【文章內容簡介】 簧－阻尼器系統(tǒng)運動示意圖本系統(tǒng)內部各相關參數(shù)定義如下：M ：小車質量k ：彈簧彈性系數(shù)f ：粘性摩擦系數(shù)F ：加在小車上的力y ：小車位移在小車M上作用一個外力F，小車的位移為y。設阻尼器的摩擦力與成正比，彈簧彈力與y成正比。對于該機械系統(tǒng)，根據牛頓第二定律有：即：（41）(1) 傳遞函數(shù)模型在初始條件為零的條件下，對方程（41）式進行拉普拉斯變換，得到：由此可得傳遞函數(shù)：（42）(2) 狀態(tài)空間模型選擇位移y和速度為狀態(tài)變量，而位移為系統(tǒng)的輸出，力F為輸入量，則有：于是該機械系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達式為：（43）(3) 模型轉換傳遞函數(shù)和狀態(tài)空間表達式是對系統(tǒng)的兩種描述方式，二者都是在系統(tǒng)微分方程的基礎上建立起來的。在系統(tǒng)初始松弛的條件下，對狀態(tài)空間表達式進行Laplace變換并且化簡，可以求出系統(tǒng)的傳遞函數(shù)。根據傳遞函數(shù)可得到系統(tǒng)的微分方程（初始松弛），選擇適當?shù)臓顟B(tài)變量便可以得到相應的狀態(tài)空間表達式?？梢妭鬟f函數(shù)和狀態(tài)空間表達式之間是可以相互轉換的。一般而言，由狀態(tài)空間表達式可得到唯一的傳遞函數(shù)；而由傳遞函數(shù)可得到多個不同的狀態(tài)空間表達式，這取決于狀態(tài)變量的選擇。在此只討論將狀態(tài)空間表達式轉換為傳遞函數(shù)。針對Mkf系統(tǒng)，根據其狀態(tài)空間表達式（43）式求出輸出量對輸入量的傳遞函數(shù)（即傳遞函數(shù)）見（44）式，它與（42）式的結果一致。（44）(二) VI設計(1) 子VI的選擇本程序中用到的子VI及其功能如表44所示：表44 Mkf系統(tǒng)建模與模型轉換程序中用到的VI序號名稱功能1CD Draw Transfer Function 繪出傳遞函數(shù)模型2CD Draw ZeroPoleGain 繪出零極點增益模型3CD Draw StateSpace 繪出狀態(tài)空間模型4CD Convert to Transfer Function 將系統(tǒng)模型轉換為傳遞函數(shù)形式5CD Convert to ZeroPoleGain 將系統(tǒng)模型轉換為零極點增益形式6CD 計算并返回系統(tǒng)的極點(2) 程序設計在本程序中，先建立Mkf系統(tǒng)的狀態(tài)空間模型，然后將其轉換為傳遞函數(shù)模型和零極點增益模型。建立系統(tǒng)模型既可采用控制設計工具包 “Model Construction”子VI庫下的子VI實現(xiàn)，也可以使用MathScript節(jié)點實現(xiàn)。在典型環(huán)節(jié)的建模中由于模型簡單采用了前者，而建立Mkf系統(tǒng)的狀態(tài)空間模型時，兩種方法的差別不大、優(yōu)劣不明顯，此處選擇后者。其MathScript節(jié)點代碼如下：%求狀態(tài)空間sys(A,B,C,D) a=[0 1。k/M f/M]。 b=[0。1/M]。 c=[1 0]。 d=[0]。 sys=ss(a,b,c,d)。將系統(tǒng)的狀態(tài)空間模型連接至“CD Convert to Transfer Function ”和“CD Convert to ZeroPoleGain ”，可實現(xiàn)狀態(tài)空間模型到傳遞函數(shù)模型和零極點增益模型的轉換。系統(tǒng)模型可通過相應的模型繪制VI以圖片形式顯示出來。由于當系統(tǒng)極點為共軛復數(shù)時，得到的零極點增益模型與傳遞函數(shù)模型相同，失去該模型的意義，因此可考慮增加“CD ”計算并以復數(shù)形式返回系統(tǒng)的極點，彌補這一缺陷?！