三重積分的變量代換(編輯修改稿)
2025-08-22 12:13 本頁(yè)面
【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 ???dx dydzzyxzyxz1)1l n (222222其中積分區(qū)域 }1|),{(222????? zyxzyx .解 積分域關(guān)于三個(gè)坐標(biāo)面都對(duì)稱， 被積函數(shù)是 的 奇函數(shù) , z.01 )1l n ( 222222???? ???????d x d y d zzyx zyxz首頁(yè) 上頁(yè) 返回 下頁(yè) 結(jié)束 解 2)( zyx ???)(2222 zxyzxyzyx ??????例 6 計(jì)算 ?????? d x d y d zzyx 2)( 其中 ? 是由拋物面 22 yxz ?? 和球面 2222 ??? zyx 所圍成的空間閉區(qū)域 . 其中 yzxy ? 是關(guān)于 y 的奇函數(shù) , 且 ? 關(guān)于 z o x 面對(duì)稱 , ??????? 0)( dvyzxy ,首頁(yè) 上頁(yè) 返回 下頁(yè) 結(jié)束 同理 ? zx 是關(guān)于 x 的奇函數(shù) , 且 ? 關(guān)于 y o z 面對(duì)稱 ,0?????? xzdv由對(duì)稱性知 ????????? dvydvx 22 ,則 ??????? d x d y d zzyxI 2)(,)2( 22?????? dxd ydzzx首頁(yè) 上頁(yè) 返回 下頁(yè) 結(jié)束 在柱面坐標(biāo)下：,20 ???? ,10 ?? r ,2 22 rzr ???,122 ?? yx投影區(qū)域 xyD ：?? ? ?? ???? 22 2 22220 10 )co s2(rr dzzrrdrdI).89290(60 ???首頁(yè) 上頁(yè) 返回 下頁(yè) 結(jié)束 例 )0()( 32222 ???? azazyx 所圍立體體積 . 解 : 由曲面方程可知 , 立體位于 xoy面上部 , ,c o s0: 3 ?ar ???利用對(duì)稱性 , 所求立體體積為 ????? vV drra d3 c os0 2? ????? ? dc o ss i n32 203 ?? a 331 a??3 c o s ?ar ?,20 ?? ?? ?? 20 ??? 20 dsi n? ???? 20 d4 ? ?yoz面對(duì)稱 , 并與 xoy面相切 , 故在球坐標(biāo)系下所圍立體為 且關(guān)于 xoz ??? ddds ind 2 rrv ?yzxa?r?首頁(yè) 上頁(yè) 返回 下頁(yè) 結(jié)束 輪換對(duì)稱性 ： 若積分區(qū)域 Ω的表達(dá)式中將 x, y, z 依次輪換 ,表達(dá)式不變 ,則稱 Ω關(guān)于 x, y, z 輪換對(duì)稱 . 此時(shí)有 ????dvzyxf ),( ????? dvxzyf ),( .),(????? dvyxzf例 8. 設(shè) ?是由平面 x+y+z=1和三個(gè)坐標(biāo)面所圍成的 區(qū)域 , 求 .)(??????? dvzyxI解 : 由輪換對(duì)稱性 , ????? xdvI 3 ??? ??? ??? yxx dzdyx d x 1010103首頁(yè) 上頁(yè) 返回 下頁(yè) 結(jié)束 說(shuō)明 ：二重積分也有輪換對(duì)稱性 . 若積分區(qū)域 D 的表達(dá)式中將 x, y 依次輪換 ,表達(dá)式不變 ,則稱 D 關(guān)于 x, y 輪換對(duì)稱 . 此時(shí)有 .),(),( ???? ?DDdxyfdyxf ??例 9. 設(shè) .)()()(],[],[,02abd x d yyfxfbabaDfD???????則連續(xù)函數(shù)證 : 由輪換對(duì)稱性 , ??Ddxdyyf xf )( )( ?? ?????? ??Ddxdyxf yfyf xf )( )()( )(21.)( 2abdxdyD??? ??首頁(yè) 上頁(yè) 返回 下頁(yè) 結(jié)束 2, ?? zxz1. 將 .)(),( ?? Czyxf用三次積分表示 , ,2,0 ?? xx ,42,1 ??? yxyvzyxfI d),(????? 其中 ?由
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