第七講泰勒taylor級數(shù)羅朗laurent級數(shù)(編輯修改稿)
2025-08-28 12:49 本頁面
【文章內(nèi)容簡介】 展開成雙邊冪級數(shù) ? 4. 展開式的唯一性 167。 羅朗 (Laurent)級數(shù) 由 167。 知 , f (z) 在 z0 解析 ，則 f (z)總可以 在 z0 的某一個圓域 ?z z0?R 內(nèi) 展開成 z z0 的冪級數(shù)。 若 f (z) 在 z0 點不解析 ， 在 z0的鄰域中就不可能展開成 z z0 的冪級數(shù)，但如果在圓環(huán)域 R1?z z0?R2 內(nèi)解析， 那么， f (z)能否用 級數(shù)表示呢？ 例如， .11010:,1,0)1(1)(內(nèi)處處解析及圓環(huán)域但在都不解析在?????????zzzzzzzf???????????nzzzzz 2111 zzzzzfz???????111)1(1)(,10 時當???????????????)1(1111)1(1)(,110zzzzzfz 時當????????????????? ????nnnnzzczzcczzczzczf)()()()()(00101010由此推想，若 f (z) 在 R 1?z z0?R2 內(nèi)解析 , f (z) 可以展開成級數(shù)，只是這個級數(shù)含有負冪次項 ,即 ? ????????????????????????????1211)1()1(111)1()1()1(111nnzzzzzzzz 本節(jié)將討論在以 z 0為中心的圓環(huán)域內(nèi)解析 的函數(shù)的級數(shù)表示法。它是后面將要研究的解 析函數(shù)在 孤立奇點 鄰域內(nèi)的性質(zhì)以及定義 留數(shù) 和計算留數(shù)的基礎(chǔ)。 1. 預(yù)備知識 Cauchy 積分公式的推廣到復(fù)連通域 見第三章第 18題 ，：、且作圓周：解析內(nèi)在設(shè)RzzrDDkkRrRzzkrzzkRzzRDzf????????????01210201201,:,:.:)( D z0 R1 R2 r R k1 k2 D1 z 有，對 1Dz ???? ???? ?? dzfidzfizf kk ?? ????12)(21)(21)(2. 雙邊冪級數(shù) 含有正負冪項的級數(shù) 定義 形如 )1()()()()()(001010100?????????????????? ??????????nnnnnnnzzczzcczzczzczzc 雙邊冪級數(shù) 正冪項 (包括常數(shù)項 )部分 ： )2()()()( 001000 ?? ???????????nnnnn zzczzcczzc都是常數(shù)及其中 ),2,1,0(0 ????ncz n負冪項部分 ： )3()()()( 010110 ?? ????????????????nnnnn zzczzczzc級數(shù) (2)是一冪級數(shù)，設(shè)收斂半徑為 R2 ， 則級數(shù) 在 ?z z0?=R2 內(nèi)收斂，且和為 s(z)+。 在 ?z z0?=R 2外發(fā)散。 則若令對于級數(shù) ,1),3(0zz ???級數(shù)發(fā)散。級數(shù)收斂則當設(shè)其收斂半徑為為冪級數(shù)級數(shù)對變數(shù)RRR?? ???,)4()4()( 221110 ?? ??????? ?????????? ??nnnnnnnn cccczzc ????)4(,11,1100則級數(shù)代回得將令RRzzzz??????.。)(, 1010 發(fā)散當且和為收斂當 － RzzzsRzz ????z0 R1 R2 有公共收斂域21 RR ?z0 R2 R1 無公共收斂域21 RR ?。且和收斂稱，此時，區(qū)域即圓環(huán)域：有公共收斂及時，級數(shù)當且僅當??????????????? )()()(,)()3()2(020121zszszszzcRzzRRRnnn.)()4( 2022以逐項求積和逐項求導和函數(shù)是解析的而且可內(nèi)的在級數(shù) RzzRzzcnnn ?????????? ???????02100)3(zzRR：，收斂域為此時可以可以。， 發(fā)散處處稱時當 ????????nnn zzcRR )()1( 021(2)在圓環(huán)域的邊界 ?z z0?=R1, ?z z0?=R2上 , ???????nnn zzc 。點 收斂，有些點發(fā)散可能有些)( 03. 函數(shù)展開成雙邊冪級數(shù) 定理 .)39。5(),2,1,0()()(21:)5()()(,:)(010
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