癈D ”的輸入端連接系統(tǒng)模型，輸出端連接到復數(shù)數(shù)組形式的顯示控件。為實現(xiàn)程序的實時性，可將通過上述步驟獲得的程序放入While循環(huán)結構，加入布爾按鈕控制程序停止。至此完成了Mkf系統(tǒng)建模與模型轉換VI的設計，其前面板及程序框圖如圖410所示： 圖410 “”的前面板和框圖 模型分析及其VI設計上一小節(jié)所設計的“”實現(xiàn)了Mkf系統(tǒng)狀態(tài)空間模型、傳遞函數(shù)模型和零極點增益模型的建立。本小節(jié)將在此基礎上完成Mkf系統(tǒng)的性能分析和相應的VI設計。(一) 模型分析對Mkf系統(tǒng)的模型分析基于狀態(tài)空間模型和傳遞函數(shù)模型。在傳遞函數(shù)模型的基礎上進行時域分析和頻域分析，由于Mkf系統(tǒng)的傳遞函數(shù)（42）式實質上是一個二階振蕩環(huán)節(jié)，此處不再贅述。在狀態(tài)空間模型的基礎上進行的狀態(tài)空間分析，主要有以下方面：(1) 線性變換選取不同的狀態(tài)變量，得到的狀態(tài)空間表達式也不相同。各狀態(tài)空間表達式之間存在著線性變換關系。利用線性變換，可得到便于應用且簡單的狀態(tài)空間表達式[17]。引入非奇異變換矩陣P，對狀態(tài)變量x進行線性變換，可得到新的系統(tǒng)方程：（45）適當選擇變換矩陣P，可將系數(shù)矩陣A轉化為標準型（對角形、約當形或模態(tài)形），使得系統(tǒng)達到最弱耦合形式。(2) 能控性分析根據能控性的秩判據來判斷系統(tǒng)的能控性：計算，如果系統(tǒng)的能控性矩陣滿秩，則系統(tǒng)能控。(3) 能觀測性分析根據能觀測性的秩判據來判斷系統(tǒng)的能觀測性：計算，如果系統(tǒng)的能觀測性矩陣滿秩，則系統(tǒng)能觀測。(二) VI設計，主要的不同點在于利用MathScript節(jié)點計算出了系統(tǒng)的阻尼比ζ和無阻尼自然振蕩頻率，在0ζ1時給出了詳細的時域響應動態(tài)性能指標。這里直接給出前面板及程序框圖如圖411所示： （a）（b）（c）（d）圖411 “”的前面板和框圖需要說明的是，以上是一個VI程序，實現(xiàn)了Mkf系統(tǒng)時域與頻域分析。在程序框圖中使用分支結構實現(xiàn)時域分析與頻域分析的選擇，同時采用了屬性節(jié)點控制前面板上相關控件的顯示與隱藏。接下來設計Mkf系統(tǒng)狀態(tài)空間分析的VI程序，本程序中用到的子VI及其功能如表45所示：表45 Mkf系統(tǒng)狀態(tài)空間分析程序中用到的VI序號名稱功能1CD Canonical StateSpace Realization將系統(tǒng)轉換為規(guī)范形式的實現(xiàn)2CD Draw StateSpace 繪出狀態(tài)空間模型3CD Controllability 計算系統(tǒng)的可控性矩陣4CD Observability 計算系統(tǒng)的可觀性矩陣，建立起系統(tǒng)的狀態(tài)空間模型。將系統(tǒng)模型連接至“CD Canonical StateSpace ”，在其輸出端可以獲得狀態(tài)空間模型的標準型，同時可得到對應的變換矩陣。添加“CD Controllability ”和“CD Observability ”，并將系統(tǒng)模型連接至這兩個VI，計算出該系統(tǒng)的可控性矩陣和可觀測性矩陣，同時這兩個VI也可以分別通過輸出參數(shù)“Is Controllable?”和“Is Observable?”給出可控性和可觀測性的判定結果。通過以上的步驟，可完成Mkf系統(tǒng)狀態(tài)空間分析VI的設計，其前面板及程序框圖如圖412所示：圖412 “”的前面板和框圖 PID設計及其VI設計(一) PID控制PID控制一般采用圖413所示的控制系統(tǒng)結構，即串聯(lián)控制[8]：控制器r(t)受控對象e(t)u(t)y(t)圖413 串聯(lián)控制系統(tǒng)結構控制器接受誤差信號e(t)后，按一定的運算規(guī)律輸出控制信號，作用于被控對象，消除擾動對被控對象的影響，使被控量y(t)達到給定值。