高三數(shù)學(xué)填空題的解題方法與技巧(編輯修改稿)
2024-12-16 07:31 本頁面
【文章內(nèi)容簡介】 =| x | 與 y = s in x 的圖象： 根據(jù)圖象可得不等式的解集為： 2π2ππ),( π)π,()ππ,( 2202 ???π),( π)π,()ππ,( 2202 ???題型四 等價轉(zhuǎn)化法 將所給的命題進(jìn)行等價轉(zhuǎn)化，使之成為一種容易理解的語 言或容易求解的模式．通過轉(zhuǎn)化，使問題化繁為簡、化陌 生為熟悉，將問題等價轉(zhuǎn)化成便于解決的問題，從而得出 正確的結(jié)果． 例 6 設(shè)函數(shù) f ( x ) ＝????? x2－ 4 x ＋ 6 ， x ≥ 03 x ＋ 4 ， x 0，若互不相等的實 數(shù) x1， x2， x3滿足 f ( x1) ＝ f ( x2) ＝ f ( x3) ，則 x1＋ x2＋ x3的取值 范圍是 ________ ． 思維啟迪 將問題轉(zhuǎn)化為 y ＝ m 與 y ＝ f ( x ) 有三個不同的交點，再研究三個交點的橫坐標(biāo)之和的取值范圍． 解析 本題可轉(zhuǎn)化為直線 y ＝ m 與函數(shù) f ( x ) 的圖象有三個交點 , y ＝ x2－ 4 x ＋ 6 在 [0 , ＋ ∞ ) 的最小值為 f ( 2) ＝ 2 ，故 2 m 4 ，易知 x1, x2， x3中必有一負(fù)二正，不妨設(shè) x1， x20 ，由于 y ＝ x2－ 4 x ＋ 6 的對稱軸為 x ＝ 2 , 則 x1＋ x2＝ 4 ， 令 3 x ＋ 4 ＝ 2 ，得 x ＝－23，則－23 x30 ，故 －23＋ 4 x1＋ x2 ＋ x30 ＋ 4 ，即 x1＋ x2＋ x3的取值范圍是 (103， 4) ． 答案 ( 103 ， 4) 探究提高 等價轉(zhuǎn)化法的關(guān)鍵是要明確轉(zhuǎn)化的方向或者說轉(zhuǎn)化的目標(biāo)．本題轉(zhuǎn)化的關(guān)鍵就是將研究 x 1 ＋ x 2 ＋ x 3 的取值范圍問題轉(zhuǎn)化成了直線 y ＝ m 與曲線 y ＝ f ( x ) 有三個交點的問題，將數(shù)的問題轉(zhuǎn)化成了形的問題，從而利用圖形的性質(zhì)解決． 變式訓(xùn)練 6 已知關(guān)于 x 的不等式ax － 1x ＋ 10 的解集是 ( － ∞ , － 1) ∪ ( －12 ，＋ ∞ ) ，則 a 的值為 ________ ． 解析 將ax － 1x ＋ 10 轉(zhuǎn)化為 ( x ＋ 1) ( ax － 1) 0 , 其解集是 ( － ∞ ,－ 1) ∪ ( －12，＋ ∞ ) ，當(dāng)且僅當(dāng) x ＝－12是方程 ax － 1 ＝ 0 的解，得 a ＝－ 2. － 2 題型五 構(gòu)造法 構(gòu)造型填空題的求解，需要利用已知條件和結(jié)論的特殊性 構(gòu)造出新的數(shù)學(xué)模型，從而簡化推理與計算過程，使較復(fù) 雜的數(shù)學(xué)問題得到簡捷的解決，它來源于對基礎(chǔ)知識和基 本方法的積累，需要從一般的方法原理中進(jìn)行提煉概括， 積極聯(lián)想，橫向類比，從曾經(jīng)遇到過的類似問題中尋找靈 感，構(gòu)造出相應(yīng)的函數(shù)、概率、幾何等具體的數(shù)學(xué)模型， 使問題快速解決． 例 7 函數(shù) f ( x ) ＝2 s in ( x ＋π4) ＋ 2 x2＋ x2 x2＋ c os x的最大值為 M ，最小值 為 m ，則 M ＋ m ＝ ________. 思維啟迪 直接求 f ( x ) 的最大值、最小值顯然不可?。? 化簡 f ( x ) ＝ 1 ＋x ＋ s i n x2 x2＋ c os x，構(gòu)造新函數(shù) g ( x ) ＝x ＋ s i n x2 x2＋ c os x利用 g ( x ) 的奇偶性求解． 解析 根據(jù)分子和分母同次的特點，分子展開，得到部分分式， f ( x ) ＝ 1 ＋x ＋ s i n x2 x2＋ c os x， f ( x ) － 1 為奇函數(shù)， 則 m － 1 ＝－ ( M － 1) ， ∴ M ＋ m ＝ 2. 2 探究提高 整體思考，聯(lián)想奇函數(shù)，利用其對稱性簡化求解，這是整體觀念與構(gòu)造思維的一種應(yīng)用．注意到分式類函數(shù)的結(jié)構(gòu)特征，借助分式類函數(shù)最值的處理方法，部分分式法，變形發(fā)現(xiàn)輔助函數(shù)為奇函數(shù)，整體處理最大值和最小值的問題以使問題簡單化，這種構(gòu)造特殊函數(shù)模型的方法來源于對函數(shù)性質(zhì)應(yīng)用的深刻理解． 變式訓(xùn)練 7 已知函數(shù) f ( x ) ＝ s in x c o s x ＋s in xc o s x ＋ 3 ，若 f ( l g a ) ＝ 4 ，則 f ( lg 1a ) 的值等于 ________ ． 解析 f ( x ) ＝ s i n x c o s x ＋s i n xc o s x＋ 3 ＝12s i n 2 x ＋ ta n x ＋ 3 ，若 令 g ( x ) ＝12s i n 2 x ＋ ta n x ，則 g ( x ) 是一個奇函數(shù)．由 f ( lg a ) ＝ 4 , 得 g ( lg a ) ＋ 3 ＝ 4 , ∴ g ( lg a ) ＝ 1. 于是 g ( lg 1a) = g ( － lg a ) ＝－ g ( lg a ) ＝－ 1 ，故 f ( lg 1a) ＝ g ( lg 1a) ＋ 3 ＝－ 1 ＋ 3 ＝ 2. 2 例 8 已知 a 、 b 是正實數(shù)，且滿足 ab ＝ a ＋ b ＋ 3 ，則 a ＋ b 的取 值范圍是 _ __ _______ ． 思維啟迪 考慮到已知條件中出現(xiàn)了兩個正數(shù) a 和 b 的乘積ab 以及和 a ＋ b ，可與一元二次方程的根聯(lián)系起來構(gòu)造方程進(jìn)行求解． 解析 ∵ a 、 b 是正實數(shù)且 ab ＝ a ＋ b ＋ 3 ， 故 a 、 b 可視為一元二次方程 x2－ mx ＋ m ＋ 3 ＝ 0 的兩個根， 其中 a ＋ b ＝ m ， ab ＝ m ＋ 3. 要使方程有兩個正根，應(yīng)有????? Δ ＝ m2－ 4 m － 12 ≥ 0 ，m 0 ，m ＋ 3 0 ， 解得 m ≥ 6 ，即 a ＋ b ≥ 6 ，故 a ＋ b 的取值范圍是 [6 ，＋ ∞ ) ． [6，＋ ∞ ) 變式訓(xùn)練 8 若拋物線 y ＝－ x 2 ＋ ax － 2 總在直線 y ＝ 3 x － 1 的下 方，則實數(shù)
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