論文二重極限計(jì)算方法(編輯修改稿)
2025-08-22 03:00 本頁(yè)面
【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 性 （2）一般隨而變化 （3）若函數(shù)以A為極限，則對(duì)函數(shù)在的某去心鄰域內(nèi)有范圍（A+，A）。 由累次極限猜想極限值再加以驗(yàn)證先求出一個(gè)累次極限，該類此極限是否為二重極限在用定義驗(yàn)證例2 、 設(shè)。求解：可以猜測(cè)有極限值為0. 事實(shí)上對(duì)任意的有， 取， 當(dāng)，時(shí)，就有，即有 采用對(duì)數(shù)法求極限利用初等變形，特別是指數(shù)形式常?？梢韵惹笃饘?duì)數(shù)的極限?；驑O限是等未定型，往往通過(guò)取對(duì)數(shù)的辦法求得結(jié)果。例3 、求 解： 因?yàn)?而且 所以 利用一元函數(shù)中重要極限的推廣求兩個(gè)重要極限 類似于一元函數(shù)，我們可以充分利用所熟知的結(jié)論。通過(guò)構(gòu)造變形我們能夠化不熟悉為熟悉，進(jìn)而利用已有的結(jié)論而求之 例4 、求（1） （2）解：（1）因?yàn)椋? 所以 （2） 由于 ,又因?yàn)? 所以 等價(jià)無(wú)窮小代換利用一元函數(shù)中已有的結(jié)論對(duì)式子進(jìn)行必要的代換以達(dá)到簡(jiǎn)化的目的，進(jìn)而求出所要求的極限例5 、求 解：因?yàn)楣视兴缘葍r(jià)于故原式為注 無(wú)窮小替代求極限時(shí)要理解替換過(guò)程的本質(zhì)，不可隨意替換。利用等價(jià)無(wú)窮小替代求極限其實(shí)質(zhì)就是在極限運(yùn)算中同時(shí)乘一個(gè)或是除一個(gè)等價(jià)無(wú)窮小，也就是我們通常所說(shuō)的“乘除時(shí)可以替換，加減時(shí)不可隨意替換” 利用無(wú)窮小量與有界函數(shù)的積仍為無(wú)窮小量充分利用無(wú)窮小的性質(zhì)，與一元函數(shù)類似，在求極限過(guò)程中，以零為極限的量稱為無(wú)窮小量，有關(guān)無(wú)窮小量的運(yùn)算性質(zhì)也可以推廣到多元函數(shù)中。例6 、求 解： 因?yàn)槎? 為有界變量又 故有 原式=0 多元函數(shù)收斂判別方法當(dāng)一個(gè)二重極限不易直接求出時(shí)，可以考慮通過(guò)放縮法使二元函數(shù)夾在兩個(gè)已知極限的函數(shù)之間，且兩端的極限值相等，則原函數(shù)的極限值存在且等于它們的公共值。例7 、求 解：由 而 ，故可知 變量代換將二重極限化為一元函數(shù)中的已知極限有時(shí)為了將所求的極限化簡(jiǎn)，轉(zhuǎn)化為已知的極限，可以根據(jù)極限式子的特點(diǎn)，適當(dāng)引入新變量，以替換原有的變量，使原來(lái)較復(fù)雜的極限過(guò)程轉(zhuǎn)化為更簡(jiǎn)化的極限過(guò)程。討論當(dāng)，二元函數(shù)的極限，利用變量代換把二重極限化為一元函數(shù)中已知的極限轉(zhuǎn)化，相應(yīng)有從而求得結(jié)果。例8 、求 解；令 則當(dāng)時(shí) ，于是討論當(dāng)時(shí)，二元函數(shù)的極限，作變量代換，相應(yīng)有，利用已知一元函數(shù)的極限公式。例9 、求 其中解: 因?yàn)? 當(dāng) 時(shí)，令xy=t,相應(yīng)有則所以討論時(shí)二元函數(shù)的極限例10 、求 解： 因?yàn)楫?dāng) 時(shí)，令x+y=t,相應(yīng)有則 所以 極坐標(biāo)代換法討論當(dāng)時(shí)，二元函數(shù)的極限，必要時(shí)可以用極坐標(biāo)變換，即將求當(dāng)極限問(wèn)題變
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