計算流體力學中有限差分法、有限體積法和有限元法的區(qū)別(編輯修改稿)
2025-08-20 00:31 本頁面
【文章內(nèi)容簡介】 已經(jīng)能適應不規(guī)則區(qū)域。對于橢圓型方程，如果區(qū)域規(guī)則，傳統(tǒng)有限差分和有限元都能解，在求解效率，這里主要指編程負責度和收斂快慢、內(nèi)存需要，肯定有限差分有優(yōu)勢。（1）有限差分法（Finite Difference Method，簡稱FDM）是數(shù)值方法中最經(jīng)典的方法。它是將求解域劃分為差分網(wǎng)格，用有限個網(wǎng)格節(jié)點代替連續(xù)的求解域，然后將偏微分方程（控制方程）的導數(shù)用差商代替，推導出含有離散點上有限個未知數(shù)的差分方程組。求差分方程組（代數(shù)方程組）的解，就是微分方程定解問題的數(shù)值近似解，這是一種直接將微分問題變?yōu)榇鷶?shù)問題的近似數(shù)值解法。這種方法發(fā)展較早，比較成熟，較多用于求解雙曲型和拋物型問題（發(fā)展型問題）。用它求解邊界條件復雜，尤其是橢圓型問題不如有限元法或有限體積法方便。 （2）有限元法（Finite Element Method，簡稱FEM）與有限差分法都是廣泛應用的流體力學數(shù)值計算方法。有限元法是將一個連續(xù)的求解域任意分成適當形狀的許多微小單元，并于各小單元分片構造插值函數(shù)，然后根據(jù)極值原理（變分或加權余量法），將問題的控制方程轉化為所有單元上的有限元方程，把總體的極值作為個單元極值之和，即將局部單元總體合成，形成嵌入了指定邊界條件的代數(shù)方程組，求解該方程組就得到各節(jié)點上待求的函數(shù)值。有限元法的基礎是極值原理和劃分插值，它吸收了有限差分法中離散處理的內(nèi)核，又采用了變分計算中選擇逼近函數(shù)并對區(qū)域積分的合理方法，是這兩類方法相互結合，取長補短發(fā)展的結果。它具有廣泛的適應性，特別適用于幾何及物理條件比較復雜的問題，而且便于程序的標準化。對橢圓型問題（平衡態(tài)問題）有更好的適應性。有限元法因求解速度較有限差分法和有限體積法滿，因此，在商用CFD軟件中應用并不普遍，目前的商用CFD軟件中，F(xiàn)IDAP采用的是有限元法。而有限元法目前在固體力學分析中占絕對比例，幾乎所有的固體力學分析軟件都是采用有限元法。（3）有限體積法（Finite Volume Method，簡稱FVM）是近年發(fā)展非常迅速的一種離散化方法，其特點是計算效率高。目前在CFD領域得到了廣泛的應用。其基本思路是：將計算區(qū)域劃分為網(wǎng)格，并使每個網(wǎng)格點周圍有一個互不重復的控制體積；將待解的微分方程（控制方程）對每一個控制體積分，從而得到一組離散方程。其中的未知數(shù)是網(wǎng)格點上的因變量，為了求出控制體的積分，必須假定因變量值在網(wǎng)格點之間的變化規(guī)律。從積分區(qū)域的選取方法看來，有限體積法屬于加權余量法中的子域法，從未知解的近似方法看來，有限體積法屬于采用局部近似的離散方法。簡言之，子域法加離散，就是有限體積法的基本方法。簡短而言，有限元法，將物理量存儲在真實的網(wǎng)格節(jié)點上，將單元看成由周邊節(jié)點及型函數(shù)構成的統(tǒng)一體；有限體積法往往是將物理量存儲在網(wǎng)格單元的中心點上，而將單元看成圍繞中心點的控制體積，或者在真實網(wǎng)格節(jié)點上定義和存儲物理量，而在節(jié)點周圍構造控制題。 1 有限差分方法(FDM)是計算機數(shù)值模擬最早采用的方法，至今仍被廣泛運用。該方法將 求解域劃分為差分網(wǎng)格，用有限個網(wǎng)格節(jié)點代替連續(xù)的求解域。有限差分法以Taylor級 數(shù)展開等方法，把控制方程中的導數(shù)用網(wǎng)格節(jié)點上的函數(shù)值的差商代替進行離散，從而 建立以網(wǎng)格節(jié)點上的值為未知數(shù)的代數(shù)方程組。該方法是一種直接將微分問題變?yōu)榇鷶?shù) 問題的近似數(shù)值解法，數(shù)學概念直觀，表達簡單，是發(fā)展較早且比較成熟的數(shù)值方法。對于有限差分格式，從格式的精度來劃分，有一階格式、二階格式和高階格式。從差分 的空間形式來考慮，可分為中心格式和逆風格式。考慮時間因子的影響，差分格式還可 以分為顯格式、隱格式、顯隱交替格式等。目前常見的差分格式，主要是上述幾種形式 的組合，不同的組合構成不同的差分格式。差分方法主要適用于有結構網(wǎng)格，網(wǎng)格的步 長一般根據(jù)實際地形的情況和柯朗穩(wěn)定條件來決定。構造差分的方法有多種形式，目前主要采用的是泰勒級數(shù)展開方法。其基本的差分表達 式主要有三種形式：一階向前差分、一階向后差分、一階中心差分和二階中心差分等， 其中前兩種格式為一階計算精度，后兩種格式為二階計算精度。通過對時間和空間這幾 種不同差分格式的組合，可以組合成不同的差分計算格式。2 有限元方法(FEM)的基礎是變分原理和加權余量法，其基本求解思想是把計算域劃分為有限個 互不重疊的單元，在每個單元內(nèi)，選擇一些合適的節(jié)點作為求解函數(shù)的插值點，將微分 方程中的變量改寫成由各變量或其導數(shù)的節(jié)點值與所選用的插值函數(shù)組成的線性表達式 ，借助于變分原理或加權余量法，將微分方程離散求解。采用不同的權函數(shù)和插值函數(shù) 形式，便構成不同的有限元方
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