f ( x ) 的定義域?yàn)?{ x |1 ＜ x ＜ 3} ． ( 3 ) ∵ f ( x ＋ 1) 的定義域?yàn)?[ － 2 , 0 ] ， ∴ － 1 ≤ x ＋ 1 ≤ 1 ， 令 t＝ x ＋ 1 ， ∴ － 1 ≤ t ≤ 1 ， ∴ f ( t ) 的定義域?yàn)?[ － 1 , 1 ] ． 即 f ( x ) 的定義域?yàn)?[ － 1 , 1 ] ． 要使 F ( x ) ＝ f ( x － k ) ＋ f ( x ＋ k ) 有意義， 則????? － 1 ≤ x － k ≤ 1 ，－ 1 ≤ x ＋ k ≤ 1 ， 解得????? k － 1 ≤ x ≤ k ＋ 1 ，－ k － 1 ≤ x ≤ 1 － k ， ∵ k ∈ ( 0 , 1 ) ， ∴ k － 1 ≤ x ≤ 1 － k ， ∴ 函數(shù) F ( x ) ＝ f ( x － k ) ＋ f ( x ＋ k ) 的定義域?yàn)?{ x | k － 1 ≤ x ≤ 1 － k } ． 點(diǎn)評 ( 1 ) 如果函數(shù) f ( x ) 的定義域?yàn)?A ，對于復(fù)合函數(shù) f [ g ( x )] 而言，其定義域是使得函數(shù) g ( x ) ∈ A 的 x 的取值集合． ( 2 ) 如果 f [ g ( x )] 的定義域?yàn)?A ，則函數(shù) f ( x ) 的 定義域是函數(shù) g ( x )在 x ∈ A 上的值域． ( 3 ) 形如 f ( x ) ＝ ax2＋ bx ＋ c 的函數(shù)，在研究定義域問題時(shí)，要注意分 a ＝ 0 與 a ≠ 0 兩種情況討論 . 變式遷移 3 ( 1 ) 已知函數(shù) f ( x ) 的定義域是 [ － 2 , 2 ] ，則 f ( x2－ 1) 的定義域是_ _ _ _ _ _ _ _ ． ( 2 ) 已知函數(shù) f ( x － 1) 的定義域是 [ － 2 , 2 ] ，則 f (2 x ＋ 1) 的定義域是_ _ _ _ _ _ _ _ ． 答案 ( 1 ) [ － 3 ， 3 ] ( 2 ) [ － 2 , 0 ) 解析 ( 1 ) 由分析得－ 2 ≤ x2－ 1 ≤ 2 ， ∴ － 1 ≤ x2≤ 3 ， 又 x2≥ 0 ， ∴ 0 ≤ x2≤ 3 ， ∴ f ( x2－ 1) 的定義域是 [ － 3 ， 3 ] ． ( 2 ) 由已知－ 2 ≤ x ≤ 2 ， ∴ － 3 ≤ x － 1 ≤ 1 ， 即在 f ( x ) 中，自變量的取值范圍是 [ － 3 , 1 ] ， ∴ － 3 ≤ 2 x ＋ 1 ≤ 1 ， 解得 f (2 x ＋ 1) 的定義域是 [ － 2 , 0 ] . 題型四 分段函數(shù) 例 4 設(shè)函數(shù) f ( x ) ＝????? ? x ＋ 1 ?2， x ＜ 1 ，4 － x － 1 ， x ≥ 1 ；則使得 f ( x ) ≥ 1 的自變量x 的取值范圍是 ( ) A ． ( － ∞ ，－ 2] ∪ [ 0 , 1 0 ] B ． ( － ∞ ，－ 2] ∪ [ 0 , 1 ] C ． ( － ∞ ，－ 2] ∪ [ 1 , 1 0 ] D ． [ － 2 , 0 ] ∪ [ 1 , 1 0 ] 解析 若 ( x ＋ 1)2≥ 1 ， 則 x ≤ － 2 ，若 x ≥ 0 ，此時(shí)應(yīng)滿足 x ＜ 1 的條件， ∴ 此時(shí)不等式的解是 x ≤ － 2 ，或 0 ≤ x ＜ 1 ； 若 4 － x － 1 ≥ 1 ，則 x ≤ 10 ，此時(shí)應(yīng)有 x ≥ 1 ， 故此時(shí)的不等式的解是 1 ≤ x ≤ 10 ， 綜合即得原不等式的解集為 ( － ∞ ，－ 2] ∪ [ 0 , 1 0 ] ． 