輸出y(t)能否達到給定值，以及以怎樣的途徑，經過多長時間，即控制過程的品質如何，不僅與受控對象的特性有關，而且與控制器的特性，即控制器的運算規(guī)律有關。本設計中采用的控制器為PID控制器，其構成方式有多種，這里采用由P、I、D環(huán)節(jié)并聯(lián)的結構，其傳遞函數(shù)為：（46）等式的右邊分別對應于比例(P)、微分(D)和積分(I)環(huán)節(jié)。KP、KD、KI分別為比例增益、微分增益和積分增益，其參數(shù)值確定之后，PID控制器的形式也就確定了。（47）PID控制器在閉環(huán)系統(tǒng)中的工作過程為：誤差信號e(t)，即被控量期望值r(t)與實際輸出值y(t)之間的差值，被輸入到PID控制器，控制器計算出誤差信號的微分和積分，其輸出為（47）式：該信號被輸入受控對象，獲得新的輸出y(t)，此輸出與給定值r(t)比較后得到新的誤差信號e(t)，再輸入到PID控制器中，重復上述過程。P、I、D控制作用的特性為：比例控制將減少上升時間，并減小穩(wěn)態(tài)誤差，提高系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)精度，但不能消除穩(wěn)態(tài)誤差；積分控制可以消除穩(wěn)態(tài)誤差，但可能導致動態(tài)響應過程變差；微分控制將增加系統(tǒng)的穩(wěn)定性，減少超調量，改善動態(tài)響應過程。三種控制作用對閉環(huán)系統(tǒng)的影響總結于表46中。表46 P、I、D控制作用對閉環(huán)系統(tǒng)的影響控制作用上升時間超調量調節(jié)時間穩(wěn)態(tài)誤差KP減少增加影響很小減少KI減少增加增加消除KD影響很小減少減少影響很小這些關系可能并不是十分準確，因為KP、KI和KD之間是相互依賴的，改變其中任何一個都會影響到其他兩個。表46只作為確定KP、KI和KD參數(shù)值的參考。PID控制器的設計可按以下步驟進行：獲取受控系統(tǒng)的開環(huán)響應，并確定哪些性能指標需要改進；添加比例控制，以改善上升時間；添加微分控制，以改善超調量；添加積分控制，以消除穩(wěn)態(tài)誤差；調整KP、KI和KD直到獲得理想的閉環(huán)響應。當然，在滿足設計要求的前提下，控制器越簡單越好，并不要求必須用到三種控制作用，例如當PI控制器滿足要求時，就沒必要再加入微分控制。設計PID控制器的關鍵在于KP、KI和KD參數(shù)的選取，即PID參數(shù)的整定，實際應用中通常采用經驗公式來完成。利用本小節(jié)中編寫的程序，可以通過經驗試湊法整定PID控制器參數(shù)。設計的程序將實現(xiàn)加入PID控制器后的開環(huán)系統(tǒng)和閉環(huán)系統(tǒng)的實時分析，用戶可以不斷修改PID控制器的參數(shù)，直到系統(tǒng)性能符合要求為止。在參數(shù)整定過程中可以以表46為參考，調整KP、KI和KD的參數(shù)值。(二) VI設計(1) 程序流程圖圖414 Mkf系統(tǒng)PID設計的程序流程圖Mkf系統(tǒng)的PID設計部分程序流程圖如圖414所示。程序開始時，輸入受控系統(tǒng)參數(shù)（M、f、k）和PID控制器的參數(shù)（KP、KI、KD），分別建立起受控系統(tǒng)模型和PID控制器的模型。對模型進行串聯(lián)連接可得到設計后的開環(huán)系統(tǒng)模型，對此模型進行頻域分析，獲得其Bode圖并計算出穩(wěn)定裕量。在串聯(lián)連接的基礎上進行反饋連接即可得到設計后的閉環(huán)系統(tǒng)模型，對該模型進行時域分析，獲得相關的時域性能指標。