20xx年數(shù)學(xué)競(jìng)賽輔導(dǎo)班講義(編輯修改稿)
2024-08-20 05:09 本頁(yè)面
【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 11 lnc o s即 分析 : 例 15. 試證至少存在一點(diǎn) 使 方法 2 令 ( ) s in l nf x x?則 f (x) 在 [ 1 , e ] 上滿足羅爾中值定理?xiàng)l件 , 使 xlncos?? )( xf ?? 1sin x1因此存在 ?x1s in 1 ln x??例 16. 設(shè) ],0[)( ?Cxf ?且在 ),0( ?內(nèi)可導(dǎo) , 證明至少存 在一點(diǎn) ,),0( ?? ? 使 .c o t)()( ??? ff ???分析 : 由結(jié)論可知 , 只需證 即 ? ? 0s in)( ?? ? ?xxxf驗(yàn)證 )(xF 在 ],0[ ? 上滿足羅爾定理?xiàng)l件 . 設(shè) xxfxF s in)()( ?求證存在 ,)1,0(?? 使 例 17. 設(shè) ]1,0[ 可導(dǎo)，且 ,0)1( ?f在 連續(xù)， )1,0()(xf證 ： ( ) ( )nx x f x? ?,)1,0(??因此至少存在 顯然 )(x? 在 上滿足羅爾定理?xiàng)l件 , [0,1]?? )(??即 設(shè)輔助函數(shù) 使得 )()(1 ???? ffn nn ??? 0?例 18. 設(shè)函數(shù) 在 內(nèi)可導(dǎo) , 且 證明 在 內(nèi)有界 . 證 : 取點(diǎn) 0 ( , ) ,x a b?再取異于 0x 的點(diǎn) ( , ) ,x a b? 對(duì) 為端點(diǎn)的區(qū)間上用拉氏中值定理 , 得 ))(()()( 00 xxfxfxf ???? ?))(()()( 00 xxfxfxf ????? ?00 )()( xxfxf ???? ?)()( 0 abMxf ??? K? (定數(shù) ) 可見(jiàn)對(duì)任意 ( , ) ,x a b? ( ) ,f x K? 即得所證 . 例 19. 且 試證存在 證 : 欲證 ,2)()(??? fbaf ????因 f ( x ) 在 [ a , b ] 上滿足拉氏中值定理?xiàng)l件 , 故有 ),(,))(()()( baabfafbf ????? ??,],[)( 2 上滿足柯西定理?xiàng)l件在及又因 baxxf將 ①代入② , 化簡(jiǎn)得 故有 ① ② ),(2)( ??? fbaf ???? ),(, ba???即要證 .2)())((22 ??? fababf ?????例 20. 設(shè)實(shí)數(shù) 滿足下述等式 012 10 ????? n aaa n?證明方程 在 ( 0 , 1) 內(nèi)至少有一 個(gè)實(shí)根 . 證 : 令 ,)( 10 nn xaxaaxF ????? ?則可設(shè) 1210 12)(??????nn xnaxaxaxF ?且 ?)0(F由羅爾定理知存在一點(diǎn) ,)1,0(?? 使 即 .10010 ?內(nèi)至少有一個(gè)實(shí)根），（在???? nn xaxaa ?,0)1( ?F例 21. 設(shè)函數(shù) f (x) 在 [0, 3] 上連續(xù) , 在 (0, 3) 內(nèi)可導(dǎo) , 且 ,1)3(,3)2()1()0( ???? ffff 使,)3,0(??.0)( ?? ?f分析 : 所給條件可寫(xiě)為 1)3(,13 )2()1()0( ???? ffff(03考研 ) 試證必存在 想到找一點(diǎn) c , 使 3 )2()1()0()( fffcf ???證 : 因 f (x) 在 [0, 3]上連續(xù) , 所以在 [0, 2]上連續(xù) , 且在 [0, 2]上有最大值 M 與最小值 m, 故 Mfffm ?? )2(),1(),0( Mm fff ?? ?? 3 )2()1()0(由介值定理 , 至少存在一點(diǎn) 使,]2,0[?c3 )2()1()0()( fffcf ???1,1)3()( ?? fcf? ,)3,(,]3,[)( 內(nèi)可導(dǎo)在上連續(xù)在且 ccxf由羅爾定理知 , 必存在 .0)(,)3,0()3,( ???? ?? fc 使例 22. 設(shè)函數(shù) 在 上二階可導(dǎo) , 且 證明 證 : ,]1,0[?? x 由泰勒公式得 )0(f)1(f兩式相減得 2211220 ( ) ( ) ( 1 ) ( )f x f x f x??? ?? ??? ? ? ?221221 )()1)(()( xfxfxf ?? ?????????221221 )()1()( xfxf ?? ???????)1(21 xx ??? ]1,0[,1 ?? x)(xf? xxf )(?? 221 )( xf ???? )10( ?? ?)10()1)(()1)(()( 221 ?????????? ?? xfxxfxf例 23. 證 : 例 23. 證 : 例 24. 求 解： 利用中值定理求極限 原式 )1(11lim22???? ?? nanann ? 之間）與在 1( ?nana?221)1(l i m??????annnna?例 )(!211 4422 xoxxe x ?????244c o s 1 ( )2 ! 4 !xxx o x? ? ? ?)()!412!21(3c o s2 442 xoxxe x ???????127)(lim4441270???? xxoxx解 : 原式 題型四： 函數(shù)性態(tài)的相關(guān)問(wèn)題 研究函數(shù)的性態(tài) : 增減 , 極值 , 凹凸 , 拐點(diǎn) , 漸近線 , 曲率 應(yīng)用 : 幾何應(yīng)用 。 證明不等式 。 研究方程實(shí)根等 . 弧長(zhǎng)微分 xys d1d 2??? 或 22 )(d)(dd yxs ??曲率公式 sK dd ?
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