答案 A 變式遷移 4 已知函數(shù) f ( x ) ＝????? 2x， x ≤ 0 ；f ? x － 3 ? ， x ＞ 0.則 f ( 5 ) ＝ ( ) A ． 3 2 B ． 16 C.12 D.132 答案 C 解析 由已知得 f ( 5 ) ＝ f (5 － 3) ＝ f ( 2 ) ＝ f (2 － 3) ＝ f ( － 1) ＝ 2－ 1＝12.故應(yīng)選 C. 題型五 求函數(shù)解析式的問題類型與解題方法 例 5 在下列條件下，求函數(shù) f ( x ) 的解析式： ( 1 ) 已知 f ( x ) 是一次函數(shù)，且滿足 3 f ( x ＋ 1) － 2 f ( x － 1) ＝ 2 x ＋ 17 ； ( 2 ) 已知 f ( x ＋1x) ＝ x3＋1x3 ； ( 3 ) 已知 f ( x － 2) ＝ x2－ 3 x ＋ 5 ； ( 4 ) 已知等式 f ( x － y ) ＝ f ( x ) － y (2 x － y ＋ 1) 對一切實(shí)數(shù) x 、 y 都成立，且 f ( 0 ) ＝ 1. 分析 ( 1 ) 中已知函數(shù)是一次函數(shù)，可以用待定系數(shù)方法； ( 2 ) 可以用換元法或配湊法； ( 3 ) 可以用換元法； ( 4 ) 可以用賦值法． 解析 ( 1 ) 設(shè) f ( x ) ＝ ax ＋ b ( a ≠ 0) ， 代入 3 f ( x ＋ 1) － 2 f ( x － 1) ＝ 2 x ＋ 17 ， 得 ax ＋ 5 a ＋ b ＝ 2 x ＋ 17 ， 比較對應(yīng)項(xiàng)的系數(shù)得 a ＝ 2 ， b ＝ 7 ， ∴ f ( x ) ＝ 2 x ＋ 7. ( 2 ) ∵ f ( x ＋1x) ＝ ( x ＋1x)3－ 3( x ＋1x) ， ∴ f ( x ) ＝ x3－ 3 x . ( 3 ) 令 x － 2 ＝ t，則 x ＝ t＋ 2 ∴ f ( t ) ＝ ( t＋ 2)2－ 3( t＋ 2) ＋ 5 即： f ( t ) ＝ t2＋ t＋ 3 ∴ f ( x ) ＝ x2＋ x ＋ 3 ( 4 ) 令 x ＝ 0 ，則已知等式化為 f ( － y ) ＝ f ( 0 ) － y (0 － y ＋ 1) ， 即 f ( － y ) ＝ y2－ y ＋ 1 ，令 x ＝－ y ， 則 f ( x ) ＝ x2＋ x ＋ 1. 變式遷移 5 已知函數(shù) f ( x ) 滿足條件 2 f ( x ) ＋ f (1x) ＝ 3 x 對任意不為零的實(shí)數(shù) x恒成立，求 f ( x ) 的解析式． 解析 ∵ 2 f ( x ) ＋ f (1x) ＝ 3 x 對于非零實(shí)數(shù) x 恒成立， ∴ 2 f (1x) ＋ f ( x ) ＝3x也成立，聯(lián)立兩個(gè)方程，解得 f ( x ) ＝ 2 x －1x，此即所求的函數(shù)解析式． 題型六 映射 例 6 設(shè) A ＝ {( x