beeaaa主成分分析(編輯修改稿)
2025-08-20 08:49 本頁面
【文章內(nèi)容簡介】 原始變量 Xl， … ， Xp標(biāo)準(zhǔn)化后，則 實際應(yīng)用時，往往指標(biāo)的量綱不同，所以在計算之前先消除量綱的影響，而將原始數(shù)據(jù)標(biāo)準(zhǔn)化，這樣一來 S和R相同。因此一般求 R的特征根和特征向量，并且不妨取R ＝ X ’ X。因為這時的 R與 不變，它并不影響求主成分。 只差一個系數(shù)，顯然 與 的特征根相差 n倍，但它們的特征向量 (2)、主成分的主要性質(zhì) 性質(zhì) 1 F的協(xié)差陣為對角陣 A。 2022/8/21 21 證明： 記 顯然 性質(zhì) 2 證明： 性質(zhì) 3 2022/8/21 22 證明： 其中 為單位向量 第 i 個分量為 1，其余為 0。 所以 2022/8/21 23 4 計算步驟及實例 設(shè)有 n 個樣品，每個樣品觀測 p 個指標(biāo)，將原始數(shù)據(jù)寫成矩 1．將原始數(shù)據(jù)標(biāo)準(zhǔn)化。這里不妨設(shè)上邊矩陣已標(biāo)準(zhǔn)化 了。 2．建立變量的相關(guān)系數(shù)陣： 不妨設(shè) 2022/8/21 24 3．求尺的特征根 及相應(yīng)的 單位特征向量： 4．寫出主成分 例 對全國 30個省市自治區(qū)經(jīng)濟發(fā)展基本情況的八項指標(biāo)作主成分分析，原始數(shù)據(jù)如下： 2022/8/21 25 2022/8/21 26 2022/8/21 27 2022/8/21 28 第一步 將原始數(shù)據(jù)標(biāo)準(zhǔn)化。 第二步 建立指標(biāo)之間的相關(guān)系數(shù)陣 R如下 2022/8/21 29 第三步 求 R的特征值和特征向量。 2022/8/21 30 從上表看，前 3個特征值累計貢獻率已達(dá) 89． 564％，說明前 3個主成分基本包含了全部指標(biāo)具有的信息，我們?nèi)∏?3個特征值，并計算出相應(yīng)的特征向量： 2022/8/21 31 因而前三個主成分為： 第一主成分： 第二主成分： F2=++ + + + 2022/8/21 32 第三主成分： 在第一主成分的表達(dá)式中第一、二、三項指標(biāo)的系數(shù)較大，這三個指標(biāo)起主要作用，我們可以把第一王成分看成是由國內(nèi)生產(chǎn)總值、固定資產(chǎn)投資和居民消費水平所該劃的反映經(jīng)濟發(fā)展?fàn)顩r的綜合指標(biāo)； 在第二主成分中，第四、五、六、七項指標(biāo)的影響大，且第六、七項指標(biāo)的影響尤其大，可將之看成是反映物價指數(shù)、職工工資和貨物周轉(zhuǎn)量的綜合指標(biāo)； 在第三主成分中，第八項指數(shù)影響最大，遠(yuǎn)超過其它指標(biāo)的影響，可單獨看成是工業(yè)總產(chǎn)值的影響。 2022/8/21 33 5 附注 1．從 ∑和從 R出發(fā)計算主成分一般是不同的，當(dāng)變量取值范圍彼此相差很大或度量單位不同時，應(yīng)該考慮標(biāo)準(zhǔn)化，以便使計算結(jié)果有合理的解釋，避免出現(xiàn)誤解。如果沒有上述度量單位和數(shù)量級的差異，從 ∑和從 R出發(fā)計算的結(jié)果對主成分的解釋或計算貢獻時，在一般情況下是不會發(fā)生矛盾的。 2．主成分是原始變量的線性組合，它不能簡單地解釋為單變量的屬性作用，因而不能直接說明單個原始變量屬性對主成分的作用，而應(yīng)該同時看一些起主要作用的原始變量的綜合作用，依此給主成分一個合理解釋。 3．從主成分的數(shù)學(xué)推導(dǎo)，不難看出主成分僅依賴于 X1，X2， … ， Xp的協(xié)差陣 (或相關(guān)系數(shù)陣 )并不要求分布 2022/8/21 34 是多元正態(tài)的，即未對總體分布提出什么特定的要求。 4．主成分個數(shù)的確定。一種方法在前邊計算過程中已提到即根據(jù)實際問題的需要由累計貢獻率的大小來確定，因此一般就選前二、三個主成分代替原來 p個變量的信息，而不會損失很多信息。另一種方法是作如下的假設(shè)檢驗： (如果不作檢驗就沒必要有這個限制 ) 因為特征根相等意味著數(shù)據(jù)在相應(yīng)的 p一 q維空間上有各向同性的散布，若接受 H0 則在 q 的基礎(chǔ)上，再增加任何主成分就得把剩下的全部包括進去，因為后 p一 q個主成分含有相同的信息量。 在 H0成立下可得 Bartlet近似檢驗統(tǒng)計量： 2022/8/21 35 其中 (算術(shù)平均 ) (幾何平均 ) 若拒絕 H0即應(yīng)增加主成分的個數(shù)。若接受 H0 ，說明在已給檢驗水平下取 q個主成分已能描述數(shù)
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