根據開環(huán)系統(tǒng)頻域分析和閉環(huán)系統(tǒng)時域分析的結果，可以對設計的PID控制器作出評估，接下來可重新選擇PID控制器的參數(shù)，重復上述過程直到設計結果達到要求為止。(2) 子VI的選擇本程序中主要用到的子VI及其功能如表47所示：表47 Mkf系統(tǒng)PID設計程序中用到的VI序號名稱功能1CD Draw Transfer Function 繪出傳遞函數(shù)模型2CD Draw ZeroPoleGain 繪出零極點模型3CD Construct PID 建立傳遞函數(shù)形式的PID模型4CD 計算并返回系統(tǒng)的極點5CD 實現(xiàn)串聯(lián)連接并獲得系統(tǒng)模型6CD 實現(xiàn)反饋連接并獲得系統(tǒng)模型7CD Gain and Phase 計算系統(tǒng)的穩(wěn)定裕量8CD Step 計算系統(tǒng)的階躍響應9CD Impulse 計算系統(tǒng)的脈沖響應10CD Parametric Time 計算系統(tǒng)在指定激勵下的響應信號及其動態(tài)參數(shù)(3) 程序設計考慮到整個程序構成一個循環(huán)結構，可采用While循環(huán)結構，加入布爾按鈕控制程序是否停止。，此處采用該小節(jié)設計出的程序。利用“CD Construct PID ”建立PID控制器的模型，“CD Construct PID ”的輸入端為KP、KI和KD，輸出為PID控制器的傳遞函數(shù)模型，將該模型連接至“CD Draw ZeroPoleGain ”，可將PID控制器模型以零極點形式繪制出來。接下來，利用“CD ”實現(xiàn)Mkf系統(tǒng)模型與PID控制器模型的串聯(lián)連接，獲得設計后的開環(huán)系統(tǒng)模型，將該模型連接到“CD Gain and Phase ”，即可獲得開環(huán)Bode圖并計算出幅值裕量和相角裕量。將開環(huán)系統(tǒng)模型與傳遞函數(shù)為1的模型連接到“CD ”，可得到設計后的閉環(huán)系統(tǒng)模型，即可獲得時域響應曲線及相應的性能指標。利用“CD ”可以獲得原系統(tǒng)模型與設計后的閉環(huán)系統(tǒng)模型的極點，作為系統(tǒng)設計的參考。最后在前面板上添加適當?shù)男揎棧缂^等，完整表現(xiàn)閉環(huán)系統(tǒng)模型的獲得過程。通過以上的步驟，可完成Mkf系統(tǒng)PID設計的VI的設計，其前面板及程序框圖如圖415所示：圖415 “”的前面板和框圖 一級倒立擺系統(tǒng)倒立擺系統(tǒng)是一類非線性、強耦合、多變量和自然不穩(wěn)定的系統(tǒng)[37]，是檢驗各種控制理論的不可多得的典型物理模型。通過對倒立擺系統(tǒng)的研究，不僅可以解決控制中的理論問題，還能將控制理論所涉及的三個基礎學科：力學、數(shù)學和電學（含計算機）有機的結合起來，在倒立擺系統(tǒng)中進行綜合應用[39]。 建模與分析及其VI設計(一) 建模一級倒立擺系統(tǒng)屬于非線性系統(tǒng)，為簡化系統(tǒng)分析并采用狀態(tài)反饋來控制，需要將其近似為一個線性系統(tǒng)。在實際的建模過程中，要忽略空氣流動阻力以及各種次要的摩擦阻力[40]。這樣，可將該系統(tǒng)抽象成由小車和勻質剛性桿組成的系統(tǒng)，如圖416所示。φ圖416 一級倒立擺系統(tǒng)運動示意圖本系統(tǒng)內部各相關參數(shù)定義如下：M ：小車質量m ：擺桿質量b ：小車摩擦系數(shù)l ：擺桿轉動軸心到桿質心的長度I ：擺桿慣量F ：加在小車上的力x ：小車位置φ ：擺桿與垂直向上方向的夾角（逆時針為正）θ ：擺桿與垂直向下方向的夾角（考慮到擺桿初始位置為豎直向下）圖417是一級倒立擺系統(tǒng)中小車和擺桿的受力分析圖，圖示方向為矢量正方向。其中，N和P為小車與擺桿相互作用力在水平和垂直方向上的分量。圖417 小車和擺桿的受力分析應用Newton方法